Topologie en Meetkunde B (TOPOb) 30 juni 2004 - A

Mathematisch Instituut, Faculteit Wiskunde en Informatica, UU.
In elektronische vorm beschikbaar gemaakt door de TB C van A−Eskwadraat.
Het college TOPOb werd in 2003/2004 gegeven door Jaap van Oosten.
Topologie en Meetkunde B (TOPOb)
30 juni 2004
Opgave 1
a)
Laten α en β paden zijn in een topologische ruimte X met beginpunt x0 en eindpunt x1 .
We schrijven ' voor homotopie. Bewijs, dat α ' β precies dan, als α ∗ β̃ ' ex0 , waarbij ex0
het constante pad in x0 aangeeft.
b)
Geef een voorbeeld van een topologische ruimte X en twee paden α en β in X met hetzelfde
begin- en eindpunt, die wel homotoop, maar niet pad-homotoop zijn.
Opgave 2
Laat M de “Möbiusband zonder rand” zijn, dat is de quotiëntruimte van het half-open vierkant
[0, 1] × (0, 1) door alle punten (0, t) met (1, 1 − t) te identificeren. Zij X = S 2 − {4 punten}.
a)
Bepaal de fundamentaalgroep van X.
b)
Laat zien dat er een overdekkingsafbeelding van X naar M − {1 punt} is.
c)
Bepaal de fundamentaalgroep van M − {1 punt}.
Opgave 3
Gegeven is een compact oppervlak X via een polygoongebied met labeling op de rand met labelschema:
abcdc−1 d−1 a−1 b
a)
Geef de fundamentaalgroep van X.
b)
Bepaal de eerste homologiegroep van X.
c)
Op grond van a) en b) : met welk standaardoppervlak is X homeomorf?
d)
Knip en plak het polygoongebied met labelschema naar de standaardvorm (met tekeningen
en/of algebraische operaties). Hierbij mag je de volgende equivalenties gebruiken:
i) [y0 ]r[y1 ]r[y2 ] ∼ rr[y0 y1−1 y2 ]
ii) [y0 ]rr−1 [y1 ] ∼ [y0 y1 ]
als y0 y1 lengte minstens 4 heeft
iii) w0 [y1 ]r[y2 ]s[y3 ]r−1 [y4 ]s−1 [y5 ] ∼ w0 rsr−1 s−1 [y1 y4 y3 y2 y5 ]
iv) w0 (tt)(rsr−1 s−1 )w1 ∼ w0 rrssttw1
waar wi , [yi ] woorden in a, b, c, d en hun inversen zijn, en r, s, t elementen van
{a, b, c, d, a−1 , b−1 , c−1 , d−1 }.
1
Opgave 4
a)
p
Bewijs de stelling, dat als E → B een overdekkingsafbeelding is, het geı̈nduceerde groepshomomorfisme
p∗ : π1 (E, e) → π1 (B, p(e))
injectief is.
b)
Laat X één van de oppervlakken uit de standaard-rij van de klassificatiestelling zijn. Gegeven
is, dat er een overdekkingsafbeelding van X naar P 2 is. Bepaal alle mogelijkheden voor X.
2