Vwo 5 / Havo 4 Wis D Hoofdstuk 8 : Complexe getallen

Vwo 5 / Havo 4 Wis D Hoofdstuk 8 : Complexe getallen
Pagina 1 van 11
Les 1 Kwadraat afsplitsen en Verzamelingen
Definities Verzamelingen
Er zijn verschillende verzamelingen
N = Natuurlijke getallen
= 1,2,3,…..
Z = Gehele getallen
= … ,-3,-2,-1,0,1,2,3,…..
Q = Rationale getallen (breuken) = Z en ½, -1 ¾ , etc…
R = Reële getallen
= Q en √7,π, -∛328 , etc
C = Complexe getallen
= R en alles van de vorm a+bi
Definitie


Complexe getallen zijn getallen van de vorm z = a + bi met i2 = -1 !!!!!
Voorbeelden zijn 3+4i , 10-2i, maar ook -3i (=0 - 3i) of 4 (=4 + 0i)
Stappenplan kwadraat afsplitsen
(i) Schrijf (x+ ½b)2 uit.
(ii) Vul dit in de opgave in en los de vergelijking op.
Voorbeeld 1
Los de vergelijking x2 + 8x – 20 = 0 op met kwadraat afsplitsen.
Oplossing 1
(i) (x+4)2 = x2 + 8x +16
(ii) Vul in en los de vergelijking op.
x2 + 8x – 20 = 0
x2 + 8x + 16 – 36 = 0
(x+4)2 – 36 = 0
(x+4)2 = 36
x+4 = 6 v x+4 = -6
x = 2 v x = -10
Vwo 5 / Havo 4 Wis D Hoofdstuk 8 : Complexe getallen
Voorbeeld 2
Los de vergelijkingen op. Maak gebruik van i2 = -1
a. x2 + 4x +9 = 0
b. x2 – 5x – 16¼ = 0
Oplossing 2
a.
b.
(i)
(ii)
(i)
(ii)
(x+2)2 = x2 +4x + 4
x2 +4x + 9 = 0
x2 +4x + 4 + 5 = 0
(x+2)2 + 5 = 0
(x+2)2 = -5 = 5i2 (!!!!)
x+2= √(5) i v x+2= - √(5) i
x = -2 + √(5) i v x = -2 - √(5) i
(x-2½)2 = x2 - 5x + 6¼
x2 – 5x – 20 = 0
x2 – 5x + 6¼ + 10 = 0
(x – 2½)2 + 10 = 0
(x – 2½)2 = –10 =10i2
x – 2½= √10𝑖 v x – 2½= −√10𝑖
1
1
x = 2 2 + √10𝑖 v x = 2 2 − √10𝑖
Pagina 2 van 11
Vwo 5 / Havo 4 Wis D Hoofdstuk 8 : Complexe getallen
Pagina 3 van 11
Les 2 : Rekenen met complexe getallen
Definitie


Als z = a + bi, dan is z = { geconjungeerde van z } = a - bi
Er zijn vier bewerkingen die we uitleggen aan de hand van een voorbeeld
Voorbeeld 1
(3 + 4i) + (5 + 7i) = 8 + 11i
(1) Plus
(2) Min
(3 + 4i) − (5 + 7i) = −2 − 3i
(3) Keer
(3 + 4i) ∙ (5 + 7i) =
15 + 21i + 20i + 28𝑖 2 = 15 + 41i – 28 = −13 + 41i
(4) Delen
3  4i 3  4i 5  7i 15  21i  20i  28i 2 15  1i  28 43  i






5  7i 5  7i 5  7i
25  49
74
25  49i 2
43
74
 741 i
Vwo 5 / Havo 4 Wis D Hoofdstuk 8 : Complexe getallen
Pagina 4 van 11
Les 4 Het complexe vlak
Gegeven is het complexe getal z = 1 + 2i. Een aantal begrippen / definities :
a 2  b 2 = { Lengte van de vector / straal van de cirkel }
(1) | z | = {Modulus van z} =
Voorbeeld :
(2) Re (z) = a
a 2  b 2  12  2 2  5
en
Im (z) = b
Voorbeeld : Re (1 + 2i) = 1
en
Im (1 + 2i) = 2
(3) Tekenen van z = 1 + 2i
2i
1
(4) Arg (z) = { Het argument van z } = { Hoek met de positieve x-as }
1
Voorbeeld : Arg (1 + i) = 45∘ want tan α = 1 dus α=45∘
Voorbeeld 1 : Teken de volgende figuren
a. Im (z) = 3
b. Im(z) + Re (z) = 4
c. | z | = 2
d. | z – 1 – 2i | = 3
e. 45∘ ≤ Arg ≤ 90∘
Vwo 5 / Havo 4 Wis D Hoofdstuk 8 : Complexe getallen
Oplossing
a. Im (z) = 3
b. Im(z) + Re (z) = 4
c. | z | = 2

