Kleine didactiek SIN(18°) EN COS(36°) EXACT

Kleine didactiek
SIN(18°) EN COS(36°) EXACT BEREKEND
[ Dick Klingens ]
Het berekenen van de exacte waarde van de sinus van een hoek van 18° doen we (zo we het al doen)
meestal in een ‘gouden driehoek’. Maar hebben we eenmaal de goniometrische verdubbelings- en productformules behandeld, dan kan het ook zonder meetkunde.
In de gouden driehoek
In de gelijkbenige driehoek ABC met een tophoek C van 36° is AD de bissectrice van hoek A.
De driehoeken BDA en ABC zijn gelijkvormig (hh), zodat:
BD : AB = AB : CA
(Het lijnstuk AB is middelevenredig tussen de lijnstukken BD en CA.)
Stellen we BD = 1 en AB = x, dan is, wegens AB = AD = CD, ook CD = x. En
dan is AC = BC = 1 + x.
Uit 1 : x = x : (1 + x) volgt dat x2 = 1 + x. Of: x2 – x – 1 = 0 .
Zodat: x =
1+ 1+ 4
= ½(√ 5 + 1) .
2
Is CF een hoogtelijn van de driehoek, dan is in driehoek AFC:
1
1
AF = 2 x = 2 x = 1
sin(18°) = AC
1+ x x 2 2 x
Dus: sin(18°) = 1
√5−1
=
= ¼(√ 5 − 1) .
√5+1 5−1
Opmerking. Dat driehoek ABC een ‘gouden driehoek’ wordt genoemd, is gelegen in het feit dat
BD : CD = CD : BC, immers 1 : x = x : (1 + x).
Het punt D verdeelt BC in uiterste en middelste reden: D is een ‘gulden-snede’-punt van het lijnstuk BC.
Zonder meetkunde
Met twee keer toepassen van de verdubbelingsformule van de sinus is:
(1a)… sin(72°) = 2 · sin(36°) · cos(36°)
= 2 · (2 · sin(18°) · cos(18°)) · cos(36°)
Of:
(1b)… sin(72°) = 4 · sin(18°) · cos(18°) · cos(36°)
Omdat sin(72°) = cos(90° – 72°) = cos(18°) is, volgt uit (1b):
(2a)… 4 · sin(18°) · cos(36°) = 1
of:
(2b)… 2 · cos(36°) · sin(18°) = ½
Het linker lid van (2b) is volgens een productformule van de sinus [1] te schrijven als:
(3a)… sin(54°) – sin(18°) = ½
of, vanwege sin(54°) = cos(90° – 54°) = cos(36°):
(3b)… cos(36°) – sin(18°) = ½
Nu is (a + b)2 = (a – b)2 + 4ab, zodat met a = cos(36°) en b = sin(18°) via (3b) en (2a) geldt:
( a + b )2 = 14 + 1 = 54
En dus is:
Kleine didactiek / Sin(18°) en cos(36°) exact berekend
[1]
© 2011 PandD Software, Rotterdam (NL)
(4)… a + b = ½√5
Ook is, en zie daarvoor weer (3b):
(5)… a – b = ½
Uit (4) en (5) volgt door eerst b en dan a te elimineren:
a = ½(½√5 + ½) = ¼(√5 + 1) en b = ½(½√5 – ½) = ¼(√5 – 1)
Dus:
sin(18°) = ¼(√5 – 1) en cos(36°) = ¼(√5 + 1)
Tóch nog wat meetkunde
√5+1 √5−1
Omdat cos(36°) = 4 ·
= 1 is, kunnen we redelijk eenvoudig, met passer en liniaal, een
√5−1 √5−1
hoek van 36° en een gouden driehoek construeren.
Constructiestappen
1. Teken een in B rechthoekige driehoek ABC waarvan AB = 2 en
CB = 1.
Dan is AC = √5.
2. Construeer op AC het punt D zó, dat AD =1.
Dan is CD = √5 – 1.
3. De cirkel met middelpunt C en straal CD snijdt AB in E.
CB = CB = 1 . Dus: ∠ECB = 36° .
Nu is: cos( ECB ) = CE
CD √5−1
4. De cirkel (C, CD) snijdt het verlengde van CB in F. Driehoek ECF is dan een gouden driehoek.
Noot
[1] De bedoelde formule is:
sin p – sin q = 2 · cos ½(p + q) · sin ½(p – q)
De vier productformules, waarvan deze formule er dus één is, worden ook wel p-en-q-formules
genoemd (in examens vindt men soms een ‘t’ in plaats van de ‘p’ en een ‘u’ in plaats van de
‘q’).
Over de auteur
Dick Klingens is eindredacteur van Euclides en was tot aan zijn pensioen in 2010 wiskundeleraar
en schoolleider aan het Krimpenerwaard College te Krimpen aan den IJssel.
E-mailadres: [email protected]
Kleine didactiek / Sin(18°) en cos(36°) exact berekend
[2]
© 2011 PandD Software, Rotterdam (NL)