Tentamen `Numerical Methods` — April 2015 ———— • Vul op elk

Tentamen ‘Numerical Methods’
—
April 2015
————
• Vul op elk blad uw naam in. Vul op de eerste bladzijde ook uw studentnummer in.
• Er zijn 10 onderdelen (1a, 1b, ... , 4c), allen met gewicht 1.
• Bij alle opgaven mag worden aangenomen dat de optredende functies willekeurig vaak differentieerbaar zijn. Verder kunt u, voor reële
functies, gebruik maken van de Taylor ontwikkeling
ϕ(x+h) =
k−1
X
j =0
1 (k)
1 (j)
j
k
j! ϕ (x)h + k! ϕ (ξ)h
met ξ tussen x en x + h .
————
1. Laat f, g : R → R. Voor het numeriek oplossen van de vergelijking
x = g(x) bekijken we een iteratie xk+1 = g(xk ) (k = 0, 1, . . .). Neem aan
dat x∗ een vast punt is van g, en dat de startwaarde x0 voor de iteratie in
een interval [x∗ − δ, x∗ + δ] ligt, met δ > 0.
a) Laat zien dat als |g ′ (x∗ )| < 1, dan is convergentie van de iteratie gegarandeerd voor δ voldoende klein. Wat kunt u zeggen over convergentie als
|g ′ (x∗ )| > 1 ?
b) Voor het numeriek oplossen van de vergelijking f (x) = 0 bekijken we de
iteratiefunctie g(x) = x − f (x)/f ′ (x). Neem aan dat f ′ (x∗ ) 6= 0. Bewijs
dat de iteratie convergeert indien δ voldoende klein is, en dat dan ook geldt
|xk − x∗ | ≤ γ|xk−1 − x∗ |2 (k ≥ 1) met een zekere γ > 0.
(Hint: gebruik 0 = f (xk ) + f ′ (xk )(xk+1 − xk ) en 0 = f (x∗ ).)
2. Laat x0 < x1 < · · · < xm en f0 , f1 , . . . , fm ∈ R. Bekijk een interpolerend
polynoom P van graad hoogstens m zodat P (xi ) = fi voor i = 0, 1, . . . , m.
a) Bewijs dat er precies één zo een interpolerend polynoom is, en wel
(∗)
P (x) =
m
X
Li (x)fi ,
Li (x) =
i=0
Y x−xj
j 6= i
xi −xj .
P
b) Toon aan dat m
i=0 Li (x) = 1 voor alle x. (Rekenwerk is hiervoor niet
nodig!) Laat zien dat het interpolerend polynoom ook geschreven kan worden als
(∗∗)
Pm
i=0 Qi (x) fi
P (x) = P
,
m
i=0 Qi (x)
w
i
Qi (x) = x−x
i
(i = 0, 1, . . . , m) ,
Q
waarbij wi = 1/ j6=i (xi − xj ). Wat is het voordeel van (∗∗) boven (∗) als
we P (x) willen bepalen voor vele waarden van x ?
1
R1
3. Voor het benaderen van integralen J = 0 ϕ(x) dx beschouwen we de
P
numerieke quadratuurformule J˜ = si=1 bi ϕ(ci ), met coëfficiënten bi , ci ∈ R
en s ∈ N. De formule heeft (per definitie) orde p als geldt dat J˜ = J zodra
ϕ een polynoom is van graad ≤ p − 1.
a) Leidt de voorwaarden af waaraan de coëfficiënten bi en ci moeten voldoen
opdat p ≥ s.
Q
b) Stel p ≥ s en laat M (x) = sj=1 (x − cj ). Toon aan dat p ≥ s + q als
R1
geldt dat 0 M (x)Q(x) dx = 0 voor elk polynoom Q van graad ≤ q − 1.
c) Laat s = 2. Bepaal de bi en ci zodat de orde van de quadratuurformule
gelijk is aan 4.
4. Laat u oplossing zijn van het beginwaardeprobleem u′ (t) = f (u(t)),
u(0) = u0 , met gegeven u0 ∈ R en f : R → R zo dat |f (ṽ) − f (v)| ≤ L|ṽ − v|
voor alle ṽ, v ∈ R. Voor het verkrijgen van benaderingen un ≈ u(tn ) met
tn = nτ , bekijken we de θ-methode:
un = un−1 + (1 − θ)τ f (un−1 ) + θτ f (un ) ,
met stapgrootte τ > 0 en parameter θ ∈ [0, 1]. Voor de exacte oplossing
geldt, met een residu τ ρn ,
u(tn ) = u(tn−1 ) + (1 − θ)τ f (u(tn−1 )) + θτ f (u(tn )) + τ ρn .
a) Laat en = u(tn ) − un . Toon aan dat |en | ≤ (1 + 2τ L)|en−1 | + 2τ |ρn |
indien θτ L ≤ 21 , en vervolgens
|en | ≤
exp(2Ltn ) − 1
max |ρj | .
1≤j≤n
L
b) Bewijs dat de methode convergeert voor tn ∈ [0, T ], T > 0, en wel met
orde 1 als θ 6= 21 en orde 2 als θ = 21 .
c) Pas nu de θ-methode toe op een systeem u′ (t) = Au(t) in Rm of Cm ,
met A = V ΛV −1 , Λ = diag(λj ) en Re λj ≤ 0 (1 ≤ j ≤ m). Neem aan dat
V unitair is, zodat kV wk2 = kwk2 in de Euclidische norm, voor elke vector
w ∈ Cm . Bewijs dat voor de methoden met θ ≥ 21 geldt dat kun k2 ≤ ku0 k2
(n ≥ 1) voor willekeurige τ > 0.
2