Tentamen Toegepaste Lineaire Algebra, 16 augustus 2004
advertisement
Tentamen Toegepaste Lineaire Algebra, 16 augustus 2004, tijdsduur 3 uur.
Motiveer steeds je antwoord.
0 −1 0
1. (25 punten) Gegeven is de matrix A = −3 −2 4
.
−2 −2 3
i. Bepaal de Jordanvorm J van A.
ii. Geef een matrix S zo dat AS = SJ.
iii. Bepaal J 1001 en vervolgens A1001 S.
"
#
3
1
2. (15 punten) Gegeven is de matrix B =
.
−1 −1
i. Bepaal de eigenwaarden van B met bijbehorende eigenvectoren.
ii. Geef de meetkundige interpretatie van de door B bepaalde lineaire afbeelding.
3. (10 punten) Gegeven is een singuliere n × n matrix A. Bewijs dat
An ∈ Span{A1 , A2 , . . . , An−1 }.
4. (15 punten) Bepaal de algemene (reële) oplossing van de lineaire differentievergelijking
xk − 4xk−1 + 4xk−2 = 2k . Bepaal tevens de oplossingen waarvoor x0 = x1 = 1.
5. (10 punten) Voor welke α ∈ IR is de onderstaande kwadratische vorm indefiniet?
2 x21 + 2 x1 x2 + 2 x1 x3 + α x22 + x23
6. (10 punten) Gegeven is een symmetrische positieve matrix M , waarvan alle rijsommen
gelijk zijn aan 3. Bewijs dat 3I − M positief semi-definiet is.
7. (5 punten) Gegeven de onderstaande gesloten convexe kegel C in IR3 . Bepaal de duale
kegel C ∗ .
C = {x ∈ IR3 | x1 + 2x2 ≤ 0}
8. (10 punten) Laat zien dat van het onderstaande stelsel alle basisoplossingen geheeltallig
zijn.
1 0 0 1 0 −1
1
0
0 1 0 1 1
x = 0
0 0 1 1 1
0
1
