Het tweedimensionale geval is alleen bruikbaar voor een

Uit de ruimtefiguur blijkt nog de lengte van de beide zijden, deze moeten gelijk zijn aan de
loodrechte projecties van y op x1 en x2, waarvan de lengten zijn
x1 = y cos(α1)
resp. x2 = y cos(α2)
NB: we laten in het vervolg de || weg en noteren y als de lengte van de vector y.
In de rechter figuur is de projectie op het grondvlak gegeven. De hoeken α1 en α2 zijn hier niet
gedefinieerd, wel α12 , de hoek tussen x1 en x2.
Hiervoor gebruiken we één van beide driehoeken in het bovenaanzicht, in dit geval de rechter,
met zijden y cos(α1) en y’. Dat deze driehoek een rechte hoek houdt, ook in het
bovenaanzicht, wordt hier niet bewezen, maar kan uit de figuur worden afgeleid.
Om in deze driehoek Pythagoras toe te kunnen passen is de derde zijde van deze driehoek
nodig, in de figuur a.cos(α12) genoemd. Deze benaming volgt uit de onderste rechte driehoek,
met gekozen schuine zijde a en hoek α12 zoals aangegeven. Dat deze hoek gelijk is aan α12
volgt uit de beide rechte hoeken.
Voor de grote driehoek moet gelden
____ycos(α2)____
cos(α12)
=
ycos(α1) + asin(α12)
(4-2)
of
a
y
=
__cos(α2)_- cos(α1)cos(α12)_
cos(α12) sin(α12)
waarmee de kleine driehoek vastligt.
Hiermee kan y’ worden bepaald, namelijk
(4-3)
y’2
=
y2 cos2(α1)+a2cos2 (α12)
(4-4)
Invullen van (4-3) in (4-4) geeft
y’2
y2
=
2
cos (α1) +
(cos(α2)_-cos(α1)cos(α12)) 2_
cos2(α12) sin2(α12) . cos2 (α12)
(4-5)
Hiermee, en met sin2(α12)=1- cos2(α12) krijgt men
Omdat y’/y gelijk is aan de cosinus van β12, volgt met een kleine berekening
cos2 α1 - 2cos α1 α2 α12 + cos2 α1
cos2 β12
=
1- cos2 α12
(4-7)