handouts

Kleine o en differentiëren
Zij f : R → R. De afgeleide van f in een punt a is gedefinieerd als
Analyse 3, hoorcollege 4
f 0 (a) = lim
Differentiëren in Rn
Gerrit Oomens
[email protected]
Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde
Faculteit der Natuurwetenschappen, Wiskunde en Informatica
Universiteit van Amsterdam
h→0
f (a + h) − f (a)
.
h
Dus f is differentieerbaar in a als geldt
f (a + h) − f (a)
0
lim
− f (a) = 0
h→0
h
⇔
f (a + h) − f (a) − f 0 (a)h
= 0.
h→0
h
lim
Dit kunnen we schrijven als
f (a + h) − f (a) − f 0 (a)h = o(h)
voor h → 0,
oftewel
27 februari 2017
f (a + h) − f (a) = f 0 (a)h + o(h)
voor h → 0.
(1)
Een functie f is dus differentieerbaar in a dan en slechts dan als er een getal f 0 (a) ∈ R
bestaat zodat (??) geldt.
Definitie (Syllabus 8.11)
Verbanden tussen afgeleides: kolommen
Een functie f : Rk → R` is differentieerbaar in ~a ∈ Rk als er een lineaire afbeelding
L ∈ Lin(Rk , R` ) bestaat zodat
f (~a + ~h) − f (~a) = L~h + o(k~hk)
voor ~h → 0.
We schrijven dan f 0 (~a) voor L, de (totale) afgeleide in ~a.
Definitie (Syllabus 8.1)
Voor f :
Rk
→ R definiëren we
f (~a + t~ei ) − f (~a)
Di f (~a) = lim
,
t→0
t
de partiële afgeleide van f naar de i-de coördinaat.
Definitie (Syllabus 8.4)
Voor f : Rk → R definiëren we
f (~a + t~u) − f (~a)
,
t
de richtingsafgeleide in de richting ~u.
D~u f (~a) = lim
t→0
Definitie (Syllabus 8.11)
Een functie f : Rk → R` is differentieerbaar in ~a ∈ Rk als er een lineaire afbeelding
L ∈ Lin(Rk , R` ) bestaat zodat
f (~a + ~h) − f (~a) = L~h + o(k~hk) voor ~h → 0.
We schrijven dan f 0 (~a) voor L, de (totale) afgeleide in ~a.
Zij f : Rk → R differentieerbaar in ~a ∈ Rk . Dan is f 0 (~a) ∈ Lin(Rk , R): een k-vector.
Als we in de definitie invullen ~h = t~ei met t ∈ R, dan zien we
f (~a + t~ei ) − f (~a) = f 0 (~a)(t~ei ) + o(kt~ei k) = tf 0 (~a)~ei + o(|t|)
voor t → 0.
Dus
f (~a + t~ei ) − f (~a)
o(|t|)
= f 0 (~a)~ei + lim
= f 0 (~a)~ei .
t→0
t→0
t
t
Di f (~a) = lim
We zien dat Di f (~a) = f 0 (~a)~ei , de i-de entry van de vector f 0 (~a). Oftewel
f 0 (~a) = D1 f (~a) D2 f (~a) · · · Dk f (~a) .
Verbanden tussen afgeleides: rijen
Definitie (Syllabus 8.11)
Een functie f : Rk → R` is differentieerbaar in ~a ∈ Rk als er een lineaire afbeelding
L ∈ Lin(Rk , R` ) bestaat zodat
f (~a + ~h) − f (~a) = L~h + o(k~hk)
We schrijven dan
f 0 (~a)
voor ~h → 0.
voor L, de (totale) afgeleide in ~a.
Zij f : Rk → R` differentieerbaar in ~a. Schrijf f1 , . . . f` voor de componenten van f .
Dan is elke fj een functie Rk → R. Merk op:
f 0 (~a) ∈ Lin(Rk , R` ): een ` × k matrix.
fj0 (~a) ∈ Lin(Rk , R): een 1 × k matrix (als deze bestaat).
Er geldt
~eT f (~a + ~h) − f (~a) = ~eT f 0 (~a)~h + o(k~hk) voor ~h → 0.
j
Verbanden tussen afgeleides: samengevat
Gezien:
(1) Als g : Rk → R differentieerbaar is in ~a, dan g 0 (~a) een (liggende) k-vector met
entries D1 g (~a), . . . , Dk g (~a).
(2) Als f : Rk → R` differentieerbaar is in ~a, dan is f 0 (~a) een ` × k matrix met rijen
f10 (~a), . . . , f`0 (~a).
Merk op: fj : Rk → R voor elke j, dus we kunnen (1) toepassen op fj om in te zien dat
fj0 (~a) een liggende k-vector is met entries D1 fj (~a), . . . , Dk fj (~a). Daarmee zien we


