Differentiëren

1.2
Differentiaalquotiënten
Differentiëren is een manier om veranderingen bij te houden. Met veranderingen
wordt dan bedoeld: zeer kleine veranderingen. In dit hoofdstuk gaan we hier wat
dieper op in.
We bekijken de functie f ( x)  x 2
x
f(x)
2
3
3 9
4
4 2  16
5
52  25
verandering x
4 3 1
5 4 1
verandering f(x)
f (4)  f (3)  16  9  7
f (5)  f (4)  25  16  9
Om veranderingen te vergelijken, bekijk je de gemiddelde veranderingen per interval.
Zo is de gemiddelde verandering op het interval [3,4]:
f (4)  f (3) 16  9

7
43
1
Hoe kleiner het interval, hoe nauwkeuriger de verandering. Met klein bedoelen we
hier zo dicht mogelijk bij 0.
Zo is de gemiddelde verandering van f ( x ) op het interval [3;3,01]:
f (3, 01)  f (3) 9, 0601  9

 6, 01
3, 01  3
0, 01
en op het interval [3;3,0001]:
f (3, 0001)  f (3) 9, 00060001  9

 6, 0001
3, 0001  3
0, 0001
Uitgaande van x = 3, zal hoe kleiner het interval is, de gemiddelde verandering meer
naar 6 naderen.
1.3
Gegeven is: f ( x)  x 2
Bereken de gemiddelde verandering op de volgende intervallen:
a
[8;8,01]
c
[-4;-3,999]
b
[6;6,001]
d
[-2,0001;-2]
3
De verandering van x noemen we x en de verandering f(x) noemen we f ( x ) of
y . De gemiddelde verandering op een interval noemen we differentiequotiënt en
schrijven we als
f ( x)
 y 
of 

x
 x 
Hoe kleiner het interval, hoe dichter we de hellingscoëfficiënt, dus de gemiddelde
verandering, van de raaklijn in een bepaald punt benaderen. Dit noemen we de
 y 
.
 x 
y
Deze limiet, (de grenswaarde van
) is de hellingscoëfficiënt van de raaklijn. Die
x
dy
limiet noteren we als
.
dx
grenswaarde of de limiet van 
Samengevat:
De hellingscoëfficiënt van de raaklijn kan willekeurig dicht worden benaderd door het
differentiequotiënt
De limiet van
y
x
y
dy
wordt vaak ook genoteerd als quotiënt, nl.
.
x
dx
Dit quotiënt wordt differentiaalquotiënt genoemd.
Het differentiaalquotiënt
dy
is de hellingscoëfficiënt van de grafiek in het punt (x,y)
dx
4
Voor de functie y  x 2 geldt:
dy
6
dx
dy
2
als x  1 , dan
dx
dy
 4
als x  2 , dan
dx
als x  3 , dan
Kortom
dy
 2x
dx
Als f ' de afgeleide functie is van f, dan geldt:
dy
 f '( x)
dx
Dus bijvoorbeeld:
dy
 3x 2
dx
du
 cos t
Voor u  sin t geldt
dt
Voor y  x 3 geldt
Gegeven y  0, 25 x 4
1.4
1.5
dy
uit in x.
dx
a
Druk
b
c
Bereken de hellingscoëfficiënt van de grafiek van y  0, 25 x 4 voor x  2 .
Neem x  10 en x  0,1 . Hoe groot zal  y dan zijn?
Het volume V van een bol met straal r kan berekend worden met de formule:
V   r3 .
4
3
a
Bereken
dV
dr
Een stalen bol heeft een straal van 20 cm.
Door verhitting zet de bol uit, naar alle kanten met 0,1mm.
b
Met hoeveel cm 3 neemt het volume van de bol toe? (Bereken je antwoord op
twee verschillende manieren).
We geven nog een nieuwe notatie:
dy
 12 x 2  19 .
dx
d (4 x3  19 x  7)
 12 x 2  19
Dit kun je als één formule schrijven:
dx
Je weet: als y  4 x3  19 x  7 dan is
5
Meer gebruikelijk is:
d
[4 x3  19 x  7]  12 x 2  19
dx
d
(spreek uit: dé-dé-iks) moet je lezen als: ‘voer de handeling differentiëren uit’.
dx
1.6
Bereken:
a
b
c
d
d 2
 x  cos x 
dx 
d 3 4 1 6
x 1 x 
dx  4
3 
d 8
 q  q5  85
dq
d
10t 2  20t  30sin t 
dt
6