DEEL 1 : REËLE FUNCTIES

Herhaling leerstof wiskunde 5de jaar
Herhaling leerstof wiskunde 5de jaar
I. Basisbegrippen functies
1. Reële functie
Een reële functie is een relatie in |R waarbij elke x hoogstens één beeld heeft.
Men noteert een functie f als f : |R  |R : x  f(x)
Behoort het koppel (x, y) tot de functie f dan noemt men
(i) x het argument of origineel.
(ii) y de corresponderende functiewaarde of beeldwaarde.
Men noemt y = f(x) het functievoorschrift.
Grafisch is een functie gekenmerkt door het feit dat elke verticale rechte hoogstens één
snijpunt met de grafiek heeft.
2. Domein en beeld van een functie.
 Het domein (of definitiegebied) van een functie f, genoteerd met dom f, is de
verzameling van alle x-waarden die een beeld hebben onder f.
Men kan, als de grafiek gegeven is, het domein bepalen door projectie van de grafiek op
de x-as.
 Het beeld (of bereik) van een functie f, genoteerd met bld f, is de verzameling van alle ywaarden die een beeld zijn van één of meerdere
x-waarden onder f.
Men kan, als de grafiek gegeven is, het beeld bepalen door projectie van de grafiek op de
y-as.
3. Nulpunten van een functie.
Een nulpunt a van een reële functie f is een getal dat door f op nul wordt afgebeeld m.a.w.
waarvoor f (a)  0 .
Grafisch zijn de nulpunten van f de abscissen (= x-coördinaat) van de snijpunten van de
grafiek van f met de x-as.
4. Tekenschema van een functie.
In een tekenschema noteer je op welke gebieden de grafiek van f
 boven de x-as gelegen is. ( f ( x )  0 )
 onder de x-as gelegen is. ( f ( x )  0 )
 de x-as snijdt. ( f ( x )  0 )
 niet bestaat.
II. Veeltermen en veeltermfuncties
1.
Voorbeeld.
De uitdrukking A( x )  3 x  2 heet een veelterm.
Aan deze veelterm is de volgende functie gekoppeld: f : x  3 x  2
Zo’n functie wordt een veeltermfunctie genoemd.
1
Herhaling leerstof wiskunde 5de jaar
2.
Algemeen.
Een uitdrukking van de vorm A( x)  a n x  a n 1 x
n
n 1
 a n 2 x n  2  ......  a 2 x 2  a1 x  a0
(an , an1 , an2 ,......., a2 , a1 , a0  |R ) heet een veelterm in x met coëfficiënten in |R .
Een functie f : x  a n x  a n 1 x
n
n 1
 a n  2 x n  2  ......  a 2 x 2  a1 x  a 0
(an , an1 , an2 ,......., a2 , a1 , a0  |R )
heet een veeltermfunctie in x met coëfficiënten in |R .

Graad van een veelterm.
Als in A( x)  a n x  a n 1 x
n
geldt dat
 a n 2 x n  2  ......  a 2 x 2  a1 x  a0
an  0 dan heet n de graad van de veelterm. We noteren
Zo is bijvoorbeeld
3.
n 1
gr ( A( x))  n
gr (2 x 5  3x 3  10 x  15)  5
Ontbinding in factoren.
Regelmatig moet je in de wiskunde ongelijkheden oplossen: daartoe maak je gebruik van een
tekenschema. Het is dan in het geval van een veelterm handig als deze veelterm geschreven
is als een product van factoren. Dan moet je de veelterm ontbinden in factoren.
Volgende formules kunnen daarbij gebruikt worden :
x 2  a 2  ( x  a )( x  a )
x 2  2ax  a 2  ( x  a ) 2
x 2  2ax  a 2  ( x  a ) 2
ax 2  bx  c  a ( x  x1 )( x  x 2 ) ( D  0)
x 3  3ax 2  3a 2 x  a 3  ( x  a ) 3
x 3  3ax 2  3a 2 x  a 3  ( x  a ) 3
x 3  a 3  ( x  a )( x 2  ax  a 2 )
x 3  a 3  ( x  a )( x 2  ax  a 2 )
Zijn de veeltermen van de derde graad of hoger, dan kan Horner van pas komen om de
nulpunten te bepalen en de ontbinding op te schrijven.
Zoek bijvoorbeeld de nulpunten van volgende functie:
f : x  x 4  2x 3  4x 2  7 x  2
Opmerking: dit kan ook met de grafische rekenmachine via 2nd CALC – 2:zero
2
Herhaling leerstof wiskunde 5de jaar
4.
Bijzondere veeltermfuncties.
a) Constante functies:
De grafiek is een horizontale rechte.
De verzameling der nulpunten en het tekenschema zijn eenvoudig te bepalen.
b) Eerstegraadsfuncties (lineaire functies):
De grafiek is een rechte, niet evenwijdig met de assen.
Als a > 0 resp. a < 0, dan is f stijgend resp. dalend in |R .
Tekenschema:
als
a  0:
x
als

b
a
a0 :
x
f (x)

b
a
f (x)
Vergelijking van rechten:

rechte door de oorsprong:

rechte evenwijdig aan de x-as:
bijzondere geval: de x-as

rechte evenwijdig met de y-as:
bijzondere geval: de y-as

vergelijking van de rechte r met rico a door een punt A(x1,y1):

vergelijking van de rechte r door twee gegeven punten A(x1,y1) en B(x2,y2):
c) Tweedegraadsfuncties (kwadratische functies):
De grafiek is een parabool met s  x = 
b
 b
 b 
, f     als
als symmetrie-as en T  
2a
 2a  2a  
top.
 b
 een minimale functiewaarde.
 2a 
 b
 een maximale functiewaarde.
 Als a < 0, dan is f  
 2a 