D1 f1 (~a) D2 f1 (~a) · · · Dk f1 (~a)

.. 
D1 f2 (~a) D2 f2 (~a)
. 
0


f (~a) =  .
..  .
.
..
 ..
. 
D1 f` (~a)
···
· · · Dk f` (~a)
j
Voorbeeld:
Oftewel
0
0
~
fj (~a + ~h) − fj (~a) = ~eT
a)~h + ~eT
eT
a)~h + o(k~hk).
j f (~
j o(khk) = ~
j f (~
f (x, y ) =
0 a): de j-de rij van f 0 (~
Dus fj is differentieerbaar met afgeleide ~eT
a).
j f (~
Richtingsafgeleide
f 0 (x, y ) =
y
2x
x
.
1
Voorbeeld
Bekijk f : R2 → R met f (0, 0) = 0 en
Definitie (Syllabus 8.11)
Een functie f : Rk → R` is differentieerbaar in ~a ∈ Rk als er een lineaire afbeelding
L ∈ Lin(Rk , R` ) bestaat zodat
f (~a + ~h) − f (~a) = L~h + o(k~hk)
f1 (x, y )
xy
=
,
f2 (x, y )
x2 + y
voor ~h → 0.
We schrijven dan f 0 (~a) voor L, de (totale) afgeleide in ~a.
Zij f : Rk → R differentieerbaar in ~a ∈ R2 . Dan is f 0 (~a) ∈ Lin(Rk , R): een k-vector.
Als we in de definitie invullen ~h = t~u voor ~u ∈ Rk , dan zien we
f (x, y ) =
We hebben D1 f (~0) = 1 en D2 f (~0) = 0. Dus f is partieel differentieerbaar. Als f ook
totaal differentieerbaar zou zijn, dan geldt
f (~0 + h) − f (~0) = f 0 (~0)~h + o(k~hk) = 1 0 ~h + o(k~hk),
oftewel lim~h→~0
f (~a + t~u) − f (~a) = f 0 (~a)(t~u) + o(kt~uk) = tf 0 (~a)~u + o(|t|) · k~uk.
f (~a + t~u) − f (~a)
o(|t|)
D~u f (~a) = lim
= f 0 (~a)~u + lim
k~uk = f 0 (~a)~u.
t→0
t→0
t
t
De richtingsafgeleide is dus een lineaire combinatie van partiële afgeleides.
f (~h)−h1
k~hk
f (x, y ) − x =
dus
Dus
x 3 − xy 2
.
x2 + y2
= 0. Voor de leesbaarheid schrijven we ~h = (x, y ). Er geldt
x 3 − xy 2 x 3 + xy 2
xy 2
− 2
= −2 2
,
2
2
2
x +y
x +y
x + y2
f (~h) − h1
xy 2
1
xy 2
= −2 2
·p
= −2 2
.
2
x +y
(x + y 2 )3/2
x2 + y2
k~hk
Dit is homogeen van graad 0, dus de limiet voor ~h → 0 bestaat niet. De functie is dus
niet totaal differentieerbaar in ~0.
Differentieerbaarheid tot nu toe
Differentieerbaarheid en continuı̈teit
Verband tussen afgeleides
Propositie 8.16
Zij f : Rk → R` een (totaal) differentieerbare afbeelding.
Zij f : Rk → R` differentieerbaar in ~a ∈ Rk . Dan is f continu in ~a.
Dan is f 0 (~a) een lineaire afbeelding Rk → R` met matrix


D1 f1 (~a) D2 f1 (~a) · · · Dk f1 (~a)

.. 
D1 f2 (~a) D2 f2 (~a)
. 
0

.
f (~a) =  .
.
.
..
.. 
 ..

