Hogere Wiskunde Limieten en Continuiteit college week 5

Hogere Wiskunde
Limieten en Continuiteit
college week 5
Een inleiding
M.J.Roos
8 mei 2011
Limieten en Continuiteit
•
•
De functie f heet continue in x = a
De grenswaarde van f(x) is gelijk aan
de functiewaarde f(a) en zal de grafiek
van f in a doorlopen. Lim f ( x)  f (a)
x a
Limieten en Continuiteit
•
•
De functie f heet discontinue in x = a.
De grenswaarde is nu niet de functiewaarde, de grafiek maakt een sprong of heeft een
gaatje, Lim f ( x)  f (a)
x a
Limieten en Continuiteit
De ophefbare discontinuiteit in x = a
• Hierbij is de rechterlimiet in x=a gelijk aan de linkerlimiet in x=a, terwijl f(a)
daar niet gelijk aan is, Lim f ( x)  Lim f ( x)  f (a)
x a
x a
• We kunnen deze discontinuiteit opheffen door een apart functievoorschrift
voor x=a te definieren: f (a)  Lim f ( x)
xa
Limieten en Continuiteit
2( x 2  1)
f ( x) 
x 1
Voorbeeld: De ophefbare discontinuiteit in x = a:
De functie bestaat niet in x = 1, we gaan na wat er met f(x) gebeurd al we x
steeds dichter bij de waarde 1 kiezen, we zien dat de functiewaarde steeds
dichter bij 4 komt te liggen.
De rechterlimiet in x=a is hierbij dus gelijk aan de linkerlimiet in x=a
Benaderen van bovenaf
Lim f ( x)  Lim f ( x)  4
benaderen onderaf
x1
x
f(x)
x
(fx)
2
6
0
2
1,9
5,8
0,5
3
1,09
4,18
0,9
3,8
1,009
4,018
0,99
3,98
1,0009
4,0018
0,999
3,998
1,00009
4,00018
0,9999
3,9998
x1
Limieten en Continuiteit
•
•
2( x 2  1)
Vervolg voorbeeld: De ophefbare discontinuiteit in x = a: f ( x) 
x 1
Het rechter- en linkerlimiet zijn dus gelijk aan elkaar, hoe zit het dan met de
functie f(1), nadert deze ook tot 4?
2( x 2  1)
2( x  1)( x  1
f (1) 
 Lim
 Lim 2( x  1)  2 * Limx  1  2 * 0  0
x 1
x 1
x 1
x 1
x 1
•
Uit bovenstaand blijkt dus dat de Limiet van f(1) niet gelijk is aan de rechteren het linkerlimiet, volgens:
Lim f ( x)  Lim  f (1)
x0
•
•
x 0
De functiewaarde f(1) bestaat niet.
We kunnen de discontinuiteit bij x = 1 opheffen door het apart te definieren
van: f(1) = 4
Limieten en Continuiteit
De sprondiscontinuiteit in x = a
•
Een functie f(x) vertoont een sprongdiscontinuiteit in x = a indien de rechter en het
linkerlimiet van f(x) in x = a wel bestaan, maar niet gelijk zijn aan elkaar.
•
Voor de functiewaarde f(a) kunnen we opmerken:
1.
Als
2.
Als
Lim f ( x)  f (a) , dan heet f links-continu in x = a
xa
Lim f ( x)  f (a) , dan heet f rechts-continu in x = a.
xa
Limieten en Continuiteit
Voorbeeld: Sprongdiscontinuiteit in x=a:
•
x
x
Discontinu in x = 0, hoe we f(0) ook definieren, steeds geldt
Lim f ( x)  1 en Lim f ( x)  1 dus: Lim f ( x)  Lim
x 0
•
f ( x) 
x 0
x 0
x 0
f ( x)
De grafiek van f vertoont bij x = 0 een sprong ter grootte van 2, f(0) bestaat niet.
Benaderen van
bovenaf
x
benaderen onderaf
f(x)
x
(fx)
3
1
-3
1
2
1
-2
1
1
1
-1
1
0,5
1
-0,5
1
0,1
1
-0,1
1
0,000001
1
-0,000001
1
Limieten en Continuiteit
De oneindige discontinuiteit in x = a
• Indien het verschil tussen de linker- en rechterfunctiewaarde van een functie rond x=a
boven alle grenzen uitstijgt (oneindig is), de grafiek van de functie (fx) zal de lijn x = 1
zeer dicht naderen maar nooit snijden (asymtoot).
x2 1
f ( x) 
x 1
Lim f ( x)  
Benaderen van bovenaf
x
benaderen onderaf
f(x)
x
(fx)
2
5
0
-1
1,01
202
0,9
-18
1,001
2002
0,99
-198
1,0001
20002
0,999
-1998
1,00001
200002
0,9999
-19998
1,000001
2000002
0,99999
-199998
x 1
en
Lim f ( x)  
x 1
De grafiek van f(x) heeft bij x=1 een oneindige discontinuiteit. f(1) bestaat niet.
Einde
Vervolgcursus:
Complexe getallen