HAVO D deel 3 H12

havo D deel 3 Samenvatting Hoofdstuk 12
Extreme waarden bij gebroken functies
12.1
opgave 5
x2
a f(x) =
geeft
x2
( x  2)  2 x  x 2 1 2 x 2  4 x  x 2 x 2  4 x
f '( x) 


2
2
( x  2)
( x  2)
( x  2)2
x2  4 x
f’(x) = 0 geeft
0
2
( x  2)
x2 – 4x = 0
x(x – 4) = 0
x=0 ⋁ x=4
max. is f(0) = 0
min. is f(4) = 8
Bf = ⟨ , 0] ⋃ [8,  ⟩
b
x2
p
x2
heeft geen oplossingen voor 0 < p < 8
12.1
y
Hellinggrafieken
top v.d. grafiek  helling is 0 
hellinggrafiek snijdt de x-as
top
Bij een gegeven functie kun je
aan elke x de helling van de
grafiek in het bijbehorende punt
toevoegen.
O
x
top
stijgend deel v.d. grafiek positieve
hellingen  hellinggrafiek boven de x-as
dalend deel v.d. grafiek negatieve
hellingen  hellinggrafiek onder de x-as
overgang van toenemende daling naar
afnemende daling is de helling maximaal 
laagste punt
helling
pos.
pos.
O
x
0
0
laagste punt
12.1
Oppervlakten bij grafieken
12.2
opgave 18
a
yP = 3 -
1
2
p2
A = O(∆(OPQ) =
b
1
2
1
· PQ · yP = 2 · 2p · (3 -12 p2) = 3p -12 p3
dA
= 3 – 1 12 p2
dP
dA
1
= 0 geeft 3 – 1 2 p2 = 0
dP
1
-1 2 p2 = -3
p2 = 2
p =√2
De maximale oppervlakte van ∆OPQ is
1
3√2 - 2 (√2)3 = 3√2 - √2 = 2√2
12.2
opgave 30
a Trek AC ⊥ BD.
BC
In ∆ACB: cos 70° =
8
BC = 8 · cos 70° ≈ 2,736
Dit geeft
h = 10 + BC ≈ 12,74 m.
b In ∆ACB is B =  (Z-hoeken)
cos() =
BC
8
dus BC = 8 cos()
Dit geeft
h = 10 + 8 cos().
c
Voer in y1 = 10 + 8 cos(x) en y2 = 15.
Kies bijv. Xmin = 0, Xmax = 90, Ymin = 0 en Ymax = 20
De optie intersect geeft x ≈ 51,3.
Dus voor een hoek van 51° is h = 15 m.
12.3
opgave 36
EG
a
In ∆FGE: sin(x) =
4
dus EG = 4 sin(x)
cos(x) =
FG
4
dus FG = 4 cos(x)
O(zeshoek) = 4 · O(∆FGE) + 2 · O(GHDE)
= 4 · ½ · FG · EG + 2 · GH · EG
= 2 · 4 cos(x) · 4 sin(x) + 2 · 5 · 4 sin(x)
= 32 sin(x) cos(x) + 40 sin(x)
b
dO
= 32 cos(x) · cos(x) – 32 sin(x) · sin(x) + 40 cos(x)
dx
= 32 cos2(x) – 32 sin2(x) + 40 cos(x)
sin2(x) + cos2(x) = 1
sin2(x) = 1 – cos2(x)
= 32 cos2(x) – 32(1 – cos2(x)) + 40 cos(x)
= 32 cos2(x) – 32 + 32 cos2(x) + 40 cos(x)
= 64 cos2(x) + 40 cos(x) - 32
12.3
opgave 36
c Voer in y1 = 64 cos2(x) + 40 cos(x) – 32
De optie zero (TI) of ROOT (Casio) geeft x ≈ 1,092.
De oppervlakte is maximaal bij een hoek van ongeveer 1,092 rad,
dat is 1,092 ×
180

≈ 63°
12.3
opgave 39
1
1
f ( x)   x 3  x 2  6 x  3
3
2
a schets
1
b De optie maximum geeft x = 2 en y = 10 3
1
De optie minimum geeft x = -3 en y = -10 2
dalend op ⟨ , -3 ⟩ en ⟨ 2,  ⟩
sijgend op ⟨ -3, 2 ⟩
toenemend stijgend op ⟨ -3,  2 ⟩
afnemend stijgend op ⟨  12 , 2 ⟩
1
c
f’(x) = -x2 – x + 6
d xP =
e
3  2

2

1
2
Bij x = xP gaat de grafiek van f over van toenemend stijgend in afnemend stijgend.
12.4
opgave 44
a
schets
1 4 1 3
x  x
12
3
1
geeft f '( x)   x3  x 2
3
b f ( x)  
f’’(x) = -x2 – 2x
f’’(x) = 0 geeft –x2 – 2x = 0
x(-x – 2) = 0
x = 0 ⋁ x = -2
f(0) = 0 en f(-2) = 1 13
1
De buigpunten zijn (0, 0) en (-2, 1 3 ).
c
1
f’(0) =  3 · 03 – 02 = 0
dus de buigraaklijn in (0, 0) is horizontaal.
12.4
Soorten van stijgen en dalen
Is van de functie y = f(x) op het interval ⟨a, b⟩ de afgeleide
f’(x) > 0 en ook de tweede afgeleide f’’ (x) > 0, dan is f
toenemend stijgend op ⟨a, b⟩.
Zo kun je ook de andere soorten van stijgen en dalen
afleiden uit het positief of negatief zijn van de
afgeleide en de tweede afgeleide.
Heb je bij de formule N(t) te maken met
dN
< 0 en
dt
d  dN 

 > 0 dan is N een afnemend dalende functie van t.
dt  dt 
12.5
Snelheid en versnelling
Bij de afgelegde weg s(t) met s in meters en t in seconden is de snelheid
v(t) = s’(t) met v in m/s en de versnelling a(t) = s’’ (t) met a in m/s2.
Regels voor het primitiveren
f(t) = a geeft
F(t) = at + c
f(t) = at geeft
F(t) = 12 at2 + c
f(t) = at2 geeft
F(t) = 13 at3 + c
De constante c heet de integratieconstante.
12.5
opgave 62
a v(t)
b a(t) = -4
v(t) = -4t + 25
v(0) = 25
v(t) = 0 geeft -4t + 25 = 0
-4t = -25
t = 6 14
Dus A(6 14 , 0).
v(0) = 25 dus B = (0, 25).
c
opp(∆OAB) = 12 · 25 · 614 = 7818
opp(∆OAB) is de afgelegde afstand.
12.5