d. | z – 1 – 2i | = 3 
e. 45∘ ≤ Arg ≤ 90∘
a.
Pagina 5 van 11
y=3
x+y=4 y=4-x
a 2  b 2  2  a 2  b 2  2 2 (dit is een cirkel met straal 2)
a 2  b 2  3  a 2  b 2  3 2 (dit is een cirkel met straal 3 en
Middelpunt 1 + 2i)
(hoek tussen 45 en 90 graden)
b.
4i
3i
4
c.
e.
d.
Vwo 5 / Havo 4 Wis D Hoofdstuk 8 : Complexe getallen
Pagina 6 van 11
Les 6 Poolcoördinaten
Er geldt :
sin(𝜃) =
Zo ook :
cos(𝜃) =
𝑦−𝑐𝑜𝑜𝑟𝑑𝑖𝑛𝑎𝑎𝑡
𝑟
𝑥−𝑐𝑜𝑜𝑟𝑑𝑖𝑛𝑎𝑎𝑡
𝑟
𝑑𝑢𝑠 𝑦 = 𝑟 ∙ sin(𝜃)
𝑑𝑢𝑠 𝑥 = 𝑟 ∙ cos(𝜃)
In het complexe vlak :
𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 = 𝑟 ∙ cos(𝜃) + 𝑖𝑟 ∙ sin(𝜃) = 𝑟(cos(𝜃) + 𝑖 sin(𝜃))
Je kunt ze als volgt berekenen
(1) 𝑟 = √𝑥 2 + 𝑦 2
𝑦
(2) tan(𝜃) = 𝑥 (en let op kwadrant en -180 ≤ 𝜃 ≤ 180)
VB1.Schrijf als poolcoördinaat :
a. z = 1 + i
b. z = 1 – √3 i
c. z = -3 + 2i
Opl.
a. 𝑟 = √12 + 12 = √2
1
tan(𝜃) = 1 → 𝜃 = 45°
Dus 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 = √2(cos(45) + 𝑖 sin(45))
b. 𝑟 = √12 + (−√3)2 = 2
tan(𝜃) =
−√3
1
→ 𝜃 = −60°
Dus 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 = 2(cos(−60) + 𝑖 sin(−60))
c. 𝑟 = √(−3)2 + 22 = √11
Je kunt nu ook met de knop Angle werken. Dit gaat als volgt :
 Mode  Real ⇨ a+bi
 Catalog (2nd 0)  Angle (-3+2i) = 146 → 𝜃 = 146°
Vwo 5 / Havo 4 Wis D Hoofdstuk 8 : Complexe getallen
Pagina 7 van 11
Dus 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 = √2(cos(146) + 𝑖 sin(146))
Les 7 Formules voor Poolcoördinaten (De Moivre)
Er gelden een aantal formules :
(1) |𝑧1 ∙ 𝑧2 | = |𝑧1 | ∙ |𝑧2 |
𝑧1
|𝑧1 |
2
2|
(Stralen van de losse delen mag je x doen)
(2) |𝑧 | = |𝑧
(Stralen mag je delen)
(3) 𝐴𝑟𝑔(𝑧1 ∙ 𝑧2 ) = 𝐴𝑟𝑔(𝑧1 ) + 𝐴𝑟𝑔(𝑧2 )
𝑧
(4) 𝐴𝑟𝑔 ( 1 ) = 𝐴𝑟𝑔(𝑧1 ) − 𝐴𝑟𝑔(𝑧2 )
𝑧2
(Hoeken bij elkaar optellen bij keer)
(Hoeken van elkaar aftrekken bij deel)
 Bewijs |𝑧1 ∙ 𝑧2 | op het bord uitschrijven ?!
VB1. Geef de modulus (=r) en het Argument (=𝜃) van
a. 𝑧 = (3 + 𝑖)(3 − 4𝑖)
3+𝑖
b. 𝑧 = 3−4𝑖
c. 𝑧 = (1 + 2𝑖)(−5 − 12𝑖)
Opl1.
a. z1 = 3+i
z2 = 3-4i
z = z1 ∙ z2
 𝑟 = √(3)2 + 12 = √10
 𝑟 = √(3)2 + (−4)2 = 5
 𝑟 = 5 ∙ √10
b. z = z1 / z2
𝑟=
√10
5
Angle(3+i) = 18∘
Angle(3-4i) = -53∘
Angle= 18 + -53 = -35∘
Angle= 18 - -53 = 71∘
c. Probeer zelf
Opmerking
 Je kunt controleren door bij a. de vermenigvuldiging uit te voeren :
𝑧 = (3 + 𝑖)(3 − 4𝑖) = 9 − 12𝑖 + 3𝑖 − 4𝑖 2 = 13 − 9𝑖
Dit geeft 𝑟 = 5 ∙ √10
Angle= 18 + -53 = -35∘
Formule van de Moivre :
𝑧 𝑛 = (𝑟(cos(𝜃) + 𝑖 sin(𝜃))𝑛 = 𝑟 𝑛 (cos(𝑛𝜃) + 𝑖 sin(𝑛𝜃))
VB1. Bereken
a. (3+i)5
b. (3-4i)4
Opl.
a. z1 = 3+i
(3+i)5
b. z2 = 3-4i
(3-4i)4
 𝑟 = √(3)2 + 12 = √10
5
 𝑟 5 = √10 = 100√10
 𝑟 = √(3)2 + (−4)2 = 5
 𝑟 4 = 54 = 625
Angle(3+i) = 18∘
