Complexe getallen

Complexe getallen
René van Hassel
2005
2
Inhoudsopgave
0 Algemeen
0.1 Diktaat . . . .
0.2 Literatuur . . .
0.3 Opgaven . . . .
0.4 Onderwijsvorm
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1 Complex getal
1.1 Reëel en imaginair deel .
1.2 Optelling . . . . . . . . .
1.3 Vermenigvuldiging . . .
1.4 Exponentiële functie . .
1.5 Goniometrische formules
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
3
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
5
5
5
5
5
.
.
.
.
.
7
7
11
14
16
18
Lijst van figuren
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Complexe vlak C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Complex geconjugeerde z ∗ . . . . . . . . . . . . . . .
Eenheidscirkel in C . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Plaatsvector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Parallellogram-optelling . . . . . . . . . . . . . . . .
Kop-staart optelling . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Scalaire vermenigvuldiging met de reële scalar α ∈ R
Verschil, afstand en driehoeksongelijkheden . . . . . .
Vermenigvuldigen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Formule van Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Complexe e-macht . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
7
9
10
11
11
12
13
14
15
17
18
0
Algemeen
0.1
Diktaat
Dit diktaat gaat zoals de titel al zegt over complexe getallen.
0.2
Literatuur
Een deel van de stof is terug te vinden in de volgende boeken:
• Kreyszig [2],
• Adams [1].
0.3
Opgaven
Het is de bedoeling dat de studenten zelf de opgaven proberen en tijdens het
practicum zelf met vragen komen.
0.4
Onderwijsvorm
College met instructie.
• Docent: René van Hassel,
• Indeling van de middag.
In blok A zal het zoiets worden van 1 uur college en 1 uur opgaven
behandelen.
In blok B, denk ik, 2 á 3 uur college en proberen zeker 1 uur opgaven
te behandelen.
• Probeer in groepjes te werken, twee weten meer de één.
• De afspraak is dat er één tentamen komt, waarin geen onderscheid
wordt gemaakt tussen de duale opleiding en de reguliere opleiding.
Referenties
[1] Robert A. Adams. Complete Course Calculus. Addison-Wesley, Reading,
Massachusetts, third edition, 1995.
5
[2] Erwin Kreyszig. Advanced Engineering Mathematics. Wiley, New York,
8th edition, 1999.
6
i(t)
+
−
V (t)
spoel
i
Va
Vb
condensator
geleider
1
Complex getal
x
x = 0
1.1 Reëel en imaginair deel
S
u = u( x, t) • Het complexe getal z = a + b i heeft in het complexe vlak C de
vlak V
coördinaten ( a, b).
φ
St
Sl
imaginaire as
u( x, t)
bi
snaarelement
Complexe vlak
z=a+bi
2i
St (x+ M x, t)
St (x, t)
x+ M x
i
u(0, t)
|z|
u(x, t)
arg(z)
A σ(x, t)
A σ(x+ M x, t)
−3
−2
−1
0
1
2
3
a
”gas element”
reele as
x
x+ M x
−i
A(p0 + p(x, t))
p0 + p(x+ M x, t))
Figuur 1: Complexe vlak C
• Het reële deel, notatie Re(z), van het complexe getal z = a + b i ∈ C
wordt gegeven door
Re(z) = a,
en het imaginaire deel, notatie Im(z), van het complexe getal
z = a + b i ∈ C wordt gegeven door
Im(z) = b.
• De afstand van het complexe getal z = a + b i tot het getal 0 wordt
de modulus, notatie |z|, van z ∈ C genoemd. Uit de stelling van
Pythagoras volgt
q
√
2
2
|z| = a + b = Re(z)2 + Im(z)2 .
7
• Zij z 6= 0. De hoek tussen de positieve reële as en de voerstraal van
het complexe getal z = a + b i wordt het argument, notatie arg(z),
van z genoemd. Indien arg(z) gemeten wordt tegen de richting van de
wijzers van de klok in, dan is arg(z) positief, anders negatief.
Voor z 6= 0 geldt:
(1.1.1)


