opgaven afgeleide functie

OPGAVEN AFGELEIDE FUNCTIE
Je moet alle vragen algebraïsch beantwoorden.
1.
2.
3.
4.
5.
Gegeven is de functie: f(x) = 8x - 6x + 4
a.
Geef een vergelijking van de raaklijn in het punt waar x = 1
b.
Bereken de coördinaten van de top van de grafiek van f(x)
Gegeven is de functie f(x) = (x3 - 8)(4 - x2)
a.
Bereken de helling van de grafiek in het snijpunt met de y-as
b.
Bereken de helling van de grafiek in de snijpunten met de x-as.
2𝑥−4
Gegeven is de functie 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 −6
a.
Geef een vergelijking van de raaklijn in het punt waar x = 1
b.
Toon aan dat de grafiek van f geen toppen heeft.
Gegeven is de functie f(x) = 6x2 - 2x3
a.
Toon aan dat de grafiek in de oorsprong horizontaal loopt
b.
A is het andere snijpunt met de x-as. De raaklijn in A snijdt de y-as in B
Bereken de oppervlakte van driehoek OAB.
Gegeven is de functie f(x) = 2x3 - ax2 + 4x - 6
a.
Voor welke a heeft de grafiek van f een top bij x = 1?
b.
Voor welke a heeft de grafiek geen enkele raaklijn met helling 3?
1a.
f(x) = 8x - 6x + 4
f(1) = 8 – 6 + 4 = 6 dus het raakpunt is (1,6)
f ‘ = 8/2√x – 6
f ‘(1) = 8/2 – 6 = -2
de raaklijn is y = -2x + b
6 = -2 ∙ 1 + b geeft b = 8 en de raaklijn is dus y = -2x + 8
1b.
f ‘= 0  8/2√x – 6
8/2√x = 6
8 = 12x(3
x = 8/12 = 2/3
x = 4/9  y = 8(4/9) – 6 • 4/9 + 4 en de top is (4/9, 62/3)
2a.
y’ = 3x2 ∙ (4 – x2) + (x3 – 8) ∙ -2x
y’ (0) = 0 dus de helling is nul.
2b.
y = 0  x3 – 8 = 0  4 – x2 = 0  x = 2  x = -2
y’(2) = 12 ∙ (4 – 4) + (8 – 8) ∙ -4 = 0
y’(-2) = 12(4 – 4) + -16 ∙ 4 = -64
3a.
𝑓 ′ (𝑥) =
2(𝑥 2 −6)−(2𝑥−4)∙2𝑥
(𝑥 2 −6)2
f ’(1) = (-10 + 4)/25 = -6/25
f(1) = 2/5 dus het raakpunt is (1, 2/5)
2
/5 = -6/25 ∙ 1 + b geeft b = 16/25
de raaklijn is de lijn y = -6/25 ∙ x + 16/25
3b.
f ‘= 0 geeft 2(x2 – 6) – (2x – 4)2x = 0
2x2 – 12 – 4x2 + 8x = 0
-2x2 + 8x – 12 = 0
De discriminant is 64 – 4 ∙ 2 ∙ 12 = -32 dus er is geen oplossing dus geen top
4a.
f ‘(x) = 12x – 6x2
f ‘(0) = 0 dus dat is inderdaad horizontaal.
4b.
y = 0  6x2 – 2x3 = 0  2x2(3 – x) = 0  x = 0  x = 3
A is het punt (3,0)
f ‘(3) = 36 – 54 = -18 dus de raaklijn is y = -18x + b
punt (3, 0) geeft 0 = -18 ∙ 3 + b  b = 54
B = (0, 54) en de oppervlakte is 0,5 ∙ 54 ∙ 3 = 81
5a.
f ‘ = 6x2 – 2ax + 4 = 0
x = 1 geeft 0 = 6 – 2a + 4 dus a = 5
5b.
6x2 – 2ax + 4 = 3
6x2 – 2ax + 1 = 0
geen oplossing als (-2a)2 – 4 ∙ 6 ∙ 1 < 0
4a2 – 24 < 0
a2 < 6
-√6 < a < √6