2eF havo 2.2 Grote getallen

havo/vwo D Samenvatting Hoofdstuk 8
Getallenverzamelingen
ℕ = positieve gehele getallen
ℤ = ℕ + 0 + negatieve gehele getallen
ℚ = ℤ + gebroken getallen
ℝ = ℚ + irrationele getallen zoals √11 en sin15°
ℂ = ℝ + complexe getallen ( i ).
8.1
De verzameling van de complexe getallen
Voor het imaginaire getal i geldt i2 = -1.
vb.
x2 = -3
x2 = 3 · i2
x = √3 · i v x = -√3 · i
x = i√3 v x = -i√3
Een getal van de vorm a + bi met a en b reële getallen en
met i2 = -1 heet een complex getal. ( ℂ )
Bij z = a + bi is het getal a het reële getal van z, notatie a = Re(z).
Het getal b is het imaginaire deel van z, notatie Im(z).
Het complexe getalz = a – bi heet de geconjugeerde van z.
8.1
Rekenregels voor complexe getallen
8.1
Complexe getallen op de GR
8.1
Vectoren en complexe getallen
Complexe getallen worden getekend in het complexe vlak.
De reële as is horizontaal en de imaginaire as is verticaal.
De modulus of absolute waarde van een complex getal z is
de lengte van de vector die bij het complexe getal hoort.
z = a + bi =
a 2  b2
z ·z = z2
z1 · z2 = z1 · z2
8.2
opgave 18
im
a) Re(z) = 4
4i
(4,0i) , (4,1i)
b) Re(z) = Im(z)
c
3i
(0,0i) , (1,1i)
2i
c) Re(z) + Im(z) = 2
(0,2i) , (2,0i)
i
d) Re(z) – 2 Im(z) = 4
(0,-2i) , (4,0i)
b
re
0
-i
-2i
a
d
8.2
opgave 23a
-30° ≤ Arg(z) ≤ 30°
im
4i
3i
∙
2i
i
re
0
-i
-2i
∙
8.2
Vermenigvuldigen met poolcoördinaten
z1 · z2 = z1 · z2 en
arg(z1 · z2) = arg(z1) + arg(z2)
Delen met poolcoördinaten
z
z1
 1
z2
z2
z 
arg  1   arg( z1 )  arg( z2 )
 z2 
De formule van De Moivre
(cos φ + i sin φ)n = cos nφ + i sin nφ
8.3
De exacte-waarden-cirkel
8.3
De functies f(z) = z + a + bi en f(z) = a · z
Bij de functie f(z) = z + a + bi hoort de translatie (a, b)
Bij de functie f(z) = az met a een reëel getal hoort de
vermenigvuldiging t.o.v. 0 met factor a.
Een nulpunt van de complexe functie f is een getal dat op z = 0
wordt afgebeeld.
Je krijgt de nulpunten van f door de vergelijking f(z) = 0 op te lossen.
Een dekpunt van de complexe functie f is een getal dat op
zichzelf wordt afgebeeld.
Je krijgt de dekpunten van f door de vergelijking f(z) = z op te lossen.
8.4
im
5i
opgave 49
f(z) = -1½ z + 3 + 2i
a) Teken
2+4i
∙
4i
verm. met -1½ t.o.v. 0
gevolgd door translatie (3,2)
3i
∙
2i∙
b) f(z) = 0
-1½ z + 3 + 2i = 0
3+2i
i
-1½ z = -3 – 2i
z = 2 + 1⅓ i
Het nulpunt is 2 + 1⅓ i
-3
∙
-2
-1
0
-3- i
-i
1
2
3
∙
4
3- i
c) f(z) = z
-1½ z + 3 + 2i = z
-2½ z = -3 – 2i
1 4
z= 1  i
5 5
-2i
-3i
8.4
-4i
re
De functie f(z) = (a + bi)z
Bij de functie f(z) = (a + bi)z hoort de draaivermenigvuldiging
die bestaat uit de rotatie over arg(a + bi) en de vermenigvuldiging
ten opzichte van 0 met factor a + bi.
8.4
Krachten en complexe getallen
Bij het rekenen met krachten en snelheden is niet alleen de grootte,
maar ook de richting van belang.
Het is dan handig om gebruik te maken van vectoren.
complex getal z  vector in het platte vlak
arg(z)  richting van de vector
z  lengte van de vector
Snelheden en complexe getallen
Ook van snelheden is vaak de grootte en de richting gegeven.
Bij snelheid is het begrip koers van belang.
8.5
opgave 67
Bij de krachten horen de complexe getallen
z1 = 120(cos 0° + i sin 0°) = 120
z2 = 250(cos 35° + i sin 35°)
z3 = 200(cos 100° + i sin 100°)
z4 = 180(cos 170° + i sin 170°)
GR
z1 + z2 + z3 + z4 ≈ 388
arg(z1 + z2 + z3 + z4) ≈ 73°
De resultante heeft een grootte van 388 N en maakt een hoek van
73°.met de horizontale as.
8.5
opgave 71
Bij de snelheden horen de complexe getallen
z1 = 4(cos(-155°) + i sin(-155°))
z2 = 3i
GR
z1 + z2 ≈ 3,9
290°
arg(z1 + z2) ≈ 160°
De resulterende snelheid maakt een hoek van 160° met de horizontale as.
De resulterende snelheid is 3,9 km/u en de koers is 290°.
8.5