Tentamen Inleiding Kansrekening TW1080. Theorievraag Opgaven

Tentamen Inleiding Kansrekening TW1080.
27 juni 2016, 9:00-12:00
• Het tentamen bestaat uit 1 theorievraag (op 10 punten) en 15 onderdelen. Met elk van deze laatste onderdelen kan maximaal 2 punten
verdiend worden.
• Het eindcijfer x wordt berekend als een gewogen gemiddelde van het
deeltentamencijfer y en het tentamencijfer z, via x = y(4/10)+z(6/10),
zoals uitgelegd is op blackboard.
• Er mag gebruik gemaakt worden van een A4 aan beide zijden beschreven
formuleblad, naar eigen keuze samen te stellen. Op het formuleblad
mogen geen bewijzen staan van één van de drie mogelijke theorievragen (wet van de grote aantallen, centrale limietstelling en bestaan van
stationaire verdeling van een Markov keten).
• Er mag gebruik gemaakt worden van een (mogelijk grafische) rekenmachine.
• De tweede lezer van dit tentamen is Dorota Kurowicka.
————————————————————————————————
Theorievraag
Geef en bewijs de zwakke wet van de grote aantallen. Bewijs hierbij ook de
ongelijkheden die u gebruikt.
Opgaven
1. X en Y zijn onafhankelijke Poisson verdeelde stochasten met dezelfde
parameter λ, i.e.,
P(X = n) = P(Y = n) =
λn −λ
e ,
n!
voor n = 0, 1, 2, . . ..
a) Bereken de kans P(X = 1|X ≤ 1 ∩ Y = 3).
1
b) Toon aan dat voor alle n en k ≤ n geldt:
n 1
P(X = k|X + Y = n) =
k 2n
Hint: u mag hierbij gebruik maken van de formule
n
X
1
2n
1
=
p! (n − p)!
n!
p=0
c) Gebruik makend van onderdeel b), toon aan dat
E(X|X + Y = n) =
n
2
d) Bereken de momentgenererende functie van X + 2Y . Kunt u
hieruit besluiten dat X + 2Y Poisson verdeeld is?
2. De stochast X is exponentieel verdeeld met parameter λ = 1, i.e., de
kansdichtheid van X wordt gegeven door
(
e−x voor x > 0
fX (x) =
0 elders.
Gegeven X = x, is de stochast Y normaal verdeeld met verwachting
nul en variantie x, met andere woorden, voor alle y ∈ R en x > 0 is de
conditionele kansdichtheid van Y , gegeven X = x gegeven door
y2
1
e− 2x , y ∈ R
2πx
R∞
In deze opgave mag u gebruiken dat 0 xn e−x = n! voor n = 1, 2, . . ..
fY |X (y|x) = √
a) Bereken de gemeenschappelijke kansdichtheid van (X, Y ).
b) Bereken E(Y 2 ). (Hint: bereken eerst E(Y 2 |X = x)).
c) Zij U een uniforme stochast is op [0, 1]. Voor welke functie ϕ :
[0, 1] → (0, ∞) is ϕ(U ) verdeeld zoals X?
3. Voor een rij stochasten X1 , X2 , . . . geldt:
i) Voor alle i = 1, 2, . . . is Xi normaal verdeeld met verwachting
µi = 1i en variantie σ 2 = 4.
ii) cov(Xi , Xi+1 ) =
1
2
voor alle i = 1, 2, . . ..
2
iii) cov(Xi , Xj ) = 0 indien |i − j| > 1.
a) Bereken het getal x zodanig dat P(X10 ≥ x) = 0.025. U mag hierbij gebruiken dat voor een standaard normaal verdeelde stochast
Z geldt dat P(Z > 1.96) = 0.025.
b) Bereken de variantie van X1 + 2X2 + 3X3 .
c) Toon aan dat
n
lim V ar
n→∞
1X
Xi
n i=1
!
d) Gebruik onderdeel c) om te bewijzen dat
nul convergeert als n → ∞.
=0
1
n
Pn
i=1
Xi in kans naar
e) Toon aan dat Xn /2 in verdeling convergeert naar een standaard
normaal verdeelde stochast, als n → ∞. U mag hierbij gebruiken
dat de momentgenererende functie van een stochast X met normale verdeling met verwachting µ en variantie σ 2 gegeven wordt
µt
door MX (t) = e
t2 σ 2
e 2 .
4. Een overgangsmatrix heet dubbel stochastisch indien alle rijsommen
en alle kolomsommen van de matrix gelijk zijn aan 1, i.e., voor alle
i, j ∈ {1, . . . , n} geldt
n
X
Pik =
n
X
Pkj = 1
k=1
k=1
a) Toon aan dat voor een dubbel stochastische overgangsmatrix P geldt
dat de uniforme verdeling op de toestandsruimte, i.e., de verdeling µ
gegeven door
1
µ = (1, 1, . . . , 1)
n
stationair is.
b) We beschouwen nu n = 3 en de overgangsmatrix
 1 1

0
2
2
P =  12 0 21 
0 12 21
Beargumenteer dat µ = 13 (1, 1, 1) de unieke stationaire verdeling is voor
deze overgangsmatrix.
3
c) Laat zien dat voor de overgangsmatrix P uit onderdeel b) voor alle i, j
geldt dat
bn/2c
n
(P )ij − 1 ≤ 2 3
3
4
waarbij bxc het grootste gehele getal is kleiner of gelijk aan x.
4