Re( z) = |z| cos ( arg( z))
Im( z) = |z| sin ( arg( z))


z = | z| [ cos ( arg( z)) + i sin ( arg( z)) ]
De waarde van arg( z) wordt in radialen berekend.
Zo geldt
π
π
, arg( 1) = 0, arg( 1 + i) = ,
2
4
3π
−π
, arg( −1) = π, arg( −1 + i) =
.
arg( −i) =
2
4
arg( i) =
Het argument arg( z) van een complex getal z = ∈ C is op een geheel
veelvoud van 2π na bepaald. Indien arg( z) zo gekozen wordt dat
(1.1.2)
−π < arg( z) ≤ π,
dan noemen we deze waarde van het argument de hoofdwaarde, notatie Arg( z), van arg( z). Aan het getal z = 0 ∈ C wordt geen argument
toegekend.
8
spoel
i
Va
Vb
condensator
geleider
x
x = 0
S
u = u( x, t) • Het spiegelbeeld van het complexe getal z = a + b i in de reële as
vlak V
wordt de geconjugeerde, notatie z ∗ , van z genoemd.
φ
St
Sl
Complexe vlak
u( x, t)
snaarelement
bi
z=a+bi
St (x+ M x, t)
St (x, t)
|z|
x+ M x
arg(z)
u(0, t)
u(x, t)
reele as
0
a
arg(z*)
A σ(x, t)
A σ(x+ M x, t)
| z *|
”gas element”
x
−b i
z*=a−bi
x+ M x
A(p0 + p(x, t))
imaginaire as
p0 + p(x+ M x, t))
Figuur 2: Complex geconjugeerde z ∗
Enkele belangrijke relaties: ( ga dit na!)
(1.1.3)

∗
∗

Re( z ) = Re( z), |z | = |z|,
Im( z ∗ ) = −Im( z), arg( z ∗ ) = −arg( z)


