vwo a/c deel 2

vwo A/C Samenvatting Hoofdstuk 7
≤  [  ●
<  ‹  ○
Intervallen
a
-8 ≤ x < 3
[ -8 , 3 ›
b
4 < x ≤ 4½
‹ 4 , 4½ ]
c
5,1 ≤ x ≤ 7,3
[ 5,1 ; 7,3 ]
d
3 < x ≤ π
‹ 3,π]
●
l
-8
○
l
4
○
l
3
●
l
4½
●
l
5,1
●
l
7,3
○
l
3
●
l
π
7.1
Oneindige intervallen
a x ≤ 4½
●
l
4½
‹  , 4½ ]
b x > -8
‹ -8 ,  ›
○
l
-8
7.1
Stijgen en dalen
constante stijging
toenemende stijging
afnemende stijging
constante daling
toenemende daling
afnemende daling
7.1
Toenamendiagram
De toenamen en afnamen van een grafiek kun je verwerken in een
toenamendiagram :
1 kies een stapgrootte
2 bereken voor elke stap de toename of afname
3 teken de staafjes omhoog bij toename en omlaag bij afname
4 teken het staafje bij de rechtergrens
5 bv. toename van 3  4 teken je het staafje bij 4
7.1
y
.
voorbeeld
.
.
.
.
0
.
.
.
x
7.1
Gemiddelde veranderingen
rechts
∆t
omhoog
∆N
N
·
N2
dus gemiddelde verandering per
tijdseenheid = ∆N : ∆t
N1
·
0
t1
N2 – N1 = ∆N
∆N
∆t
t2
t
t2 – t1 = ∆t
7.2
Het differentiequotiënt van y op het interval [xA,xB] is
.
y
B
f(b)
yB
∆y
∆y
.
∆x
xaA
∆x
A
f(a)
yA
0
differentiequotiënt = ∆y : ∆x
= gemiddelde verandering van y op [xA,xB]
= r.c. = hellingsgetal van de lijn AB
∆y
∆x
x
xbB
=
yB – yA
xB – xA
=
f(b) – f(a)
b - a
7.2
Gemiddelde snelheid
In een tijd-afstandgrafiek is de afgelegde s uitgezet tegen de tijd t
Bij een tijd-afstandgrafiek geeft het differentiequotiënt op [a,b] de
gemiddelde snelheid op [a,b]
de gemiddelde snelheid is
∆s
∆t
7.2
∆K K(b) – K(a)
=
∆P
P(b) – P(a)
voorbeeld
a
b
gemiddelde snelheid op [-6,-4] is
∆K = 4 – 12 = -8
∆P = -4 - -6 = 2
∆K : ∆P = -8 : 2 = -4
gemiddelde snelheid op [-2,2] is
∆K = 6 – 6 = 0
∆P = 2 - -2 = 4
∆K : ∆P = 0 : 4 = 0
differentiequotiënt op [-5,0] is
∆K = 0 – 4 = -4
∆P = 0 - -5 = 5
∆K : ∆P = -4/5
differentiequotiënt op [-5,2] is
-6
∆K = 6 – 4 = 2
∆P = 2 - -5 = 7
∆K : ∆P = 2/7
12
6
4
0
-5 -4
-2
0
2
7.2
Snelheid bij een tijd-afstand grafiek
bij een tijd-afstand grafiek waarvan de formule bekend is,
benader je de snelheid op het moment t = a door het
differentiequotiënt te berekenen op een klein interval
[a , a + ∆t] met bijvoorbeeld ∆t = 0,001
7.3
Hoe dichter Bn bij A komt te liggen ,hoe meer
de lijn ABn op de lijn lijkt die de grafiek raakt.
Snelheid, raaklijn en helling
tijd-afstand grafiek
25
v.b. : s = -t² + 10t
Bereken de gemiddelde snelheid op
20
[2,5],[2,4], [2,3] en [2,2½].
