Aantekeningen Analyse Toets 1, taylorreeks

lOMoARcPSD
Taylorreeks
Laat f een functie zijn en laat a een punt zijn waar f willekeurig vaak
differentieerbaar is. In het laboratory project na paragraaf 3.10 van Stewart
worden de Taylorpolynomen van f in a als volgt gedefinieerd:
T0 (x) = f (a)
T1 (x) = f (a) + f ′ (a)(x − a)
T2 (x) = f (a) + f ′ (a)(x − a) + 12 f ′′ (a)(x − a)2
T3 (x) = f (a) + f ′ (a)(x − a) + 12 f ′′ (a)(x − a)2 + 16 f ′′′ (a)(x − a)3
enzovoorts.
Met andere woorden:
Tn (x) =
n
X
f (k) (a)
k!
k=0
(x − a)k
voor n = 0, 1, 2, 3, · · ·
Definitie
De rij T0 (x), T1 (x), T2 (x), T3 (x), · · · heet de Taylorreeks van f in a en wordt
genoteerd als:
∞
X
f (k) (a)
(x − a)k
k!
k=0
f (k) (a)
noemen we de coëfficiënten van de Taylorreeks.
k!
f (k) (a)
(x − a)k noemen we de termen van de Taylorreeks.
De functies
k!
De getallen
Voorbeeld
We bepalen de Taylorreeks van f (x) =
1
= (x − 3)−1 in a = 5.
x−3
De afgeleiden van f (x) zijn f ′ (x) = −(x − 3)−2 , f ′′ (x) = 2(x − 2)−3 , f ′′′ (x) =
−6(x−3)−4 enzovoorts. Met andere woorden: f (k) (x) = (−1)k k!(x−3)−(k+1)
voor k = 0, 1, 2, 3, · · · .
6
, kortom
In a = 5 levert dit f (5) = 21 , f ′ (5) = − 14 , f ′′ (5) = 82 , f ′′′ (5) = − 16
1
lOMoARcPSD
(−1)k k!
. Hiermee kunnen we de Taylorpolynomen opschrijven:
2k+1
T0 (x) = 21 ,
f (k) (5) =
T1 (x) =
T2 (x) =
T3 (x) =
1
2
1
2
1
2
− 14 (x − 5)
− 14 (x − 5) + 81 (x − 5)2
− 14 (x − 5) + 81 (x − 5)2 −
enzovoorts.
1
(x
16
− 5)3
∞
X
(−1)k
(x − 5)k .
k+1
2
k=0
Nu is het interessant om in de buurt van x = 5 de grafieken van de Taylorpolynomen te vergelijken met de grafiek van f (x):
Zo krijgen we de Taylorreeks
Voor grote n zien we dat de grafiek van Tn (x) op het interval 3 < x < 7 vrijwel
samenvalt met de grafiek van f (x). Dat betekent dus dat de Taylorpolynomen gebruikt kunnen worden om f (x) te benaderen.
Opgaven
1. Laat f (x) =
beeld.
1
= (x − 3)−1 en a = 5, zoals in bovenstaand voorx−3
(a) Gebruik de grafische rekenmachine of Maple om een interval te
bepalen waarop de afstand tussen T3 (x) en f (x) kleiner is dan
0.1. (Aanwijzing: kijk naar de verschilfunctie f (x) − T3 (x).)
(b) Gebruik Maple om een n te bepalen zodanig dat de afstand tussen
Tn (x) en f (x) op het interval 3.5 < x < 6.5 kleiner is dan 0.2.
2. (a) Bepaal de Taylorreeks van f (x) =
2
1
in a = 2.
x−3
lOMoARcPSD
(b) Schets (met de grafische rekenmachine of met Maple) de grafieken
van de Taylorpolynomen van orde 3, 6 en 15.
(c) Als we afspreken dat we met ”A ≈ B”bedoelen dat de afstand
tussen A en B kleiner is dan 0.1, op welk interval geldt dan dat
T15 (x) ≈ f (x)?
√
3. Bepaal de Taylorpolynomen T√
1 + x in a = 0.
1 , T2 en T3 van f (x) =
Gebruik deze polynomen om 1.1 te benaderen.
√
4. Bepaal de Taylorpolynomen T√1 , T2 en√T3 van f (x) = 3 x in a = 64.
Gebruik deze polynomen om 3 63 en 3 64.5 te benaderen.
5. In deze opgave spreken we af dat we met ”A ≈ B”bedoelen dat de
afstand tussen A en B kleiner is dan 0.05,
(a) Bepaal de Taylorreeks van f (x) = ex in a = 0.
(b) bepaal een interval waarop T3 (x) ≈ f (x).
(c) Bepaal een interval waarop T10 (x) ≈ f (x).
(d) Bepaal een n zodanig dat op het interval −3 < x < 3 geldt Tn (x) ≈
f (x).
(e) Bepaal een n zodanig dat op het interval −5 < x < 5 geldt Tn (x) ≈
f (x).
6. (a) Bepaal de Taylorreeks van sin x in a = 0.
(b) Bepaal de Taylorreeks van cos x in a = 0.
7. Voor kleine waarden van x wordt vaak gezegd dat sin x ≈ x.
(a) Hoe past dit in de theorie van de Taylorreeksen?
(b) Als we afspreken dat we met ”A ≈ B”bedoelen dat de afstand
tussen A en B kleiner is dan 0.01, op welk interval geldt dan dat
sin x ≈ x?
8. Bepaal de eerste twee termen 6= 0 van de Taylorreeks van de functie
√
4
f (x) = 4x − 8 +
in a = 3.
x−5
3