z = z ∗ ⇔ z ligt op de reële as, i.e. z ∈ R
9
−
V (t)
spoel
i
Va
Vb
condensator
geleider
x
x = 0 • De complexe getallen op de cirkel met middelpunt 0 en straal 1 wordt
S
de eenheidscirkel in het complexe vlak C genoemd. Dat wil zeggen
u = u( x, t)
de complexe getallen z ∈ C met |z| = 1 vormen de eenheidscirkel in
vlak V
het complexe vlak.
φ
St
Sl
imaginaire as
u( x, t)
i
snaarelement
eenheidscirkel
Complexe vlak
St (x+ M x, t)
St (x, t)
x+ M x
u(0, t)
u(x, t)
0
reele as
−1
1
A σ(x, t)
A σ(x+ M x, t)
”gas element”
x
−i
x+ M x
A(p0 + p(x, t))
A(p0 + p(x+ M x, t))
Figuur 3: Eenheidscirkel in C
10
T0
− Vb
2
condensator
T
geleider0
2
x
y(t)
x =m
0
S
u = u(massa
x, t)
rail
vlak
V
veer
φ
x=0
1.2 SOptelling
vaste wereldt
Sl
Met het
complexe getal z = a + b i ∈ C associëren wij de plaatsvector
u( x, C
t)
van z ten
R opzichte van het punt 0, i.e. de oorsprong van het complexe vlak
snaarelement
C.
L
St (x+ M x,i(t)
t)
St (x, t)
+
imaginaire as
x+ M −
x
Complexe vlak
u(0,
t)
V (t)
z=a+bi
u(x,
t)
spoel
A σ(x, t)
r
ecto
A σ(x+ M x, t)i
v
s
t
Va
plaa
z
”gas element”
Vb
van
x
condensator
x+
M
x
geleider
reele as
0
A(p0 + p(x, t))
x
A(p0 + p(x+ M x, t))
x = 0
S
Figuur 4: Plaatsvector
u = u( x, t)
vlak V
Laatφ nu z1 ∈ C en z2 ∈ C twee complexe getallen zijn. Onder de som
z = zS1t + z2 verstaan wij het complexe getal dat verkregen wordt door
Sl
de plaatsvectoren
van z1 en z2 als vectoren op te tellen, de zogenaamde
u(
x,
t)
parallellogram-optelling.. Het plaatje van de parallellogram-optelling ziet
snaarelement
er als volgt uit.
St (x+ M x, t)
St (x, t)
imaginaire as
x+ M x
u(0, t)
z = z1 + z 2
u(x, t)
z2
A σ(x, t)
A σ(x+ M x, t)
”gas element”
z
1
x
x+ M x
reele as
0
A(p0 + p(x, t))
Complexe vlak
A(p0 + p(x+ M x, t))
Figuur 5: Parallellogram-optelling
Wij kunnen het beginpunt van de plaatsvector z2 ook in het eindpunt van
11
condensator
geleider
x
x = 0
S
u = u( x, t)
vlak V
φ
St
Sl
de plaatsvector
van z1 kiezen. Het plaatje van de zogenaamde kop-staart
u(
x, t)
optelling
ziet er dan als volgt uit.
snaarelement
St (x+ M x, t)
imaginaire as
St (x, t)
x+ M x
plaatsvector van z 2
z = z1 + z 2
u(0, t)
z2
u(x, t)
A σ(x, t)
A σ(x+ M x, t)
z
”gas element”
1
x
x+ M x
reele as
0
A(p0 + p(x, t))
Complexe vlak
A(p0 + p(x+ M x, t))
Figuur 6: Kop-staart optelling
Deze meetkundige definitie van de optelling leidt tot de onderstaande
algebraı̈sche vorm van de optelling. Voor
z1 = a 1 + b 1 i , z 2 = a 2 + b 2 i
geldt
(1.2.1)
z = z1 + z2 = (a1 + a2 ) + i (b1 + b2 ).
Er geldt derhalve
(
Re( z1 + z2 ) = Re( z1 ) + Re( z2 )
(1.2.2)
Im( z1 + z2 ) = Im( z1 ) + Im( z2 )
Merk op dat de optelling van complexe getallen de optelling van reële
getallen zoals wij die op de lagere school geleerd hebben, intact laat.
Zij α ∈ R een reeel getal. Als gevolg van de spelregels over de optelling
dient nu voor z = a + b i ∈ C het complexe getal αz alsvolgt gedefinieerd
te worden
(1.2.3)
α z = α a + α b i.
12
spoel
i
Va
Vb
condensator
geleider
x
x = 0
S
u = u(Er
x, geldt
t) derhalve
vlak V
(
φ
Re(αz) = α Re(z),
(1.2.4) S t
Im(αz) = α Im(z),
α ∈ R.
Sl
u(Inx,een
t) plaatje
snaarelement
St (x+ M x, t)
complexe vlak
α z, α > 1
St (x, t)
x+ M x
u(0, t)
u(x, t)
z
0
A σ(x, t)
reële as
A σ(x+ M x, t)
-z
”gas element”
x
x+ M x
α z, α < −1
A(p0 + p(x, t))
imaginaire as
A(p0 + p(x+ M x, t))
Figuur 7: Scalaire vermenigvuldiging met de reële scalar α ∈ R
Het verschil van twee complexe getallen
z1 = a 1 + b 1 i , z 2 = a 2 + b 2 i
wordt gedefinieerd als
(1.2.5)
z1 − z2 = z1 + (−z2 ) = (a1 − a2 ) + i (b1 − b2 )
Er geldt derhalve
(
Re( z1 − z2 ) = Re( z1 ) − Re( z2 )
(1.2.6)
Im( z1 − z2 ) = Im( z1 ) − Im( z2 )
13
x
x = 0
S
u = u( x, t)
vlak V
φ
St
Sl
u( x, t)
snaarelement
In een plaatje
St (x+ M x, t)
St (x, t)
complexe vlak
x+ M x
u(0, t)
u(x, t)
A σ(x, t)
z1 − z 2
A σ(x+ M x, t)
”gas element”
x
x+ M x
A(p0 + p(x, t))
−z2
A(p0 + p(x+ M x, t))
z1
z2
| z1 − z 2 |
0
reële as
imaginaire as
Figuur 8: Verschil, afstand en driehoeksongelijkheden
De afstand van twee complexe getallen z1 en z2 in het complexe vlak
wordt derhalve gegeven door
(1.2.7)
| z 1 − z2 |
en op grond van de driehoeksongelijkheden uit de vlakke meetkunde geldt
(
| z1 ± z2 | ≤ | z1 | + | z2 |,
(1.2.8)
| z1 ± z2 | ≥ | | z1 | − | z2 | |;
zie voorafgaande figuur.
1.3
Vermenigvuldiging
Laat z1 en z2 twee complexe getallen zijn. Het produkt z = z1 z2 wordt
vastgelegd door de volgende spelregels:
• Indien z1 = 0 of z2 = 0, dan geldt z1 z2 = 0.
• Indien z1 6= 0 én z2 6= 0, dan geldt
arg( z1 z2 ) = arg( z1 ) + arg( z2 ).
• Voor alle z1 , z2 ∈ geldt
| z1 z2 | = | z1 | | z2 |.
In een plaatje
14
imaginaire as
arg(z1 z2 ) = arg(z1 ) + arg(z2 )
)
z2
|z2 |
ar
g(
z2
S
u = u( x, t)
vlak V
φ
St
Sl
u( x, t)
snaarelement
St (x+ M x, t)
St (x, t)
x+ M x
z1 z2
u(0, t)
u(x, t)
A σ(x, t)
|z
1z
A σ(x+ M x, t)
2|
=
”gas element”
|z
1|
|z
x
2|
x+ M x
0
A(p0 + p(x, t)) complexe vlak
A(p0 + p(x+ M x, t))
|
|z 1 z1
z 1)
arg(
reële as
Figuur 9: Vermenigvuldigen
Het quotient
de spelregels:
z1
bestaat alleen indien z2 6= 0 en wordt vastgelegd door
z2
• Indien z1 = 0 én z2 6= 0, dan geldt
z1
= 0.
z2
.
• Indien z1 6= 0 én z2 6= 0, dan geldt
z1
arg( ) = arg( z1 ) − arg( z2 ).
z2
• Voor alle z1 ∈ C en z2 6= 0 geldt
|
z1
|z1 |
| =
.
z2
|z2 |
Merk op dat de vermenigvuldiging ( en de deling) van complexe getallen
de vermenigvuldiging ( en de deling) van reële getallen, zoals wij die op de
lagere school geleerd hebben, intact laat.
Ga na dat
(1.3.1)
i2 = −1.
De relatie (1.3.1) vormt de basis voor het algebraı̈sche procédé van de
vermenigvuldiging. Voor
z1 = a 1 + b 1 i , z 2 = a 2 + b 2 i
15
geldt