D1 f` (~a)
···
· · · Dk f` (~a)
Voor ~u ∈ Rk geldt D~u f (~a) = f 0 (~a)~u.
Bewijs: bekijk
f (~a + ~h) = f (~a) + f 0 (~a)~h + o(k~hk).
Merk op dat f 0 (~a) een vaste lineaire afbeelding is, dus ~h → f 0 (~a)~h is continu. Oftewel
lim f 0 (~a)~h = f 0 (~a)~0 = ~0.
~h→~0
Ook geldt lim~h→~0 o(k~hk) = ~0. Dus
Vragen:
lim f (~a + ~h) = f (~a).
Hoe kunnen we spreken over continuı̈teit van de afgeleide?
Is een differentieerbare functie ook continu?
Continuı̈teit van de afgeleide
~h→~0
We concluderen dat f continu is in ~a.
Continuı̈teit van de partiële afgeleides
Stelling 8.30
Als f : Rk → R` , dan geldt voor ~a ∈ Rk dat f 0 (~a) ∈ Lin(Rk , R` ) en dus is f 0 een
afbeelding Rk → Lin(Rk , R` ).
Definitie 8.28
Zij E ⊆ Rk en f : E → R` differentieerbaar. Als f 0 : E → Lin(Rk , R` ) continu is op E
(met de operatornorm op het codomein), dan noemen we f continu differentieerbaar,
ook wel C 1 .
Herinner: f 0 (~a) = Dj fi (~a) i,j .
Propositie 8.29
Zij E ⊆ Rk en f : E → R` differentieerbaar. Dan is f 0 continu op E desda elk van de
partiële afgeleides Dj fi continu is op E .
Zij E ⊆ Rk en f : E → R. Als elk van de partiële afgeleiden van f bestaat en continu
is op E , dan is f (continu) differentieerbaar op E .
We willen bewijzen dat f (~a + ~h) − f (~a) − D1 f (~a) · · · Dk f (~a) ~h = o(k~hk). Schrijf
f (~a + ~h) − f (~a) als


a1 + h 1
 .. 
 . 




f  ...  −f


 .. 
 . 
ak + h k
| {z }
~a+~vk



a1 + h1














 a2 






 . 









 +f 
 −f ak−2 + hk−2  + · · ·+f  ..  −f






 . 
a







.
ak−1
 k−1 + hk−1 
ak−1 + hk−1 


 . 
ak
ak
ak
ak
|
{z
}
|
|
| {z }
{z
}
{z
}
a1 + h 1
..
.
..
.


~a+~vk−1
a1 + h 1
..
.
..
.


~a+~vk−1
a1 + h 1
..
.
~a+~vk−2

~a+~v1
 
a1
 
 a2 
.
.
.
.
 .. 
 
ak
| {z }
~a+~v0
Merk op ~vj = ~vj−1 + hj ~ej . Nu is
f (~a + ~vj ) − f (~a + ~vj−1 ) = gj (hj ) − gj (0) = gj0 (ξj )hj = Dj f (~a + ~vj−1 + ξj ~ej )hj
waar gj (t) = f (~a + ~vj−1 + t~ej ) en ξj ∈ (0, hj ).
Stelling 8.30
Zij E ⊆ Rk en f : E → R. Als elk van de partiële afgeleiden van f bestaat en continu
is op E , dan is f (continu) differentieerbaar op E .
We willen bewijzen dat f (~a + ~h) − f (~a) − D1 f (~a) · · · Dk f (~a) ~h = o(k~hk).
We hebben voor ξj ∈ (0, hj ) dat
f (~a + ~h) − f (~a) =
k
X
k
X
f (~a + ~vj ) − f (~a + ~vj−1 ) =
Dj f (~a + ~vj−1 + ξj ~ej )hj .
j=1
j=1
Schrijf ~xj = ~a + ~vj−1 + ξj ~ej , dan hebben we
k
f (~a + ~h) − f (~a) − D f (~a) · · · D f (~a)~h X
hj 1
k
Dj f (~xj ) − Dj f (~a)
=
k~hk
k~hk j=1
≤
k
X
Dj f (~xj ) − Dj f (~a) → 0
j=1
want ~xj → ~a als ~h → 0 en Dj f is continu.