Tentamen januari 2007 Tentamen

Tentamen Wiskundige Structuren (wi1607)
26 januari 2007; 14:00 – 17:00 uur.
Het twee-uur-tentamen bevat vragen 1 t/m 6.
Het drie-uur-tentamen bevat vragen 1 t/m 9.
Op het eerste tentamen-velletje geef aan of je het twee- of drie-uur-tentamen doet.
(9)
1. Zij a 6= 0 een reëel getal. Bewijs dat voor alle n ∈ N met n ≥ 0 geldt:
n
X
a−1
k=1
ak
=1−
1
.
an
2. Beschouw (M, ?), waarbij M de verzameling van alle inverteerbare reële 3 × 3-matrices en ? de vermenigvuldiging van matrices is.
(6)
a. Laat zien dat (M, ?) een groep is.
(3)
b. Bewijs of weerleg: (M, ?) is een abelse groep.
(9)
√
3. Bepaal het infimum en minimum in R van V = [ 2, ∞] ∩ Q of laat zien dat ze niet bestaan; geef ook
alle benodigde bewijzen.
4. Zij {an }n≥0 een convergente reële rij met de limiet a ∈ R.
(6)
a. Bewijs dat limn→∞ |an | = |a|.
(3)
b. Bewijs of weerleg: Als limn→∞ |an | = |a| dan geldt limn→∞ an = a.
5. Een functie f : [a, b] → R heet Lipschitz continu als er een constante K ≥ 0 bestaat zó dat
f (x) − f (y) ≤ K|x − y|
voor alle x, y ∈ [a, b].
(6)
a. Bewijs: een Lipschitz continue functie f : [a, b] → R is continu.
(3)
b. Bewijs of weerleg: iedere Lipschitz continue functie f : [a, b] → R is uniform continu.
6. Beschouw de functierij {fn }n≥0 gedefinieerd door
fn (x) = | cos x|n
voor elke n ∈ N en elke x ∈ R.
(5)
a. Bewijs of weerleg: er is een f : R → R zó dat de functierij {fn }n≥0 puntsgewijs naar f convergeert.
(4)
b. Bewijs of weerleg: er is een f : R → R zó dat de functierij {fn }n≥0 uniform naar f convergeert.
Zie ook de volgende bladzijde.
1
Tentamen Wiskundige Structuren (wi1607 ) van 26 januari 2007
2
(6)
7. a. Zij p(x) een polynoom met reële coëfficiënten. Neem aan dat c ∈ C een nulpunt van p(x) is. Bewijs
dat de complex geconjugeerde c ook een nulpunt van p(x) is.
(3)
b. Zij p(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d een reëel polynoom. Bepaal de coëfficiënten a, b, c en d zó dat
p(1 + i) = 0 en p(1 + 2i) = 0.
(9)
8. Bewijs met behulp van de definitie van continuı̈teit dat de functie f : R → R, gegeven door f (x) = 1−3x,
continu is.
(9)
9. Bewijs dat de functie f : [0, 1] → R gedefinieerd door
0 als
f (x) =
1 als
Riemann-integreerbaar is en bereken de waarde van
0≤x<1
x = 1,
R1
0
f (x) dx.
De waardering voor elke vraag staat in de kantlijn.
Het twee-uur-tentamencijfer wordt berekend volgens de formule
Tentamencijfer =
Totaal + 6
.
6
(N.B. Het eindcijfer is gelijk aan 60% tentamencijfer + 20% toetscijfer + 20% huiswerkcijfer.)
Het drie-uur-tentamencijfer wordt berekend volgens de formule
Tentamencijfer =
Totaal + 9
.
9
(N.B. Het eindcijfer is gelijk aan het tentamencijfer.)
EINDE