Aantekening VWO 4B Hfst 3 : De afgeleide functie

Aantekening VWO 4B Hfst 3 : De afgeleide functie
Les 1 Toenamendiagram
VB Gegeven is de functie f(x) = x2 + 3.
Teken het toenamendiagram op [0,10] met dx = 2.
Opl
X
0 2 4
6
8
10
F(x) = x2 + 3 3 7 19 39 67 103
Toename
4 12 20 28 36
Teken het toenamendiagram.
Les 2 Differentiequotient
De helling op een interval [a,b] is :
y y (b)  y (a )

x
ba
y y (b)  y (a )

Gemiddelde helling / snelheid op interval [a,b] =
x
ba
Differentiequotiënt op interval [a,b] =
VB Gegeven is de functie f(x) = x2 + 3.
a. Bereken het differentiequotiënt op [2,6]
b. Bereken de gemiddelde helling / snelheid op [-4,-1]
Opl
a. Differentiequotiënt op interval [2,6] =
y y (6)  y (2) 39  7 32



8
x
62
62
4
b. Gemiddelde helling / snelheid op [-4,-1] =
y y (1)  y (4) 4  19  15



 5
x
 1  4
1 4
3
Les 4 Benadering van de helling in een punt
VB Gegeven is de functie f(x) = x2 + 3.
a. Bereken de helling in x=2
Opl
a. Een goede benadering is om een heel klein interval rond x = 2 te nemen en het
differentiequotiënt uit rekenen (∆x=0,01) :
Differentiequotiënt op interval [2 ; 2,01] =
y y (2,01)  y (2) 7,0401  7 0,0401



 4,01  4
x
2,01  2
0,01
0,01
Dus de helling in x=2 is 4.
Les 5 Raaklijn
VB Gegeven is de functie f(x) = 2x2 -3x+10. Bepaal de raaklijn in x=3
Stappenplan raaklijn
a. Bereken bij de x de y-coördinaat
 y = f(3) = 19
b. Algemene vgl raaklijn : y = ax + b
c. a = hellingsgetal = dy/dx knop
d. Je weet
Je weet ook
 dus a = 9
y = 9x + b
(3,19) invullen
e. Dus raaklijn : y = 9x – 8.
Les 6 Van hellinggrafiek ( f ’ (x) ) naar f(x)
a. Teken f(x) en op basis daarvan f ‘(x)
b. Teken f’(x) en op basis daarvan f(x)
 19 = 9∙3+b dus b = -8
Les 7 Bepalen hellingfunctie met de limiet
VB Gegeven is de functie y(x) = x2 + 3.
a. Bereken de hellingfunctie met de limietdefinitie
Opl
Neem een heel klein getal h. Dan geldt voor iedere x dat
Helling op interval [x,x+h] = lim
h 0
y y ( x  h)  y ( x) y ( x  h)  y ( x)


= y ’ (x)
x
xhx
h
Eerst y(x+h) = (x+h)2 + 3 = x2 + 2xh + h2 + 3
Dan geldt
Helling op interval [x,x+h] =
y
y ( x  h)  y ( x )
x 2  2 xh  h 2  3  ( x 2  3)
 lim
 lim

h 0
h 0
x h0
xhx
h
2 xh  h 2
h( 2 x  h)
lim
 lim
 lim 2 x  h  2 x
h 0
h 0
h 0
h
h
lim
Dus voor iedere x geldt dat de hellingfunctie y ‘(x) gelijk is aan y ‘(x) = 2x.
VB Gegeven is de functie y(x) = x2 + 3.
a. Bereken de helling in x = 13  helling in x=13 is y ‘(13) = 2∙13 = 26
b. Bereken de helling in x = -7
 helling in x=-7 is y ‘(-7) = 2∙-7 = -14
Les 8 Differentieren
Als je iedere keer de hellingfunctie moet bepalen, dan is dat erg veel werk. Dit is al
door iemand gedaan. Deze techniek heet differentiëren.
Differentiëren = { Hellingfunctie berekenen }
(1) Hoofdregel differentiëren :
f(x) = a∙xn
 f ‘ (x) = a∙n∙xn-1
(2a) Hulpregel :
f(x) = a∙x
 f ‘ (x) = a
(2b) Hulpregel :
f(x) = a
 f ‘ (x) = 0
VB 1 Differentieer
a. f(x) = 6x4.
 f’(x) = 24x3
b. f(x) = 4x
 f’(x) = 4
c. f(x) = 7
 f’(x) = 0
d. f(x) = 3x5 – 7x3 + 6x – 3
 f’(x) = 15x4 – 21x2 + 6
e. f(x) = (3x – 7x2)(6x+2)
 f(x) = 18x2 + 6x – 42x3 – 14x2 = – 42x3 + 4x2 + 6x
 f’(x) = - 42x3 + 8x + 6
VB 2 Gegeven is de functie f(x) = 9x2 + 36x.
a. Bereken algebraïsch de helling in x=3.
b. Bereken algebraïsch de coördinaat waar de helling gelijk is aan -9.
c. Bereken algebraïsch de raaklijn in x=-1.
d. Bereken algebraïsch de coördinaten van de top.
Opl.
a. F’(x) = 18x + 36 dus helling in x=3 is f’(3) = 18∙3 + 36 = 90
b. F’(x) = -3 dus
18x + 36 = -9
18x = -45
c.
dus x = -2½ en y = 9(-2½)2 + 36(-2½) = -33.75