z1 z2
(1.3.2)
en voor z2 6= 0

z1





z

 2
(1.3.3)
Ga na dat
(1.3.4)
1.4









= ( a1 + b1 i)( a2 + b2 i)
= a 1 a 2 + a 1 b 2 i + a 2 b 1 + b 1 b 2 i2
= ( a 1 a 2 − b 1 b2 ) + i ( a 1 b2 + a 2 b1 )
( a1 + b1 i)
( a1 + b1 i)( a2 − b2 i)
=
( a2 + b2 i)
( a2 + b2 i)( a2 − b2 i)
( a 1 a 2 + b 1 b2 ) + i ( a 1 b2 − a 2 b1 )
=
a22 + b22
a 1 b2 − a 2 b1
a 1 a 2 + b 1 b2
+i
=
2
2
a2 + b 2
a22 + b22
=

z + z∗
z − z∗

Re(
z)
=
,
Im(
z)
=
,



2
2i
(z1 ± z2 )∗ = z1∗ ± z2∗ , (z1 z2 )∗ = z1∗ z2∗


z∗
z

( 1 )∗ = 1 , z z ∗ = |z|2 .
z2
z2∗
Exponentiële functie
Op de middelbare school hebben wij de spelregels geleerd om de waarde van
de expoentiële functie
ex = exp(x)
voor een reëel getal x ∈ R uit te rekenen. We bekijken nu de spelregels om
de waarde van de expoentiële functie
ez = exp(z)
voor een complex getal z ∈ C uit te rekenen. Deze spelregels zijn zodanig
ontworpen dat
(1.4.1)
e z1 + z 2 = e z1 ez1
voor alle z1 , z2 ∈ C. Zij nu z = a + b i ∈ C een complex getal. Op grond
van (1.4.1) is nu te schrijven
(1.4.2)
e z = e a + b i = e a eb i
16
V (t)
spoel
i
Va
Vb
condensator
geleider
x
x = 0
S a = Re(z) ∈ R is ons de waarde van ea reeds bekend van de
Aangezien
u =middelbare
u( x, t)
school. Overeenkomstig de zogenaamde formule van Euler
vlak per
V definitie
geldt
φ
(1.4.3)S t
eb i = cos(b) + i sin(b), b ∈ R.
Sl
u( x,wilt) zeggen eb i , b ∈ R, ligt op de eenheidscirkel en wel met argument b;
Dat
snaarelement
zie onderstaande figuur.
St (x+ M x, t)
St (x, t)
formule van Euler
x+ M x
i
u(0, t)
eb i = cos(b) + i sin(b), b ∈ R
u(x, t)
b
A σ(x, t)
A σ(x+ M x, t)
1
0
−1
reële as
”gas element”
x
eenheidscirkel
−i
x+ M x
A(p0 + p(x, t))
imaginaire as
A(p0 + p(x+ M x, t))
Figuur 10: Formule van Euler
Met gebruikmaking van (1.4.2) en de formule van Euler (1.4.3) zijn we
nu in staat de exponentiële functie
ez = exp(z)
te berekenen voor iedere complexe waarde van z.
Ga na dat voor alle z ∈ C geldt
(
|ez |
= exp(Re(z))
(1.4.4)
z
arg(e ) = Im(z).
Laat vervolgens zien dat
(1.4.5)
ez 6= 0
voor alle z ∈ C en dat voor alle complexe z 6= 0
(1.4.6)
z = exp(ln |z| + i arg(z)).
17
y(t)
m
massa
rail
veer
x=0
vaste wereld
C
R
L
Ga de
onderstaande relaties na
i(t)

