0.1 Vraagstukken 2

0.1
Vraagstukken 2
2.1 De Cobb-Douglas functies hebben een aantal eigenschappen die ze zeer geschikt maken
voor het beschrijven van veel produktieprocessen. Ze worden gedefinieerd door
f (x, y) = γxα y 1−α
x > 0, y > 0,
waarin de constanten α en γ voldoen aan 0 < α < 1 en γ > 0.
a) Toon aan dat een verdubbeling van de inputs x en y leidt tot een verdubbeling van
de output f (x, y).
b) Bereken de partiële afgeleiden van de eerste orde van f (x, y).
c) Bij functies f van R2 naar R kan men een zogenaamde elasticiteitsfunctie Ef
definiëren als
∂f
x ∂f
∂x + y ∂y
Ef (x, y) =
.
f (x, y)
Deze functie zegt iets over de relatieve verandering van f bij relatieve verandering
in de x en y. Toon aan dat de Cobb-Douglas functie een constante elasticiteit
hebben.
2.2 Een ruimere klasse van produktiefuncties dan de in Vraagstuk 2.2 ingevoerde klasse
van Cobb-Douglas functies, is de klasse van C.E.S.-functies. Hierbij staat C.E.S. voor
Constant Elasticity of Substitution, een eigenschap die de functies uit deze klasse van
andere onderscheidt. Ze worden gedefinieerd door
1
f (x, y) = (αxρ + (1 − α)y ρ ) ρ
x > 0, y > 0,
waarin de constanten α en ρ voldoen aan 0 < α < 1 en ρ < 1(ρ 6= 0).
a) Toon aan dat een verdubbeling van de inputs x en y leidt tot een verdubbeling van
de output f (x, y).
b) Bereken de partiële afgeleiden van de eerste orde van f (x, y).
c) Toon aan dat de C.E.S.-functies een constante elasticiteit hebben (zoals de naam
al aangeeft).
2.3 De functie f : R2 → R wordt gegeven door
f (x, y) =
xy 2
als (x, y) 6= (0, 0)
x2 + y 4
en
f (0, 0) = 0.
Bepaal alle partiële afgeleiden van de eerste en tweede orde van f in (0, 0) en (1, 1). Is
f continu in (0, 0)?
2.4 De functie f : R3 → R wordt gegeven door f (x, y, z) = xy − z. Bepaal de richtingsafgeleide van f in het punt (1, −2, −1) in de richting van de vector (2, −1, −2).
i
2.5 Beschouw de Cobb-Douglas functie uit Vraagstuk 2.1 met γ = 1 en α = 14 :
1
3
f (x, y) = x 4 y 4 ,
x > 0, y > 0.
a) Bepaal de lineaire benadering van f in de buurt van het punt (1, 1).
b) Toon aan dat f differentieerbaar is op (0, ∞) × (0, ∞) en bepaal f 0 (x, y).
2.6 Laat f : R2 → R gegeven zijn door
f (x, y) = xy
x2 − y 2
als (x, y) 6= (0, 0) en f (0, 0) = 0.
x2 + y 2
a) Bereken fx (0, 0) en fy (0, 0),
b) Bereken fx (x, y) en fy (x, y) met (x, y) 6= (0, 0),
c) Onderzoek of f differentieerbaar is op R2 ,
d) Bereken fxy (0, 0) en fyx (0, 0).
e) Bereken
de richtingsafgeleide van f (x, y) in (0, 0) in de richting van de vector
√
(1, 2).
2.7 Laat f : R2 → R gegeven zijn door
 3
 x + y4
f (x, y) =
x2 + y 2

