Slides kwartiel 4, week 7

12
Calculus 2 voor B, kwartiel 4, week 7.
Leerstof:
§ 8.6 (met uitzondering van convergentie-interval
en Ex. 6.2 en Ex. 6.3 vervallen)
§ 8.7 (tot en met Theorem 7.2)
Belangrijke begrippen:
• Machtreeks
• Convergentiestraal
• Taylor-reeks en Taylor-polynoom
Let op: soms wordt in de opgaven
gevraagd om zowel convergentie-interval
(interval of convergence) als om convergentiestraal (radius of convergence);
in dat geval alleen convergentiestraal
bepalen.
1
Definitie
Een
reeks van de vorm
∞
X
bk (x−c)k = b0 +b1(x−c)+b2(x−c)2 +. . .
k=0
heet een machtreeks in (x − c).
Voorbeelden:
∞
X
k k
x
k+1
3
k=0
∞
X
k=1
∞
X
k=0
1
k
(−1) √ (x − 2)k
k
1 k
x
k!
2
Voor een machtreeks zijn er drie mogelijkheden:
• de machtreeks convergeert voor alle x,
• de machtreeks convergeert alleen voor x = c,
• er is een getal 0 < r < ∞ zó dat de reeks
convergent is als |x − c| < r en divergent als
|x − c| > r.
Het getal r uit het laatste geval heet de convergentiestraal van de machtreeks. Ook in de eerste
twee gevallen spreken we van een convergentiestraal:
in het eerste geval zeggen we r = ∞,
in het tweede geval zeggen we r = 0.
3
Stel dat
∞
X
bk (x − c)k een machtreeks is met
k=0
convergentiestraal r > 0 of r = ∞.
Voor alle x met |x − c| < r convergeert de
machtreeks dan absoluut. De som van de machtreeks
is een functie van x.
Schrijf f (x) =
∞
X
bk (x − c)k .
k=0
Voor deze functie f (x) geldt:
1.
f 0(x) = b1 +2b2(x−c)+3b3(x−c)2 +. . . =
∞
X
kbk (x − c)k−1.
k=1
(termsgewijs differentiëren)
4
2.
Z
1
1
2
f (x) dx = b0(x−c)+ b1(x−c) + b2(x−c)3+. . . +
2
3
∞
X
bk
constante =
(x−c)k+1 +constante.
k+1
k=0
(termsgewijs integreren)
5
Definitie
Als f (x) een gegeven functie is, dan heet de
reeks
∞
X
1 (k)
f (c)(x − c)k =
k!
k=0
1 00
0
f (c) + f (c)(x − c) + f (c)(x − c)2 + . . .
2!
de Taylor reeks van de functie rond x = c.
Als de convergentiestraal van de Taylor reeks r
is dan geldt voor alle x met |x − c| < r dat
∞
X
1 (k)
f (c)(x − c)k = f (x)
k!
k=0
6
Het beginstuk van de reeks tot en met de term
van de graad n heet het Taylor polynoom van de
graad n rond x = c, dus
n
X
1 (k)
f (c)(x − c)k =
Pn(x) =
k!
k=0
(n)(c)
f
f (c) + f 0(c)(x − c) + . . . +
(x − c)n
n!
Voorbeeld
√
Tweede graads Taylor polynoom van f (x) = x
rond x = 25:
1
1
(x − 25)2
P2(x) = 5 + (x − 25) −
10
1000
7
Opgaven
1. Gegeven is de reeks
√ k
∞
X
2 +1
.
√ k
3 +2
k=0
Onderzoek of deze reeks convergent dan wel
divergent is.
2. Bepaal de convergentiestraal van de machtreeks
∞
X
k! k
x .
(2k)!
k=0
3. Bepaal het Taylor-polynoom van
f (x) = arcsin x
van de graad 3 rond x = 0.
8
Uitwerking opgave 3.
1
0
f (x) = √
1 − x2
f 00(x) =
,
x
3
1 − x2 2
2
1
+
2x
f 000(x) =
5
2
1−x 2
Dus
f (0) = 0,
f 0(0) = 1,
f 00(0) = 0
f 000(0) = 1
Hieruit volgt dat
1 3
P3(x) = x + x .
6
Dit is dus een benadering voor arcsin x in de buurt van x = 0.
Bijvoorbeeld:
arcsin(0.13) = 0.130369 en P3(0.13) = 0.130366.
9