Als a > 0, dan is f  
3
Herhaling leerstof wiskunde 5de jaar
Nulpunten:
Het aantal nulpunten is afhankelijk van de discriminant D 
D  0:
(i)
met som S  x1  x 2 
(ii)
D  0:
(iii)
D  0:
b
c
en product P  x1 .x 2 
a
a
Tekenschema van een tweedegraadsfunctie + schets van de grafiek:
a>0
D>0
x
x1
a<0
x2
x
f ( x)
grafiek:
x
x1
x
f ( x)
f ( x)
grafiek:
grafiek:
x
D<0
x2
f ( x)
grafiek:
D=0
x1
x
f (x)
f (x)
grafiek:
grafiek:
4
x1
Herhaling leerstof wiskunde 5de jaar
III. Afgeleiden.
1. Definitie van de afgeleide van een functie f in x: f’(x).
Beschouw een functie f en een punt P(x,f(x)) van de grafiek van f. De afgeleide van de functie f
in x wordt gegeven door volgende uitdrukking, waarbij x een toename van de x-coördinaat
van P is:
Grafisch:
Een functie f waarvoor deze limiet bestaat en eindig is, heet afleidbaar in x.
2.
De afgeleide functie van machtsfuncties
 De afgeleide functie van
f : x  x 2 is
Korte notatie:
 De afgeleide functie van
f : x  x 3 is
Kort:
 De afgeleide functie van
4
f : x  x is
Kort:
Algemeen: de afgeleide functie van de machtsfunctie
f : x  x n is
Korte notatie:
Bijzonder geval: de afgeleide functie van de constante functie f : x  c is.
Korte notatie:
3.
Afgeleide van een som en een verschil
Beschouw 2 reële functies f en g, dan geldt:
D f  g  
en
D f  g  
In woorden: de afgeleide van een som (verschil) is gelijk aan de som (het verschil)
van de afgeleiden van de verschillende termen.
Voorbeeld:


D x4  x3  x2 
5
Herhaling leerstof wiskunde 5de jaar
4.
Afgeleide van een product
D f .g  
Beschouw twee reële functies f en g, dan geldt:
Voorbeeld:


D x  1.8 x 2 
Bijzonder geval: afgeleide van een veelvoud:
5.
Dc. f  
Grafische betekenis van de eerste afgeleide
De afgeleide van een functie in a is gelijk aan de richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan de
grafiek van f in het punt P(a,f(a)).
Voorbeeld: gegeven is de functie
f : x  2 x 2  3x  1 . Bepaal de afgeleide functie f’ van f:
Hiernaast zijn de grafieken
van f en van f’ getekend:
Lees op de grafiek af wat de
afgeleide is van f in 1: f  1 

Hiernaast is de grafiek van f getekend en de raaklijn aan deze grafiek in het punt P(1,6).
Bepaal grafisch de richtingscoëfficiënt van deze raaklijn:
Besluit: de afgeleide van f
in 1 is de rico van de raaklijn
aan de grafiek van f in het
punt met x-coördinaat 1.
6
Herhaling leerstof wiskunde 5de jaar
6.
Raaklijn aan de grafiek van f in P(a, f(a))
Als f afleidbaar is in a, dan noemt men de rechte met richtingscoëfficiënt f ’(a)
en door het punt P(a, f(a)) de raaklijn t P aan de grafiek van f in P.
Haar vergelijking is:
t P  y - f(a) = f ’(a).(x - a)
De loodlijn in P op de raaklijn

Is f ’(a)  0 dan is rico

Is f ’(a) = 0 dan is
t P heet de normaal n P .
nP =
1
1
1

en dus n P  y  f  a  
. x  a .
f '  a
rc t P
f ' a 
t P  y = f(a) en dus n P  x =a
VI. Stijgen en dalen van een functie.
De afgeleide functie van een functie geeft in elk punt de rico of helling van de raaklijn aan de
grafiek in dat punt en dus ook de helling van de grafiek zelf.
Voorbeeld: gegeven is de functie f met voorschrift
f ( x)  x 3  3 x 2 .

De afgeleide functie heeft als voorschrift: f '(x) = ……………………..

Deze afgeleide functie geeft in elk punt de helling van de raaklijn aan de grafiek en dus ook
de helling van de grafiek zelf.

We stellen de tekentabel op van de afgeleide functie f’:
nulpunten van f’:
x
f’(x)
f(x)
7
Herhaling leerstof wiskunde 5de jaar
VII. Extreme waarden van een functie.
We bekijken de functie f uit de vorige paragraaf met
voorschrift
f ( x)  x 3  3 x 2 .
In de tabel en op de grafiek zien we dat de punten (0,0)
en (2,-4) speciale punten zijn. Dit zijn punten waar de
functie overgaat van stijgen naar dalen, of omgekeerd.
We zeggen:


f bereikt een relatief maximum in 0;
deze maximale functiewaarde is 0.
f bereikt een relatief minimum in 2;
deze minimale functiewaarde is -4.
opmerking: als de functie f een relatief extremum bereikt
in a en f is afleidbaar in a, dan is f’(a) = 0
Opgelet: het omgekeerde geldt niet altijd!
8