eerste deeltoets van 26 januari 2004

Deeltoets 1 Kansrekening en Statistiek voor INF (153008) en TEL (153034),
Maandag 26 januari 2004, 13.30-15.30 uur
Deze deeltoets bestaat uit 4 opgaven.
Vermeld ook uw studentnummer en studierichting op uw werk.
Pas na deelname aan deeltoets 2 ontvangt u een tentamenbriefje voor het hele vak.
1. Gegeven is dat P( A  B)  0.8 , P( A  B)  0.3 en P ( A)  0.35 .
a. Bereken P( A | B).
b. Zijn A en B onderling onafhankelijk? Motiveer uw antwoord.
2. Voor een masterclass met plaats voor 20 studenten hebben zich 6 TW-, 15 INF- en 9 TELstudenten aangemeld. Door loting wordt bepaald wie van de 30 aangemelde studenten aan
de masterclass mogen deelnemen.
Bereken de volgende twee kansen (er kan volstaan worden met een rekenkundige
uitdrukking):
a. De kans dat in de masterclass geen enkele wiskunde student zit.
b. De kans in de masterclass de studenten in de zelfde verhouding voorkomen als bij
aanmelding (dus 4 TW-, 10 INF en 6 TEL-studenten).
3. Om de kosten voor een overgang op een supersnel computernetwerk te beperken, besluit
de directie van een bedrijf dat medewerkers het gebruik van een aansluiting moeten delen
(“sharen”) in groepen van 10 personeelsleden. Volgens het computerbeheer is namelijk bij
gezamenlijk (actief) gebruik van 7 computers de snelheid nog voldoende. Rekening
houdend met afwezigheid van werknemers (door bijvoorbeeld deeltijdwerk of activiteiten
buiten het bedrijf) en het niet altijd actieve gebruik van de computer bij aanwezigheid,
lijkt sharen door 10 personen aanvaardbaar. Om een en ander vooraf goed te
inventariseren, modelleert men aanwezigheid en actief gebruik als volgt (op basis van
ervaring):
N, het aantal aanwezige personeelsleden in een willekeurige groep van 10 personeelsleden
die een aansluiting sharen, is uniform verdeeld op {6, 7, ….,10}. Dus de aantallen
aanwezigen 6 t/m 10 komen even vaak voor.
Voor elke aanwezige medewerker geldt dat hij met kans 80% actief gebruik maakt van het
netwerk op een willekeurig tijdstip (tijdens kantooruren). We veronderstellen dat het
actief zijn van medewerkers onafhankelijk van elkaar is.
X is het aantal op het netwerk actieve personeelsleden van de betreffende groep van 10
medewerkers.
a. Bepaal E(N) en var(N).
b. Welke kansverdeling heeft X gegeven N=8? Geef ook E(X|N=8).
c. Bereken de kans dat 9 personeelsleden (in een groep van 10) op een willekeurig moment
actief gebruik maken van het netwerk.
d. Hoe groot is de kans op overbelasting per aansluiting, d.w.z. de kans dat meer dan 7
personeelsleden in een groep van 10 gebruik maken van het netwerk?
4. Een continue stochastische variabele heeft de volgende kansdichtheid:
f(x) = cx, voor 0  x  1
en
f(x) = 0 voor de overige waarden van x.
Hierin stelt c een reële constante voor.
a. Bepaal de waarde van c.
b. Schets de kansdichtheid van X en bereken E(X).
c. Leid de kansdichtheid van X af.
_________________________________________
Normering:
1
2
3
4
Totaal
a b a b a b c d a b c
2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 23
Totaal
 9  1 (afgerond).
23
In het deeltoetscijfer, dat bekend gemaakt wordt op de werkcolleges, zijn de cijfers voor de
gemaakte huiswerkopdrachten elk voor 10% meegeteld (indien het effect positief is).
Toetscijfer: