VWO B deel 2 H7

vwo B Samenvatting Hoofdstuk 7
De afgeleide functie
Bij een functie hoort een hellingfunctie.
I.p.v. hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt.
notatie : f’ (f-accent)
regels voor de afgeleide :
f(x) = a geeft f’(x) = 0
f(x) = ax geeft f’(x) = a
f(x) = ax² geeft f’(x) = 2ax
7.1
De productregel
De quotiëntregel
7.1
Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide
Je weet dat de afgeleide f’ aan elke x de helling
in het bijbehorende punt van de grafiek van f
toevoegt.
of
f’(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende
punt.
y
f
k
algemeen :
f’(a) is de rc. van de raaklijn van de grafiek van
f in het punt A(a, f(a))
A
x
O
xA
yA = f(xA)
rck = f’(xA)
7.1
De afgeleide van f(x) = axn
f(x) = ax3
f’(x) = 3ax²
g(x) = ax4
g’(x) = 4ax3
h(x) = ax5
h’(x) = 5ax4
oude exponent ervoor
zetten
nieuwe exponent 1 minder
(4 – 1 = 3)
algemeen geldt :
k(x) = axn
k’(x) = n · axn-1
7.2
∙
opgave 22
a f(x) = x√x – 3x
= x1½ - 3x
f’(x) = 1½x½ - 3
= 1½√x – 3
stel k : y = ax
met a = f’(0) = -3
dus k : y = -3x
b f’(x) = 3
1½√x – 3 = 3
1½√x = 6
√x = 4
x = 16
l : y = 3x + b
f(16) = 16  (16, 16)
l : y = 3x - 32
∙
16 = 3 · 16 + b
16 = 48 + b
-32 = b
7.2
opgave 29
a grafiek
b raaklijn horizontaal  f’(x) = 0
y = (½x2 – 2x)3 = u3
met u = ½x2 - 2x
dy
dy
= 3u2 en
=x-2
dx
dx
f’(x) = 3u2 · (x – 2)
= 3(½x2 – 2x)2 · (x – 2)
f’(x) = 0  3(½x2 – 2x)2 · (x – 2) = 0
½x2 – 2x = 0 v x – 2 = 0
x2 – 4x = 0 v x – 2 = 0
x(x – 4) = 0 v x = 2
x=0 v x=4 v x=2
c stel l : y = ax + b
a = f’(6) = 3(½ · 62 – 2 · 6)2 · (6 – 2) = 432
l : y = 432x + b
216 = 432 · 6 + b
f(6) = 216 dus A(6, 216)
b = -2376
dus l: y = 432x - 2376
7.3
Raaklijn met gegeven richtingscoëfficient
Teken f(x) = x² - 3x + 1.
Teken enkele lijnen met rc = 2.
Eén van de lijnen raakt de grafiek
het raakpunt is B.
Bereken de coördinaten van B.
rc = 2 dus f’(xB) = 2
xB berekenen
f’(x) = 2 oplossen
f’(x) = 2x – 3
2x – 3 = 2
f’(x) = 2
2x = 5
x = 2,5
xB = 2,5
yB = f(2,5) = -0,25
B(2,5; -0,25)
y
4
3
2
1
x
-1
0
1
2
●
3
4
B
-1
7.4
Extreme waarden berekenen met behulp van de afgeleide
werkschema : het algebraïsch berekenen van extreme waarden
1) Bereken f’(x).
Raaklijn in een top is horizontaal 
2) Los algebraïsch op f’(x) = 0.
afgeleide is 0.
3) Voer de formule van f in op de GR.
Plot en schets de grafiek.
Kijk in de grafiek of je met max. en/of
min. te maken hebt.
4) Bereken de y-coördinaten van de toppen en
noteer het antwoord in de vorm max. is f(…) = …
en min. is f(…) = …
7.4
y
50
opgave 51
a f(x) = -x³ - 3x² + 24x + 10
f’(x) = -3x² - 6x + 24
f’(x) = 0 geeft
-3x² - 6x + 24 = 0
x² + 2x – 8 = 0
(x + 4)(x – 2) = 0
x = -4 v x = 2
voer f in op je GR
optie minimum
min. is f(-4) = -70
optie maximum
max. is f(2) = 38
b f(x) = -50  3 oplossingen
y = -50  snijdt de grafiek van f 3 keer
f(x) = 50  1 oplossing
y = 50  snijdt de grafiek van f 1 keer
38
●
x
-4
O
2
-50
●
-70
c f(x) = p  3 oplossingen
-70 < p < 38
d f(x) = p  1 oplossing
p < -70 v p > 38
7.5
opgave 58
a f(x) =
6x
x 5
f’(x) =
2
x
2
 5  6  6 x  2 x
x
2
 5
2
=
6 x 2  30  12 x 2
x
2
f’(x) = 0  -6x2 + 30 = 0
-6x2 = -30
x2 = 5
x = √5 v x = -√5
min. is f(-√5) =
6 5
=
55
max. is f(√5) =
6 5
55
=
 5
2
=
6 x 2  30
x
2
 5
2
-√5
3

5
5
√5
3
5
5
3 
 3
5,
5
5 
 5
Bf =  
7.5
b f’(0) =
1
30
= 1
25
5
f(x) = ax heeft precies één oplossing voor a ≥ 1
1
v a ≤ 0
5
2
6 x 2  30
2
c f’(x) =
 2 2 =
3
3
 x  5
-18x2 + 90 = 2(x4 + 10x2 + 25)
-18x2 + 90 = 2x4 + 20x2 + 50
-2x4 - 38x2 + 40 = 0
x4 + 19x2 – 20 = 0
(x2 + 20)(x2 – 1) = 0
x2 + 20 = 0 v x2 – 1 = 0
geen opl. x2 = 1
x = -1 v x = 1
vold.
vold.
7.5