Kwartiel 3, week 3 Leerstof: § 3.1 alleen Newton`s Methode, blz. 216

12
Kwartiel 3, week 3
Leerstof:
§ 3.1 alleen Newton’s Methode, blz. 216-219
§ 4.7 met uitzondering van Simpson’s Regel
Belangrijke begrippen
• numeriek nulpunten bepalen
• methode van Newton
• numeriek integreren
• rechthoeksregel
• trapeziumregel
1
De methode van Newton berust op het volgende:
Als f (x) een differentieerbare functie is op het
interval [a, b] zó dat
òf f 0(x) > 0 òf f 0(x) < 0 op [a, b]
(dus de functie is òf stijgend òf dalend op [a, b]),
en f (a)f (b) < 0 (dus f (a) en f (b) hebben tegengesteld teken),
dan heeft f (x) precies één nulpunt op [a, b].
2
Methode van Newton voor het benaderen van
nulpunten van een gegeven functie f (x), dat wil
zeggen voor oplossingen van de vergelijking
f (x) = 0.
Kies een startwaarde x0 in het interval [a, b].
f (x0)
Bereken x1 = x0 − 0
.
f (x0)
f (x1)
.
Vervolgens x2 = x1 − 0
f (x1)
Enz.
f (xn)
Algemeen: xn+1 = xn − 0
.
f (xn)
Onder de gegeven voorwaarden convergeert de
rij punten x0, x1, x2, . . . die je zo krijgt naar een
nulpunt van de functie f (x).
3
De grafiek van de functie f (x) = x5 − x + 1 :
10
5
-2
-1
1
2
-5
Er is precies één nulpunt, en wel op [−2, −1].
Methode van Newton met x0 = −1:
x0 = −1
5
x1 = − = −1.25
4
3381
x2 = −
= −1.178459394
2869
x3 = −1.167537389
x4 = −1.167304083
x5 = −1.167303978
x6 = −1.167303978
4
Methode van Newton voor
f (x) = x2 − 2
met als startwaarde x0 = 1 :
x0 = 1
x1 = 1.5
x2 = 1.4166666666666667407
x3 = 1.4142156862745098866
x4 = 1.4142135623746898698
x5 = 1.4142135623730951455
x6 = 1.4142135623730949234
x7 = 1.4142135623730949234
x8 = 1.4142135623730949234
5
Numerieke
methoden voor het benaderen van
Z b
f (x)dx
a
Verdeel het interval [a, b] in n gelijke delen; dan is
∆x =
b−a
.
n
1. Rechthoekregel (Eng.: Midpoint Rule)
Kies c1, c2, . . . , cn als middens van de deelintervallen.
Dan Zwordt de n-de orde rechthoekregel benadering
b
f (x)dx gegeven door:
voor
a
Mn(f ) = [f (c1) + f (c2) + . . . + f (cn)]
b−a
.
n
2. Trapeziumregel (Eng.: Trapezoidal Rule)
Z b
f (x)dx
De n-de orde trapeziumregel benadering voor
a
wordt gegeven door:
Tn(f ) =
[f (x0) + 2f (x1) + 2f (x2) + . . . + 2f (xn−1) + f (xn)]
6
b−a
.
2n
Deeltentamen Calculus 2, april 2008.
Van een functie f (x) zijn op het interval [0, 1] de volgende
functiewaarden gegeven:
1
1
f (0) = 2, f
= 1, f
= 3,
4
2
3
= 2, f (1) = 4.
f
4
Z 1
f (x) dx.
Bepaal de vierde orde trapeziumregel benadering voor
0
Uitwerking.
Voor de vierde orde trapeziumregel benadering, met dus
n = 4, geldt
1
1
3
1
T4 =
f (0) + 2f
+ 2f
+ 2f
+ f (1)
8
4
2
4
9
= .
4
7