+

1 = e0 = e2πi , −1 = eπi = e−πi ,
πi
πi
(1.4.7)−
(
)
(−
)
V (t)

i = e 2 ,
2
−i
=
e
.
spoel
Laati zien dat voor complexe z ∈ C en gehele k ∈ Z = {0, ±1, ±2, ±3, ....}
V
geldt a
Vb
condensator
(1.4.8)
ez = e(z + 2kπi) .
geleider
x dat voor reële φ ∈ R geldt
Laat zien
x = 0


cos(φ) = Re(ei φ ), sin(φ) = Im(ei φ ),
S



u = u( x, t)




vlak V
ei φ + e−i φ
(1.4.9) φ
cos(φ)
=
,
Formules van Euler


2

St


iφ
−i φ


 sin(φ) = e − e
Sl
.
2i
u( x, t)
snaarelement
Voor ieder complexe z 6= 0 geldt het onderstaande plaatje
St (x+ M x, t)
St (x, t)
formule van Euler
z = |z|ei arg(z)
x+ M x
i
u(0, t)
u(x, t)
arg(z)
A σ(x, t)
A σ(x+ M x, t)
1
0
−1
|z| reële as
”gas element”
x
eenheidscirkel
−i
x+ M x
A(p0 + p(x, t))
imaginaire as
A(p0 + p(x+ M x, t))
Figuur 11: Complexe e-macht
1.5
Goniometrische formules
Met gebruik van de formules van Euler (1.4.9) zijn allerlei goniometrische
formules eenvoudig af te leiden. Wij geven een voorbeeld.
18
Voor α, β ∈ R geldt
(ei α + e−i α) (ei β + e−i β)
)
4
(ei (α + β) + e−i (α + β) + ei (α − β) + e−i (α − β) )
= Re(
)
4
cos(α + β) + cos(−α − β) + cos(α − β) + cos(−α + β)
=
4
1
= (cos(α + β) + cos(α − β))
2
cos α cos β = Re(
Conclusie:
(1.5.1)
1
cos α cos β = (cos(α + β) + cos(α − β))
2
Ga op analoge wijze na dat
(
sin α sin β = 21 (cos(α − β) − cos(α + β))
(1.5.2)
sin α cos β = 21 (sin(α + β) + sin(α − β))
Voor α, β ∈ R geldt
sin (α + β) = Im(ei (α + β) ) = Im(ei α ei β )
= Im((cos α + i sin α)(cos β + i sin β)
= sin α cos β + cos α sin β.
Conclusie:
(1.5.3)
sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β.
Ga op analoge wijze na dat
(
sin (α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β.
(1.5.4)
cos (α ± β) = cos α cos β ∓ sin α sin β.
19
20
Index
Im, 7
Re, 7
afstand, 7, 14
Arg, 8
arg, 8
argument, 8
Complex getal, 7
driehoeksongelijkheden, 14
eenheidscirkel, 10
formule van Euler, 17
Formules van Euler, 18
geconjugeerde, 9
hoek, 8
hoofdwaarde, 8
imaginair deel, 7
kop-staart optelling, 12
modulus, 7
parallellogram-optelling, 11
plaatsvector, 11
produkt, 14
quotient, 15
radialen, 8
reëel deel, 7
som, 11
spiegelbeeld, 9
verschil, 13
21