Partities en equivalentierelaties

Equivalentierelaties en Orderelaties
In de muziek komt het begrip partituur voor. Hiermee wordt het overzicht
bedoeld voor de dirigent waarin alle partijen van de verschillende muzikanten
zijn opgenomen. De verschillende partijen worden onder elkaar genoteerd.
Een voorbeeld is de partituur voor de Twelfth Street Rag. In deze partituur
zijn de partijen opgenomen voor trompet, klarinet, trombone, banjo en tuba.
Een paar dingen vallen hierbij op:
P1. elke partij is een deeltje van het hele muziekstuk, bijvoorbeeld een
symfonie
P2. er zijn geen “lege” partijen; in de Twelfth Street Rag komt geen hobo
voor en dus is in de partituur geen partij voor de hobo opgenomen.
P3. de noten die voor één muzikant zijn bestemd, staan maar in één
partij vermeld
P4. alle partijen samen vormen het hele muziekstuk; er vallen geen
dingen tussen wal en schip
P5. een partij is een bij elkaar horend deel van het gehele muziekstuk
We zien dat de partituur het muziekstuk als het ware in moten hakt.
We kunnen dit specifieke verhaal vertalen naar een algemener, wiskundig
verhaal. De symfonie wordt dan een verzameling (zeg V) die in mootjes
wordt gehakt. Die mootjes zijn dan delen (deelverzamelingen) van V. En we
spreken niet meer over een partituur, maar over een partitie.
De opvallende zaken die we zagen bij de partijen van een partituur komen
uiteraard ook hier tevoorschijn.
V1. elk “mootje” is een deelverzameling van V (zie P1)
V2. de deelverzamelingen zijn niet leeg (zie P2)
V3. elk element van V komt in maar één deelverzameling voor (zie P3)
V4. de deelverzamelingen tezamen zijn gelijk aan V (zie P4)
V5. [dit laten we nog even rusten, maar komt straks nog terug]
Deze uitspraken kunnen we omzetten naar wiskundige termen. Dat levert de
eigenschappen op waar een partitie in de algebra aan moet voldoen.
We gaan uit van een verzameling V, die niet leeg is.
Verder hebben we een indexverzameling I, waarmee we onze
deelverzamelingen gaan nummeren. I={1,2,3,…}.
En de deelverzamelingen noemen we Ai, waarbij i dus een element is van de
indexverzameling.
We definiëren nu de partitie P van V als de verzameling die als elementen
onze deelverzamelingen heeft. Een partitie is dus een verzameling, namelijk
P = {Ai | i element van I}.
P is een partitie als is voldaan aan de volgende voorwaarden:
1. V is niet leeg en voor alle i
I geldt: Ai
V (dit is eigenlijk geen
voorwaarde, maar een uitgangspunt; in definitie 3.4 is het dan ook
niet als een van de voorwaarden opgenomen)
2. voor alle i
I geldt: Ai
3. voor alle i,j
I met i
j geldt: Ai
4.
Ai = V
Aj =
Ter illustratie een opdeling van de verzameling met de natuurlijke getallen
van 1 t/m 12. Als deelverzamelingen kiezen we {2,6,10,11}, {5}, {3},
{1,4}, {7} en {8,9}.
Deze partitie heeft 6 elementen. We zien dat geen van de deelverzamelingen
leeg is, de doorsnede van elk tweetal deelverzamelingen is juist wel leeg en
de vereniging van alle deelverzamelingen is de gehele verzameling.
De partitie is: { {2,6,10,11} , {5} , {3} , {1,4} , {7} , {8,9} }.
Bij onze partituur hadden we nog een vijfde opvallende eigenschap ontdekt,
die we bij de partitie niet meer zijn tegengekomen. In een partituur hoort
alles wat in één partij is opgenomen op een logische manier bij elkaar. Alle
noten voor de tuba staan bij elkaar; ze vormen tezamen één partij.
Deze eigenschap van logisch bij elkaar horen hebben we halverwege ons
verhaal laten vallen.
In wiskundige termen is dit feit van “logisch bij elkaar horen” te beschrijven
met een relatie. De elementen van één deelverzameling horen logisch bij
elkaar: ze hebben een relatie met elkaar.
We hebben relaties leren kennen als geordende paren (a,b). Kennelijk zegt
de vijfde eigenschap die we bij de partituur hebben gezien, dat er een relatie
is, zodat (a,b) element is van die relatie als a en b in dezelfde
deelverzameling zitten, terwijl (a,b) juist geen element is van de relatie als a
en b in verschillende deelverzamelingen zitten.
Om nog een keer terug te komen op de partituur: als a een noot is voor de
tuba en b een noot voor de trompet, dan zitten a en b niet in dezelfde partij
en dus is (a,b) geen element van de relatie. Maar als a en b beide noten zijn
voor de tuba, dan is (a,b) wel een element van de relatie.
Ook nu kunnen we weer een aantal opvallende eigenschappen benoemen.