Angle = 5∙18 = 90
Angle(3-4i) = -53∘
Angle = 4∙-53 = -212
Vwo 5 / Havo 4 Wis D Hoofdstuk 8 : Complexe getallen
Pagina 8 van 11
Les 8 Complexe machtsvergelijkingen oplossen
Stappenplan voor Complexe 3e (4e) graads vergelijkingen oplossen
(1) Schrijf het getal rechts als poolcoördinaat.
(2) Schrijf 3 (4) verschillende oplossingen op die een hoek van 360 graden
verschillen.
(3) Gebruik de Moivre om de 3 (4) vergelijkingen op te lossen.
VB1. Los op
a. z3 = 4i
b. (z-1)2 = -25
Vwo 5 / Havo 4 Wis D Hoofdstuk 8 : Complexe getallen
Pagina 9 van 11
Opl.
a.
(1) z3 = 4i = 2(cos(90) + 𝑖 sin(90))
(2) De drie oplossingen zijn
o z3 = 2(cos(90) + 𝑖 sin(90))
o z3 = 2(cos(450) + 𝑖 sin(450))
(+360)
3
o z = 2(cos(810) + 𝑖 sin(810))
(+360)
(3) De echte oplossingen zijn
3
o z = √2(cos(30) + 𝑖 sin(30))
3
o z = √2(cos(150) + 𝑖 sin(150))
3
3
o z = √2(cos(270) + 𝑖 sin(270)) = 0 − √2 𝑖
b.
(1) (z-1)2 = -25  𝑝2 = 5(cos(180) + 𝑖 sin(180))
(2) De drie oplossingen zijn
o p2 = 5(cos(180) + 𝑖 sin(180))
o p2 = 5(cos(540) + 𝑖 sin(540))
(+360)
(3) De echte oplossingen voor p zijn
a. p = 5(cos(90) + 𝑖 sin(90)) = 0 + 5𝑖 = 5𝑖
b. p = 5(cos(270) + 𝑖𝑠𝑖𝑛(270)) = 0 − 5i = −5𝑖
Dus z = 1+5i of z = 1 - 5i
(+360)
Vwo 5 / Havo 4 Wis D Hoofdstuk 8 : Complexe getallen
Pagina 10 van 11
Les 9 Het Complexe vlak
VB1. Gegeven is het vlak met domein 1 ≤ Re(z) ≤ 3 en 1 ≤ Im(z) ≤ 2
a. Teken dit vlak van z.
Het vlak z wordt door Jan gedraaid volgens de formule f(z) = (1+i)z met
bovengenoemde domein.
b. Bepaal het bereik.
c. Teken het bereik in dezelfde tekening. Hoe is het bereik ontstaan uit het domein.
Het vlak z wordt door Kees behandeld volgens de formule f(z) = 4 + 2i - z met
bovengenoemde domein.
d. Teken het bereik van deze functie in een nieuwe tekening.
e. Bepaal het nulpunt bij oneindig domein.
f. Bepaal het dekpunt bij oneindig domein.
Opl.
a.
2
1
1
3
b. z1 = 1+i  𝑟 = √(1)2 + 12 = √2
Angle(1+i) = 45∘
Van de vector (0,ieder hoekpunt) wordt met √2 vermenigvuldigd en gedraaid over
45∘. Dus
 (1,1)  r = √2 ∙√2 = 2 en hoek was 45 en wordt 45 + 45 = 90  (0,2)
 (3,1)  r = √10 ∙√2 = √20 en hoek was 18 en wordt 18 + 45 = 63
 (3,2)  r = √13 ∙√2 = √26 en hoek was 34 en wordt 34 + 45 = 79
 (1,2)  r = √5 ∙√2 = √10 en hoek was 63 en wordt 63 + 45 = 108
c. Je kunt dit doen door vanuit ieder hoekpunt 45 graden verder te tekenen met de
goede straal!!
Vwo 5 / Havo 4 Wis D Hoofdstuk 8 : Complexe getallen
d.
4
3
5
7
Opmerking : 4 hoger en 2i hoger.
e. Nulpunt : 4 + 2i – z = 0  z = 4 + 2i
f. Dekpunt : 4 + 2i – z = z  2z = 4 + 2i  z = 2 + i
Pagina 11 van 11