0
als (x, y) 6= (0, 0)
als (x, y) = (0, 0).
a) Bewijs dat f continu is op R2 .
b) Bereken fx (0, 0) en fy (0, 0).
c) Onderzoek of f differentieerbaar is in het punt (0, 0).
2.8 De functie f : R2 → R is gegeven door
f (x, y) = |xy|.
Toon aan dat f differentieerbaar is in (0, 0) met afgeleide f 0 (0, 0) = (0, 0).
2.9 Laat f : R2 → R2 gedefinieerd zijn door
f (x, y) =
ex cos(y)
ex sin(y)
Bereken de Jacobimatrix en de Jacobiaan in een willekeurig punt (x, y) ∈ R2 .
ii
2.10 Gegeven zijn α ∈ R, de vector x0 ∈ Rn en de lineaire transformatie A : Rn → Rn , met
standaardmatrix A. Bewijs dat de volgende functies differentieerbaar zijn en bereken
hun afgeleiden:
a) f1 : Rn → Rn gegeven door f1 (x) = αx + x0 .
b) f2 : Rn → Rn gegeven door f2 (x) = A(x) + x0 .
c) f3 : Rn → R gegeven door f3 (x) = A(x) • x0 ,
d) f4 : Rn → R gegeven door f4 (x) = A(x) • x.
2.11 De functies f : R2 → R2 en g : R2 → R2 zijn gegeven door
|xy|
ey
f (x, y) =
en
g(x, y) =
x+y+1
y + cos x
a) Toon aan dat de functie g ◦ f differentieerbaar is in (0, 0) en bepaal (g ◦ f )0 (0, 0).
b) Toon aan dat de functie f ◦ g differentieerbaar is in (0, 0) en bepaal (f ◦ g)0 (0, 0).
[Hint: Je kunt gebruik maken van Vraagstuk 2.8.]
2.12 De functies f : R3 → R3 en g : R3 → R2 worden gegeven door
 
xy
|x|
+
|y|
+
|z|
.
f (x, y, z) =  yz 
en
g(x, y, z) =
x+y+z
xz
a) Toon aan dat f differentieerbaar is op R3 en bereken f 0 (x, y, z) voor iedere (x, y, z) ∈
R3 .
b) Toon aan dat g differentieerbaar is in (1, −1, −1) en bereken g 0 (1, −1, −1).
c) Toon aan dat g ◦ f differentieerbaar is in (1, 1, −1) en bereken (g ◦ f )0 (1, 1, −1).
2.13 Zij f : Rn → R gedefinieerd door f (x) = kxk, en zij V = Rn \ {0}.
a) Bewijs dat f differentieerbaar is op V en bereken f 0 (x) voor x 6= 0.
b) Onderzoek of f differentieerbaar is in het punt 0.
2.14 Geef van de volgende functies het Taylorpolynoom van de tweede orde in het punt a:
a) f (x, y) = ey (x2 + y) − y met a = (0, 0),
b) f (x, y) = sin (xey ) met a = (0, 0),
2
c) f (x, y) = e(x+y) met a = (0, 0),
d) f (x, y) = ln (y + sin x) met a = ( π2 , 0),
e) f (x, y) = x sin y met a = (1, π2 ).
iii
2.15 Zij f : R2 → R gegeven door
f (x, y) =
1
.
1+x−y
Bepaal het Taylorpolynoom van f van de tweede orde bij het punt (1, 1) op twee manieren, zoals gedemonstreerd in Voorbeeld 6 van paragraaf 2.4.
2.16
a) Gegeven is de functie f : R3 → R door
f (x, y, z) = x4 + xy 3 + z 3 + xz 2 + xy + z + 1.
Bepaal de tweede-orde benadering van f bij 0, zonder rekenwerk, door gebruik
te maken van de volgende Stelling die de uniciteit van de tweede orde Taylor
benadering laat zien.
Stelling 0.1 Laat f : Df → R met Df ⊂ Rn een C 2 -functie zijn op Bε (a) ⊂ Df
met ε > 0. Als voor iedere h met khk < ε geldt
f (a + h) = p + vh + 21 hT M h + o(khk2 )
voor zekere reële constante p, rijvector v, en symmetrische matrix M , dan is
p = f (a), v = f 0 (a) en M = Hf (a).
Wat is Hf (0, 0, 0)?
b) Van een C 2 -functie g, gedefinieerd op een omgeving van (0, 0, 0) is bekend dat
g(x, y, z) = x + 2z + 2y 2 + yz + x2 + o(x2 + y 2 + z 2 ).
Leid daaruit af, zonder berekening, dat
∂2g
(0, 0, 0) = 0.
∂x∂z
Wat is
2.17
∂2g
(0, 0, 0)?
∂y∂z
a) Gegeven is de functie f : R2 → R door
f (x, y) = x2 + 2y 2 + xy sin(x).
Laat zien dat
f (x, y) = x2 + 2y 2 + o(x2 + y 2 )
en leid hieruit af dat f een lokaal minimum heeft in (0, 0).
b) Beredeneer m.b.v. de Taylorontwikkeling dat de functie
f (x, y, z) = 2x2 − 2xy + 2y 2 + 4z sin(z) + exyz
een lokaal minimum heeft in (0, 0, 0).
iv