Tentamen Optimalisatie (2P660)

Tentamen Optimalisatie (2P660)
Faculteit Elektrotechniek
Tentamen 17 januari 2011
Dit tentamen kent 6 opgaven. Ieder onderdeel heeft een gelijk gewicht in de beoordeling. Het gebruik van boek, aantekeningen of computer tijdens het tentamen is niet toegestaan, gebruik van een
rekenmachine wel. Motiveer altijd uw antwoorden. VEEL SUCCES !!
Opgave 1
Gegeven is de functie f : R2 → R gedefinieerd door
f (x, y) = 3x2 − 2xy + 3y 2 + 8x + 7
a. Geef één iteratie van het steepest descent algoritme voor het minimaliseren van f . Kies daarbij (x0 , y0 ) =
(−1, 0) als beginwaarde.
b. Voor welke beginwaarden (x0 , y0 ) convergeert het steepest descent algoritme in één iteratie naar het minimum van f ?
Opgave 2
De relatie tussen een ingangssignaal u en uitgangssignaal y wordt beschreven door een autoregressief model
ay(k + 1) + y(k) = 3u(k + 1) + bu(k),
k = 1, 2, . . .
met vooralsnog onbekende reële modelparameters a en b.
a. Bepaal een expressie voor de optimale kleinste kwadraten schatting van a en b zodanig dat het model de N
meetpunten (y(k), u(k)), k = 1, . . . , N zo goed mogelijk verklaart.
b. Bepaal de optimale kleinste kwadraten schatting van a en b bij de meetpunten zoals weergegeven in Tabel 1.
k
y(k)
u(k)
1
3
0
2
1
2
3
0
1
4
-1
1
Tabel 1: Meetdata bij opgave 2.
Opgave 3
Gegeven is het lineair programmerings-probleem
maximaliseer
x+y
onder voorwaarde
− x + 10y
7x − 2y
≤ 44
≤ 32
x
3x + 8y
≥ −4
−4
a. Bepaal een oplossing en de optimale waarde van de kostenfunctie.
b. Bepaal het corresponderende duale optimalisatie probleem
Opgave 4
Het dagelijks energieverbruik van een electriciteitsgenerator die wordt belast met een tweetal vermogensbelastingen p1 en p2 is beschreven door de niet-lineaire functie
E(p1 , p2 ) := 3p21 + 3p22 − 2p1 p2 − 12(p1 + p2 ) + 36.
Beschouw het probleem om het minimale en maximale energieverbruik E(p1 , p2 ) van de generator te bepalen
onder de voorwaarde dat de totale belasting B(p1 , p2 ) voldoet aan
B(p1 , p2 ) := |p1 + p2 | = 1
a. Geef de Lagrange functie bij dit optimaliseringsprobleem
b. Is het energieverbruik een convexe functie van de vermogensbelasting?
c. Bepaal de extreme vermogensbelastingen van dit probleem en bepaal het minimum en maximum energieverbruik van de generator onder de gegeven randvoorwaarde van de belasting.
Opgave 5
Bij het lineaire programmerings-probleem
minimaliseer
ax + y + z
onder voorwaarde x + by + z ≥ 1
x, y, z ≥ 0
zijn de coefficienten a en b onzekere reëel getallen waarvan bekend is dat 0 ≤ a ≤ 2 en 3 ≤ b ≤ 4.
a. Formuleer bovenstaand probleem als een robuust optimaliseringsprobleem.
b. Formuleer een exact (d.w.z. zonder onzekerheid) optimaliseringsprobleem waarvan de oplossing equivalent
is met de oplossing van het robuuste optimaliseringsprobleem.
Opgave 6
Bekijk het optimalisatie probleem
minimaliseer
x2 + (y + 1)2
onder voorwaarde y ≥ ex
a. Bepaal de Karush-Kuhn-Tucker condities waaraan een lokaal optimale oplossing voldoet.
b. Verifieer of het punt (x, y) = (−1, e−1 ) een optimale oplossing kan zijn.