∆s
25 – 16
=
= 3 m/s
∆t
5–2
15
∆s
24 – 16
= 4 m/s
=
∆t
4–2
10
∆s
21 – 16
=
= 5 m/s
∆t
3–2
∆s 18,75 – 16
5
= 5,5 m/s
=
∆t
2,5 – 2
De lijn AB4 komt het dichtst bij de lijn
die grafiek A raakt.
.
.
.
.
.
s
B2
B1
B3
B4
A
Bij een tijd-afstand grafiek is de snelheid
op t = a gelijk aan de rc van de raaklijn
Devan
lijn de
k isgrafiek
de
in het bijbehorende punt.
raaklijn van de
grafiek in A.
k
t
0
1
2
3
4
5
7.3
dydx voor x is xA
voor de rc. van de raaklijn in het punt A is er de
notatie :
[]
dy
dx
x=xA
y
k
de GR bezit een optie om
dydx te berekenen
A
- rc. van de raaklijn van de grafiek in A
- helling van de grafiek in A
- snelheid waarmee y verandert voor x = xA
x
O
xA
7.3
7.3
Het opstellen van de formule van een raaklijn
voer in y1 = x² + x – 2
stel k : y = ax + b
met a =
[]
dy
dx
= -1
x = -1
dus k : y = -x + b
f(-1) = -2
dus A(-1, -2)
-2 = - -1 + b
-2 = 1 + b
-3 = b
k : y = -x - 3
7.3
top v.d. grafiek  helling is 0 
hellinggrafiek snijdt de x-as
y
Hellinggrafieken schetsen
top
Bij een gegeven functie kun je aan elke
x de helling van de grafiek in het
bijbehorende punt toevoegen.
top
O
x
stijgend deel v.d. grafiek
positieve hellingen 
hellinggrafiek boven de x-as
dalend deel v.d. grafiek
negatieve hellingen 
hellinggrafiek onder de x-as
helling
pos.
pos.
overgang van toenemende
daling naar afnemende daling
is de helling maximaal 
laagste punt
x
O
0
0
laagste punt
7.3
Hellinggrafiek plotten
m.b.v. GR
TI  MATH – MATH - menu
optie nDeriv
Casio  OPTN – CALC – menu
optie d/dx
vb. voer in y1 = 0,1x4 – x2 + x + 8
en y2 = nDeriv(y1,x,x) (op de TI)
of y2 = d/dx(y1,x)
(op de Casio)
7.3
De afgeleide functie
bij een functie hoort een hellingfunctie
i.p.v. hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie
of afgeleide gebruikt
notatie : f’ (f-accent)
regels voor de afgeleide :
f(x) = a geeft f’(x) = 0
f(x) = ax geeft f’(x) = a
f(x) = ax² geeft f’(x) = 2ax
7.4
de afgeleide van f(x) = axn
f(x) = ax3
f’(x) = 3ax²
g(x) = ax4
g’(x) = 4ax3
oude exponent
ervoor zetten
nieuwe exponent 1
minder (4 - 1 = 3)
h(x) = ax5
h’(x) = 5ax4
algemeen geldt :
k(x) = axn
k’(x) = n · axn-1
somregel van het differentiëren
f(x) = g(x) + h(x)
f’(x) = g’(x) + h’(x)
7.4
Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide
Je weet dat de afgeleide f’ aan elke x de
helling in het bijbehorende punt van de
grafiek van f toevoegt.
of
f’(x) is de rc van de raaklijn in het
bijbehorende punt.
algemeen:
f’(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek
van f in het punt A(a,f(a)).
y
f
k
A
x
O
xA
yA = f(xA)
rck = f’(xA)
7.4
Notaties voor de afgeleide
notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn :
dy
dx
f’(x)
d
dx
(f(x))
df(x)
dx
7.5
Het algebraïsch berekenen van maxima en minima
y
f’(x) = 0
top
f’(x) < 0
f’(x) < 0
x
O
top
f’(x) > 0
werkschema : het algebraïsch berekenen van maxima en minima
1
bereken de afgeleide dy
dx
2
los algebraïsch op dy = 0
dx
3
schets de grafiek
kijk in de schets of je met een max. of een min. te maken hebt
4
bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de
formule van y in te vullen
7.5