2DE05 - Wiskunde en Informatica - Technische Universiteit Eindhoven

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN
Faculteit Wiskunde en Informatica
Tentamen Functies van één variabele (2DE05)
Tussentoets 6 Functies van één variabele (2DE05)
op donderdag 15 januari 2009, 14.00 – 17.00 uur.
LET OP:
Het volledige tentamen Functies van één variabele bestaat uit de opgaven 1 tot en met
8.
Tussentoets 6 van Functies van één variabele bestaat slechts uit de opgaven 6 tot en met
8.
U mag zelf kiezen of U alleen tussentoets 6 maakt, of het gehele tentamen. Indien U het gehele
tentamen maakt, wordt zowel een tentamencijfer als een cijfer voor de tussentoets vastgesteld.
De uitwerkingen van de opgaven dienen duidelijk geformuleerd en overzichtelijk opgeschreven
te worden. Het gebruik van een programmeerbare of grafische rekenmachine is NIET toegestaan.
1.
Bereken de volgende limieten:
p
a. lim x + 2 − x2 − 4x.
x→∞
1
x
−
.
x→1 x − 1
ln x
xex − x
c. lim
.
x→0 sin2 x
b. lim
2.
Bepaal een vergelijking van de raaklijn door het punt (1, 1) aan de kromme gegeven
door
x sin(y 2 − xy) = y 2 − 1.
3.
Beschouw de functie f : (−∞, −1) → IR, gegeven door
p
f (x) = ln( x2 − 1 − x).
−1
.
a. Laat zien dat f ′ (x) = √
x2 − 1
b. Bepaal het bereik van de functie f .
c. Bewijs dat f inverteerbaar is, en bepaal domein en bereik van de inverse functie f −1 .
d. Bereken (f −1 )′ (ln 2).
z.o.z.
1
Tentamen Functies van één variabele (2DE05) en Tussentoets 6 Functies van één
variabele op donderdag 15 januari 2009, 14.00 – 17.00 uur.
4.
Beschouw de functie g : IR\{−2, 2} → IR, gegeven door
g(x) =
x3
.
x2 − 4
a. Maak een tekenschema van g.
b. Bepaal alle asymptoten van de grafiek van g.
c. Bepaal plaats, aard en waarde van alle maxima en minima van g, en geef aan of deze
lokaal dan wel globaal zijn.
d. Bepaal alle buigpunten van g.
5.
Bepaal het Taylorpolynoom van de graad 4 rond het punt x = 1 van de functie
f (x) = xex .
6.
Beschouw de functie H : IR → IR gegeven door
H(x) = 2x2
Z
x4
√
2
e−t cos(π t) dt.
1
a. Laat zien dat H een even functie is, d.w.z. dat voor elke x ∈ IR geldt dat H(−x) =
H(x).
b. Bepaal H ′ (1) en H ′ (−1).
7.
Bereken de volgende integralen
Z √3
a.
x arctan x dx.
0
b.
Z
0
8.
π
2
cos x
√
dx.
2 − 2 sin x
Bereken
Z ∞
1
x+2
dx.
(x + 1)(x2 + 1)
zie volgende pagina
2
Tentamen Functies van één variabele (2DE05) en Tussentoets 6 Functies van één
variabele op donderdag 15 januari 2009, 14.00 – 17.00 uur.
Voor de opgaven kunnen de volgende aantallen punten worden behaald:
Opgave
Opgave
Opgave
Opgave
Opgave
Opgave
Opgave
Opgave
1.a:
1.b:
1.c:
2:
3.a:
3.b:
3.c:
3.d:
2
2
2
4
2
1
2
2
punten
punten
punten
punten
punten
punt
punten
punten
Opgave
Opgave
Opgave
Opgave
Opgave
4.a:
4.b:
4.c:
4.d:
5:
2
2
3
2
4
punten
punten
punten
punten
punten
Opgave
Opgave
Opgave
Opgave
Opgave
6.a:
6.b:
7.a:
7.b:
8:
2
3
4
4
7
punten
punten
punten
punten
punten
Het cijfer voor het volledige tentamen wordt bepaald door het totaal van de behaalde punten
voor alle opgaven door vijf te delen, en op een natuurlijk getal af te ronden. Het cijfer voor
tussentoets 6 wordt bepaald door het totaal van de behaalde punten voor opgaven 6 tot en
met 8 door twee te delen, en op één decimaal af te ronden.
Indien U zowel een cijfer voor het volledige tentamen als een cijfer op basis van de tussentoetsregeling hebt gehaald, is het eindcijfer voor “Functies van één variabele (2DE05)” het
maximum van deze twee resultaten.
3