examen-wiskunde-hi-2014

Examen wiskunde HI 10/06/14 reeks: Blauw
Oefeningen
1. a) Bereken de oppervlakte tussen de grafiek van f(x)= ln(x)/x en de x-as, waarbij enkel 1/e² ≤ x ≤ e³
beschouwd wordt.
b) Schrijf de concrete integraal op die als resultaat het volume geeft van de volgende doos (je hoeft
deze niet uit te rekenen). De doos heeft als grondvlak het gebied waarvan je de oppervlakte
berekend hebt in a. de hoogte wordt in elk punt gegeven door z=xy²
Geef ook telkens een korte verantwoording voor je aanpak
2. a) Stel de Taylorreeks op voor f(x)= ln(3+x) rond het punt x0= -1
b) Bereken het convergentiegebied van deze reeks
Geef bij de deelvragen ook telkens een korte toelichting bij je antwoord.
Theorie
1. a)Zij f(y) en g(y) twee functies waarvoor de Taylorreeks met referentiepunt y0 bestaat. Geef twee
mogelijkheden om de Taylorreeks met referentiepunt y0 op te stellen voor f(y) + g(y) en licht deze
methoden kort toe.
b) Geef aan hoe je een partitie opstelt voor een interval I c IR² ( c=deelverz). En geef een voorbeeld
van een partitie met [0,1]x[0,1]
c) Beschouw de formule van Taylor (werd gegeven). Geef de voorwaarden opdat deze convergeert
naar f(x).
2. a) Wat zijn de mogelijkheden voor het domein van een machtreeks ∑n=1+∞ cn(x-a)n
b) Beschouw een reeks ∑n=1+∞ an en een functie g: IR -> IR zodat g(n)= an voor alle n element van IN.
Geef hoe je met de functie g en de integraaltest een uitspraak kan doen over de
convergentie/divergentie van deze reeks en wat de conclusie is. Geef ook de voorwaarden en
waarom deze nodig zijn. M.a.w. Geef een concrete reeks ∑n=1+∞ bn en een functie f: IR -> IR zodat
f(n)= bn voor alle n element van IN maar zodat niet aan alle voorwaarden voldaan is. Zorg ook dat de
conclusie niet opgaat voor je voorbeeld.
3. a) Formuleer de regel van Leibniz voor de afgeleide van een integraal: integraal van a1(y) tot a2(y)
van g(x,y)dx. Expliciteer in detail de voorwaarden.
b) Geef een gedetailleerd bewijs voor de formule in a).