Partities van een interval: Een eindig aantal punten P = {x 0,x1,x2

Partities van een interval:
Een eindig aantal punten P = {x0 , x1 , x2 , . . . , xn−1 , xn } uit het interval
[a, b] met de eigenschap dat
a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn−1 < xn = b
heet een partitie van [a, b].
• partitie verdeelt interval [a, b] in n deelintervallen [xi−1 , xi ].
• ∆xi = xi − xi−1 : lengte van deelinterval i.
• kP k = max1≤i≤n ∆xi heet de norm van partitie P .
Als f een continue functie is op het interval [a, b], dan neemt f op ieder
deelinterval [xi−1 , xi ] een maximum en een minimum aan:
f (li ) ≤ f (x) ≤ f (ui ),
voor alle x ∈ [xi−1 , xi ].
1
Riemannsommen:
(i) De onder-Riemannsom L(f, P ) van de functie f en de partitie P is
gedefinieerd door
L(f, P ) =
n
X
f (li )∆xi = f (l1 )∆x1 + · · · + f (ln )∆xn .
i=1
(ii) De boven-Riemannsom U (f, P ) van de functie f en de partitie P is
gedefinieerd door
U (f, P ) =
n
X
f (ui )∆xi = f (u1 )∆x1 + · · · + f (un )∆xn .
i=1
Eigenschap: Voor ieder tweetal partities P1 en P2 van het interval [a, b]
geldt: L(f, P1 ) ≤ U (f, P2 ).
2
Definitie: (bepaalde integraal):
Veronderstel dat er precies één getal I ∈ R bestaat zó dat voor iedere
partitie P van [a, b] geldt:
L(f, P ) ≤ I ≤ U (f, P ).
Dan heet de functie f integreerbaar op [a, b], en is I de bepaalde integraal
van f op [a, b]. Notatie:
Z b
f (x) dx.
I=
a
3
Algemene Riemannsommen:
Zij P = {x0 , x1 , x2 , . . . , xn } een partitie van [a, b] en zij voor i = 1, . . . , n,
ci een willekeurig punt van het deelinterval [xi−1 , xi ]. Dan is ook
R(f, P, c) =
n
X
f (ci )∆xi = f (c1 )∆x1 + · · · + f (cn )∆xn
i=1
een (algemene) Riemannsom van f over partitie P . Er geldt
L(f, P ) ≤ R(f, P, c) ≤ U (f, P ).
Bovendien, als f integreerbaar is, dan
Z b
R(f, P, c) =
f (x) dx.
lim
n(P )→∞,kP k→0
a
4
Stelling: Een begrensde functie f is integreerbaar op [a, b] dan en slechts
dan als er voor ieder positief getal ε > 0 een partitie P van [a, b] bestaat,
zó dat
U (f, P ) − L(f, P ) < ε.
Stelling: Als f continu is op het interval [a, b], dan is f integreerbaar op
[a, b].
5
Eigenschappen van integralen:
Zij f, g functies die integreerbaar zijn op een interval, dat de punten a, b en
c bevat. Dan geldt:
Z a
f (x) dx = 0.
(a)
a
(b)
(c)
(d)
Z
Z
Z
a
f (x) dx = −
b
Z
b
f (x) dx.
a
b
Z
b
Z
c
(Af (x) + Bg(x)) dx = A
a
f (x) dx + B
a
b
f (x) dx +
a
Z
c
f (x) dx =
b
Z
b
a
f (x) dx.
a
(e) Als a ≤ b en f (x) ≤ g(x) voor alle x ∈ [a, b], dan
Z b
Z b
f (x) dx ≤
g(x) dx.
a
a
6
g(x) dx.
(f) (Driehoeksongelijkheid) Als a ≤ b dan
Z
Z
b
b
f (x) dx ≤
|f (x)| dx.
a
a
(g) De integraal van een oneven functie f (d.w.z. f (−x) = −f (x)) over
een interval dat symmetrisch rond 0 ligt, is 0:
Z a
f (x) dx = 0.
−a
(h) Voor de integraal van een even functie f (d.w.z. f (−x) = f (x)) over
een interval dat symmetrisch rond 0 ligt, geldt
Z a
Z a
f (x) dx = 2
f (x) dx.
−a
0
7
Stelling (Middelwaardestelling voor integralen):
Als f continu is op [a, b], dan bestaat er een punt c ∈ [a, b] zó dat
Z b
f (x) dx = (b − a)f (c).
a
Definitie (Gemiddelde waarde van een functie):
Als f integreerbaar is op [a, b], dan is de gemiddelde waarde van f op [a, b]
gedefinieerd door
Z b
1
f=
f (x) dx.
b−a a
8
Stuksgewijs continue functies:
Zij c0 < c1 < c2 < · · · < cn een eindige verzameling punten op de reële as.
Een functie f , gedefinieerd op [c0 , cn ] eventueel met uitzondering van
{ci | 1 ≤ i ≤ n}, heet stuksgewijs continu als voor iedere i ∈ {1, . . . , n} er
een functie Fi bestaat, die continu is op het gesloten interval [ci−1 , ci ], en
zó dat
f (x) = Fi (x) op het open interval (ci−1 , ci ).
Dan is de bepaalde integraal van f op het interval [c0 , cn ] gedefinieerd door
Z cn
n Z ci
X
f (x) dx =
Fi (x) dx.
c0
i=1
ci−1
9
Hoofdstelling van de integraalrekening:
Veronderstel dat de functie f continu is op interval I, en dat a ∈ I.
(I) Definieer de functie F op I door
Z x
f (t) dt.
F (x) =
a
Dan is F differentieerbaar op I en F 0 (x) = f (x) op I. Derhalve is F
een primitieve van f op I:
Z x
d
f (t) dt = f (x).
dx a
(II) Als G(x) een primitieve is van f op I, zodat G0 (x) = f (x), dan geldt
voor iedere b ∈ I:
Z b
f (x) dx = G(b) − G(a).
a
10
Kettingregel en de Hoofdstelling:
d
dx
Z
d
dx
Z
g(x)
f (t) dt = f (g(x))g 0 (x),
a
g(x)
f (t) dt = f (g(x))g 0 (x) − f (h(x))h0 (x).
h(x)
11