Kwartiel 1, week 5 Leerstof: § 1.2 § 1.3 § 1.4 (tot The Method of

12
Kwartiel 1, week 5
Leerstof:
§ 1.2
§ 1.3
§ 1.4 (tot The Method of Bisections, niet Examples 4.2,
4.3 en 4.8)
§ 1.5
Onderwerpen:
sin x
= 1.
x→0 x
• Het berekenen van limieten, rekenregels, insluitstelling.
• Het begrip limiet, eenzijdige limiet, lim
• Continuïteit in een punt en op een interval, discontinuïteiten, continuïteit van sommen, producten en quotienten van continue functies, de tussenwaardestelling.
• Oneindige limieten en limieten in oneindig.
1
• Limieten van rationale functies, verticale en horizontale asymptoten.
2
lim f (x) = L
x↑a
betekent: de functiewaarden f (x) naderen naar L als x
van links nadert naar a;
boek: lim f (x)
x→a−
lim f (x) = L
x↓a
betekent: de functiewaarden f (x) naderen naar L als x
van rechts nadert naar a;
boek: lim f (x)
x→a+
N.B. De functiewaarde f (x) hoeft daarbij voor
x = a niet gedefinieerd te zijn.
Als zowel lim f (x) en lim f (x) bestaan, en
x↑a
x↓a
lim f (x) = lim f (x) = L dan bestaat lim f (x) = L.
x↑a
x→a
x↓a
Dit betekent dus: de functiewaarden f (x) naderen naar L
als de variabele x naar a nadert, ongeacht van welke kant.
3
√
Bekijk de functie f (x) =
x2 + 9 − 3
.
2
x
Tabel van functiewaarden in de buurt van x = 0 :
x
0.1
0.01
0.001
0.0001
0.00001
0.000001
f (x)
0.1666204000
0.1666700000
0.1670000000
0.2000000000
0
0
Grafiek van f (x) voor −10−7 ≤ x ≤ 10−7 :
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
-1. ´ 10-7
-5. ´ 10-8
5. ´ 10-8
Wat is nu lim f (x)???
x→0
4
1. ´ 10-7
Rekenregels voor limieten.
Stel dat lim f (x) en lim g(x) beide bestaan. Dan geldt:
x→a
x→a
• lim cf (x) = c lim f (x) voor elke constante c.
x→a
x→a
• lim (f (x) ± g(x)) = lim f (x) ± lim g(x).
x→a
x→a
x→a
• lim (f (x) · g(x)) = lim f (x) · lim g(x).
x→a
x→a
x→a
lim f (x)
f (x) x→a
• lim
=
als lim g(x) 6= 0.
x→a g(x)
x→a
lim g(x)
x→a
Insluitstelling
Stel dat f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) voor alle x in een interval
(c, d) en dat lim f (x) = lim h(x) = L.
x→a
x→a
Dan geldt dat ook lim g(x) = L.
x→a
5
Definitie
Een functie f (x) heet continu voor x = a als:
• f (x) is gedefinieerd voor x = a,
• lim f (x) bestaat,
x→a
• lim f (x) = f (a).
x→a
Als f (x) niet continu is voor x = a dan heet f (x) discontinu voor x = a.
6
Combineren van continue functies:
Als f (x) en g(x) continu zijn voor x = a dan
• f (x) ± g(x) is continu voor x = a
• f (x)g(x) is continu voor x = a
f (x)
•
is continu voor x = a mits g(a) 6= 0
g(x)
• als f (x) continu is voor x = g(a) dan is de samengestelde
functie f (g(x)) continu voor x = a.
Tussenwaardestelling
Stel dat f (x) continu is op het gesloten interval [a, b] en
dat W een getal is tussen f (a) en f (b). Dan is er minstens één getal c ∈ [a, b] met f (c) = W.
Gevolg
Als f (x) continu is op [a, b] en f (a) en f (b) hebben
verschillend teken dan heeft f (x) minstens één nulpunt
op het interval [a, b].
7