Tentamen Toegepaste Lineaire Algebra, 18 augustus 2003

Tentamen Toegepaste Lineaire Algebra, 18 augustus 2003, tijdsduur 3 uur.
Motiveer steeds je antwoord.
1. (40 punten) Beschouw het dynamisch proces gegeven door xt+1 = Axt , waarin


1 3 −2
A = α
 −1 0 1  (α ∈ IR).
−1 1
0
i. Bepaal voor elke α de Jordanvorm J van A.
ii. Geef de matrices S en S −1 zo dat A = SJS −1 .
iii. Voor welke α ∈ IR heeft dit proces een stationaire toestand (steady state)?
Neem x0 = [ 1 0 0 ] .
iv. Bepaal xt bij de gevonden waarde(n) van α.
v. Convergeert het proces bij de gegeven x0 en de gevonden waarde(n) van α naar een
stationaire toestand?
2. (15 punten) Bepaal de algemene (reële) oplossing van de lineaire diﬀerentievergelijking
xk = 6xk−1 − 9xk−2 + 3k . Bepaal tevens de oplossingen waarvoor x0 = x1 = 0.
3. (10 punten) Een positief deﬁniete matrix B voldoet aan (B + I)(B − I)(B + 5I) = O.
Bewijs dat B = I.
4. (10 punten) Voor welke α ∈ IR is de onderstaande kwadratische vorm negatief deﬁniet?
(α − 1) x21 + 2 x1 x2 + 2 x1x3 + α x22 − x23
5. (10 punten) Beschouw de volgende niet-negatieve matrix


1 1 0
A=
 1 1 0  .
1 3 2
i. Bepaal de spectraalstraal ρ van A.
ii. Is A primitief? (Vergeet de toelichting niet.)
6. (10 punten) Gegeven een unimodulaire m × n matrix A en een geheeltallige vector
b ∈ IRm . Gegeven is dat m < n. Bewijs dat het stelsel Ax = b oneidig veel geheeltallige
oplossingen heeft.
7. (5 punten) Gegeven de onderstaande gesloten convexe kegel C in IR3 . Bepaal de duale
kegel C ∗.
C = {x ∈ IR3 | x1 + x2 ≥ 0}