- elke noot hoort logisch gezien bij zichzelf; elke noot staat in relatie tot
zichzelf
- als noot 1 logisch gezien bij noot 2 hoort, dan hoort omgekeerd noot 2
logisch bij noot 1
- als noot 1 bij noot 2 hoort en noot 2 hoort bij noot 3, dan hoort noot 1
bij noot 3
Nu definitief terug naar de wiskunde. We hebben in het vorige stukje een
relatie gezien (“logisch bij elkaar horen”), waar een drietal eigenschappen
aan vast zat. Als het gaat over de relatie R in de verzameling V, dan kunnen
we die eigenschappen als volgt omschrijven:
- voor alle a
V geldt: (a,a)
R
- voor alle a,b
V geldt: als (a,b)
R, dan ook (b,a)
R
- voor alle a,b,c
V geldt: als (a,b)
R en (b,c)
R, dan ook (a,c)
R
Een relatie die aan deze eigenschappen voldoet noemen we een
equivalentierelatie. Ook de eigenschappen hebben namen. Achtereenvolgens
gaat het over reflexief, symmetrisch en transitief zijn van de relatie.
We zijn dit verhaal begonnen met de partitie: een opdeling van een
verzameling in delen. Een partitie is dan een verzameling met als elementen
de deelverzamelingen, waarbij die deelverzamelingen aan een aantal
eigenschappen moeten voldoen.
Vervolgens zagen we dat we elk tweetal elementen uit zo’n deelverzameling
konden zien als een geordend paar uit een relatie.
De relatie die op die manier ontstaat voldoet aan een aantal eigenschappen,
waarmee de relatie een equivalentierelatie is.
Partitie en equivalentierelatie zijn begrippen die 1-op-1 lopen met elkaar. Bij
elke partitie van een verzameling hoort een equivalentierelatie in die
verzameling. En omgekeerd hoort bij elke equivalentierelatie in een
verzameling een partitie van die verzameling.
Een voorbeeld.
We gaan uit van de verzameling Z en we definiëren de relatie R door: (x,y)
zit in R onder voorwaarde dat x-y even is.
Dus R = { (x,y)
ZxZ | x-y is even }.
We bepalen de partitie die hier bij hoort.
Maar allereerst gaan we na of R wel een equivalentierelatie is. Daarvoor
tonen we drie dingen aan:
- reflexief
We moeten aantonen dat (x,x) R voor elke willekeurige x Z.
Voor elke x geldt dat x-x=0. En aangezien 0 even is, kunnen we
zeggen dat xRx voor elke x. (De notatie xRy is hetzelfde als (x,y)
R).
- symmetrisch
Hiervoor moeten we aantonen dat als (x,y) R ook (y,x) R. En dat
natuurlijk weer voor elke willekeurige x Z en y Z.
Als xRy, dan is x-y even. Maar als x-y even is, dan ook y-x. En dus is
dan ook yRx.
- transitief
Voor de transitiviteit moeten we aantonen dat als (x,y) R en (y,z) R,
dan ook (x,z) R.
We zullen dus moeten laten zien dat x-z even is, onder voorwaarde
dat x-y en y-z even zijn. Aangezien we te maken hebben met
elementen van Z, kunnen we x-z herschrijven tot (x-y)+(y-z) (ga dit
na!). Van x-y en y-z weten we dat het even is, want xRy en yRz. Maar
dan is ook hun som (x-y)+(y-z) even en dus ook x-z. Conclusie is dat
xRz.
Nu we zeker weten dat R een equivalentierelatie is, kunnen we spreken over
de bijbehorende partitie. Stel nu eens dat A1 een element is van deze
partitie. A1 is dan een deelverzameling van Z. En stel ook eens dat 1 in deze
deelverzameling zit. Dan moeten ook alle getallen in die deelverzameling
zitten, waarvan het verschil met 1 even is. Maar dat zijn precies alle oneven
getallen. Dus kunnen we schrijven A1 = { x
Z | x is oneven }.
Het getal 2 zit niet in deze deelverzameling. We stellen dus maar eens dat 2
in A2 zit. Dan blijkt dat A2 de verzameling wordt van alle even getallen:
A2 = { x
Z | x is even }.
En hiermee hebben we de elementen van onze partitie.
Partitie = { A1 , A2 }.
We zouden de voorwaarden voor een partitie kunnen controleren:
1. A1
Z en A2
Z
2. A1
en A2
3. A1
A2 =
4. A1
A2 = Z
In dit voorbeeld ging het om het bepalen van een partitie bij een gegeven
relatie. Eerste stap was controleren of het wel een equivalentierelatie was.
Vervolgens hebben we de equivalentieklassen bepaald. Daarna hebben we op
basis van stelling 3.1 geconcludeerd dat dit een partitie is. En als we tijd over
hebben kunnen we (ten overvloede) controleren dat dit echt een partitie is.
Terug naar de index