ALGEBRA – OEFENZITTING 3 Vektorruimten en lineaire afbeeldingen

ALGEBRA – OEFENZITTING 3
c D. Keppens 2004
Vektorruimten en lineaire afbeeldingen
Onderwerp :
• vektorruimten (deelruimten, basis, dimensie, lineaire (on)afhankelijkheid).
• lineaire afbeeldingen (kern, beeld, matrixvoorstelling, eigenwaarden en eigenvektoren).
• inproduktruimten (orthogonaliteit, georthonormeerde basis).
Voorkennis : algebra, hoofdstuk 3.
REEKS 1 : Oefeningen op vektorruimten
3–1 Beschouw de vektorruimte V = M at(n, R) van de reële n × n–matrices.
Welke van volgende deelverzamelingen vormen een deelruimte van V (toon aan met
het kriterium voor deelruimten) ?
(a) de verzameling van de symmetrische matrices
(b) de verzameling van de niet–inverteerbare matrices
(c) de verzameling van de diagonaalmatrices
(oplossing : ja, neen, ja)
3–2 Toon aan dat de verzameling van de even funkties een deelruimte vormt van de
vektorruimte van alle R − R–funkties.
3–3 Zij R3 [x] de vektorruimte van alle veeltermen met reële koëfficiënten en graad kleiner
dan of gelijk aan drie. Toon aan dat de deelverzameling van de veeltermen waarin
enkel oneven machten optreden, een deelruimte vormt van deze vektorruimte.
3–4 De vektoren ~u, ~v en w
~ zijn lineair onafhankelijke vektoren van een vektorruimte V .
Toon aan dat de vektoren ~u + ~v , ~u − ~v en ~u − 2~v + w
~ ook lineair onafhankelijk zijn.
3–5 Voor welke waarde van k is de vektor ~u = (1, −2, k) van R3 een lineaire kombinatie
van de vektoren ~v = (3, 0, −2) en w
~ = (2, −1, −5) ?
(oplossing : k = −8)
3–6 Toon aan dat {1, 1 − x, (1 − x)2 } een basis vormt voor de vektorruimte R2 [x] van
de veeltermen met reële koëfficiënten en graad kleiner dan of gelijk aan twee.
1
3–7 Zij Sym(2, R) de vektorruimte van de reële symmetrische 2 × 2–matrices. Toon aan
dat de dimensie van deze vektorruimte gelijk is aan 3 en bepaal een basis.
3–8 Beschouw de deelruimte U = {(x, y, z, u) | y + z + u = 0} van de vektorruimte R4 .
Bepaal de dimensie en een basis van U
(oplossing : dimensie U = 3)
3–9 Toon aan dat voor een willekeurige matrix A geldt :
t
is een anti–symmetrische matrix.
matrix en A−A
2
A+At
2
is een symmetrische
Maak daarvan gebruik om aan te tonen dat M at(n, R) = V1 ⊕ V2 met V1 , resp. V2
de deelruimte van de symmetrische, resp. anti-symmetrische matrices.
REEKS 2 : Oefeningen op lineaire afbeeldingen en inproduktruimten
3–10 Beschouw de vektorruimte R1 [x] = {ax + b | a, b ∈ R} en zij T de transformatie van
R1 [x] naar zichzelf, gedefinieerd door T (ax + b) = bx + a.
Toon aan dat T een lineaire transformatie is en bepaal de kern, het beeld en de
eigenwaarden (met bijhorende eigenruimten) van T .
(oplossing : Ker T = {0}, bld T = R1 [x], eigenwaarden −1 en 1, eigenruimten
E−1 = {ax − a | a ∈ R} en E1 = {ax + a | a ∈ R})
3–11 Zij V = M at(n, C) en a ∈ V . Definieer de afbeelding Ta van V naar zichzelf door
Ta (x) = ax − xa
Toonaan dat
Ta een lineaire afbeelding is en bepaal in het bijzonder geval waarbij
1 1
a=
de kern en het beeld van Ta
0 1
x y
x y
(oplossing : Ker Ta = {
| x, y ∈ C} en bld T = {
| x, y ∈ C})
0 x
0 x
3–12 Zij T een lineaire afbeelding van een vektorruimte V waarin een basis {~e1 , ~e2 } werd
gekozen en onderstel dat T (~e1 ) = 3~e1 − 2~e2 en T (~e2 ) = e~1 + 4~e2
Bepaal de matrixvoorstelling van T (m.b.v. de overgangsmatrix) t.o.v. een nieuwe
basis {~u1 , ~u2 } waarbij ~u1 = ~e1 + ~e2 en u~2 = 2~e1 + 3~e2
8 11
(oplossing :
)
−2 −1
3–13 Zij A =
1 4
2 3
(a) Bepaal de eigenwaarden van A en de bijhorende eigenvektoren
(b) Is A diagonaliseerbaar ? Zo ja, bepaal een matrix P waarvoor P −1 AP een
diagonaalmatrix is.
2
(oplossing : eigenwaarden
5en −1, eigenvektoren k(1, 1) en l(2, −1), A is diago
1
2
naliseerbaar, P =
)
1 −1
3–14 Toon aan dat de matrix
1 1
0 1
niet diagonaliseerbaar is.
3–15 Beschouw de lineaire afbeelding T van R3 naar zichzelf en zij {~e1 , ~e2 , ~e3 } de natuurlijke basis van R3 .
Verder is gegeven : T (~e1 ) = ~e1 − ~e2 , T (~e2 ) = −~e1 + ~e2 en T (~e3 ) = 2~e3
Gevraagd :
(a) Bepaal de kern van T en een basis + dimensie van ker T
(b) Bepaal de beeldruimte van T en een basis + dimesnsie van bld T
(c) Bepaal de eigenwaarden van T en de bijhorende eigenruimten
(oplossing : ker T = {(x, x, 0)|x ∈ R} met dimensie 1, bld T = {(x, y, z)|x + y = 0}
met dimensie 2, eigenwaarden 0 en 2, eigenruimte E0 = ker T , eigenruimte E2 =
bld T )
3–16 Beschouw de vektorruimte R3 voorzien van het natuurlijke inprodukt en zij W de
deelruimte voortgebracht door de vektoren (2, 3, 0), (1, 1, 1) en (1, 3, −3)
Bepaal een basis van de deelruimte W ⊥ .
(oplossing : {(3, −2, −1)})
3–17 Beschouw de vektorruimte C3 voorzien van het natuurlijke inprodukt en zij W de
deelruimte voortgebracht door de vektoren (1, j, 0) en (1, 2, 1 − j).
Bepaal een georthonormeerde basis van W (aanwijzing : Gram–Schmidt).
2−j 2−2j
√ , √
, √18 )})
(oplossing : {( √12 , √j2 , ), ( 1+2j
18
18
3–18 Zij V = M at(2, R) de vektorruimte der reële 2 × 2–matrices voorzien van het inprodukt < A, B >= spoor(B t · A).
Bepaal een basis voor de orthogonale deelruimte van de deelruimte der symmetrische
matrices.
0 −1
(oplossing :
)
1
0
3