HAVO B deel 2 H6

havo B Samenvatting Hoofdstuk 6
Hellinggrafieken schetsen
y
Bij een gegeven functie kun je aan elke x de
helling van de grafiek in het bijbehorende
punt toevoegen.
top
top
O
stijgend deel v.d. grafiek
positieve hellingen  hellinggrafiek
boven de x-as
dalend deel v.d. grafiek
negatieve hellingen 
hellinggrafiek onder de x-as
top v.d. grafiek  helling is 0 
hellinggrafiek snijdt de x-as
x
helling
pos.
overgang van toenemende daling naar
afnemende daling is de helling maximaal
 laagste punt
pos.
x
O
0
0
laagste punt
6.1
opgave 4
a
b
c
d
e
x < -3 hellinggrafiek onder de x-as
de grafiek is dalend op ⟨  , -3 ⟩
f heeft een top bij x = -3 omdat de
hellinggrafiek daar de x-as snijdt
dat is het laagste punt
f is stijgend op ⟨ -3 , 0 ⟩
hoogste punt
schets
y
top
top
x
O
top
top
6.1
Hellinggrafiek plotten
m.b.v. GR
TI  MATH – MATH - menu
optie nDeriv
Casio  OPTN – CALC – menu
optie d/dx
vb. voer in y1 = 0,1x4 – x2 + x + 8
en y2 = nDeriv(y1,x,x) (op de TI)
of y2 = d/dx(y1,x)
(op de Casio)
6.1
De afgeleide functie
Bij een functie hoort een hellingfunctie.
i.p.v. hellingfunctie wordt meestal de naam
afgeleide functie of afgeleide gebruikt.
notatie : f’ (f-accent)
regels voor de afgeleide :
f(x) = a geeft f’(x) = 0
f(x) = ax geeft f’(x) = a
f(x) = ax² geeft f’(x) = 2ax
6.2
opgave 14a
f(x) = (2x – 7)(8 + x)
f(x) = 16x + 2x² - 56 – 7x
f(x) = 2x² + 9x – 56
f’(x) = 2 · 2x + 9
f’(x) = 4x + 9
eerst haakjes
wegwerken
dezelfde termen
optellen
somregel van
differentiëren
6.2
Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide
Je weet dat de afgeleide f’ aan elke x de
helling in het bijbehorende punt van de
grafiek van f toevoegt
of
f’(x) is de rc van de raaklijn in het
bijbehorende punt.
y
f
k
algemeen:
f’(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek
van f in het punt A(a, f(a))
A
x
O
xA
yA = f(xA)
rck = f’(xA)
6.3
opgave 20
a
f(x) = 0,5x3 – 2x2 + 2
f’(x) = 3 · 0,5x2 – 2 · 2x
f’(x) = 1,5x2 – 4x
stel k : y = ax + b
xA = 4
a = f’(4) = 1,5 · 42 – 4 · 4 = 8
dit geeft k : y = 8x + b
y = f(4) = 0,5 · 43 – 2 · 42 + 2 = 2
2=8·4+b
2 = 32 + b
b = -30
dus k : y = 8x - 30
6.3
Raaklijn met gegeven richtingscoëfficient
Teken f(x) = x² - 3x + 1
Teken enkele lijnen met rc = 2
Eén van de lijnen raakt de grafiek
het raakpunt is B.
Bereken de coördinaten van B
rc = 2 dus f’(xB) = 2
xB berekenen
f’(x) = 2 oplossen
f’(x) = 2x – 3
2x – 3 = 2
f’(x) = 2
2x = 5
x = 2,5
xB = 2,5
yB = f(2,5) = -0,25
-1
B(2,5; -0,25)
y
4
3
2
1
0
1
2
● 3
B
x
4
-1
6.3
opgave 25
f(x) = -x² + 2x + 3
a
rcraaklijn = 4
dus f’(x) = 4
f’(x) = -2x + 2
b
xA = -1
yA = f(-1) = 0
A(-1, 0)
k : y = -6x + 8
rcraaklijn = -6
dus f’(xB) = -6
f’(x) = -2x + 2
xB = 4
yB = f(4) = -5
B(4, -5)
y
4
-2x + 2 = 4
-2x = 2
x = -1
3
2
f
1
-2x + 2 = -6
A●
-2x = -8
x=4
-1
0
-1
1
2
3
4
x
k
6.3
Extreme waarden berekenen met behulp van de afgeleide
werkschema: het algebraïsch berekenen van extreme waarden
raaklijn in een top is horizontaal 
1 Bereken f’(x)
afgeleide is 0
2 Los algebraïsch op f’(x) = 0
3 Voer de formule van f in op de GR.
Plot en schets de grafiek.
Kijk in de grafiek of je met max. en/of min. te maken hebt.
4 Bereken de y-coördinaten van de toppen en
noteer het antwoord in de vorm max. is f(…) = …
en min. is f(…) = …
6.3
In de praktijk gaat het bij problemen vaak om het
vinden van een maximum of minimum
Voorbeelden van optimaliseringsproblemen zijn:
• Bij welke afmetingen is de oppervlakte bij een gegeven omtrek het grootst ?
• Wat zijn de afmetingen van de doos met de grootste inhoud die je uit een gegeven
rechthoekig stuk karton kunt maken ?
• Bij welke route horen de laagste kosten ?
6.4
opgave 35
a
b
stel AD = x
CD + 2x = 40
CD = 40 – 2x
O = AD · CD
O = x(40 – 2x)
O = 40x – 2x²
dO
= 40 – 4x
dx
dO
=0
dx
O
200
40 – 4x = 0
-4x = -40
x = 10
AD = 10 m.
CD = 40 – 20 = 20 m.
x
O
10
6.4