VWO B deel 1 H3

vwo B Samenvatting Hoofdstuk 3
Stijgen en dalen
constante stijging
toenemende stijging
afnemende stijging
constante daling
toenemende daling
afnemende daling
3.1
Toenamendiagram
De toenamen en afnamen van een grafiek kun je verwerken in een
toenamendiagram
1 kies een stapgrootte
2 bereken voor elke stap de toename of afname
3 teken de staafjes omhoog bij toename en omlaag bij afname
4 teken het staafje bij de rechtergrens (bv toename van 3  4 teken je
het staafje bij 4 )
3.1
voorbeeld
Teken het toenamendiagram van
onderstaand figuur met ∆x = 1.
∆x = 1
∆y
[-1,0]
4
[0,1]
2
[1,2]
0,5
.
[2,3]
-0,5
[3,4]
2
y
4
3
2
.
1
Je tekent de toenamen als
verticale lijnstukjes bij de
rechtergrens van het interval.
-1
0
1
.
2
.
.
3
x
4
-1
3.1
Richtingscoëfficiënt of helling van de lijn AB
rechts
∆x
omhoog
∆y
y
·
B
yB
dus r.c. = ∆y : ∆x
yB – yA = ∆y
∆y
·
A
yA
∆x
0
xA
xB
x
xB – xA = ∆x
3.2
Het differentiequotiënt van y op het interval [xA,xB] is
.
y
B
f(b)
yB
∆y
f(a)
yA
∆y
.
∆x
xaA
∆x
A
differentiequotiënt is ∆y : ∆x
is de gemiddelde toename van y op [xA,xB]
is r.c. of hellingsgetal van de lijn AB
xbB
x
∆y
y –y
f(b) – f(a)
= B A =
∆x
xB – xA
b - a
3.2
Gemiddelde snelheid
In een tijd-afstand is de afgelegde afstand s uitgezet tegen de tijd t.
Bij een tijd-afstandgrafiek is het differentiequotiënt van s op [a,b] de gemiddelde
snelheid op [a,b].
De gemiddelde snelheid is ∆s : ∆t.
3.2
Gemiddelde snelheid bij een tijd-afstand grafiek
Bij een tijd-afstand grafiek waarvan de formule bekend is,
benader je de snelheid op het moment t = a door het differentiequotiënt te
berekenen op een klein interval.
[a , a + ∆t] met bijvoorbeeld ∆t = 0,001
De gemiddelde snelheid = ∆s : ∆t.
3.3
Hoe dichter Bn bij A komt te liggen, hoe meer de
lijn ABn op de lijn lijkt die de grafiek raakt.
Snelheid en richtingscoëfficiënt
tijd-afstand grafiek
s
s = -t² + 10t
25
a de gemiddelde snelheid op [2,5]
∆s 25 – 16
=
= 3 m/s
∆t
5–2
20
∆s 24 – 16
=
= 4 m/s
∆t
4–2
15
∆s 21 – 16
= 5 m/s
=
∆t
3–2
∆s 18,75 – 16
10
= 5,5 m/s
=
∆t
2,5 – 2
b De lijn AB4 komt het dichtst bij de lijn die
5
grafiek A raakt.
.
.
.
.
.
B2
B1
B3
B4
A
Bij een tijd-afstand grafiek is de snelheid
op t = a gelijk aan de rc van de raaklijn
van de grafiek in het bijbehorende punt.
De lijn k is de raaklijn
van de grafiek in A.
k
t
0
1
2
3
4
5
3.3
dydx voor x is xA
y
Voor de rc. van de raaklijn in het punt A is er de notatie :
[]
dy
dx
x=xA
de GR bezit een optie
om dydx te berekenen
k
A
• rc. van de raaklijn van de grafiek in A
• helling van de grafiek in A
• snelheid waarmee y verandert voor x = xA
x
O
xA
3.3
y
Hellinggrafieken
top v.d. grafiek  helling is 0 
hellinggrafiek snijdt de x-as
top
Bij een gegeven functie kun je
aan elke x de helling van de
grafiek in het bijbehorende punt
toevoegen.
x
top
O
stijgend deel v.d. grafiek positieve
hellingen  hellinggrafiek boven de x-as
dalend deel v.d. grafiek negatieve
hellingen  hellinggrafiek onder de x-as
overgang van toenemende daling naar
afnemende daling is de helling maximaal 
laagste punt
helling
pos.
pos.
x
O
0
0
laagste punt
3.4
Hellinggrafiek plotten
m.b.v. GR
TI  MATH – MATH - menu
optie nDeriv
Casio  OPTN – CALC – menu
optie d/dx
vb. voer in y1 = 0,1x4 – x2 + x + 8
en y2 = nDeriv(y1,x,x)
(op de TI)
of y2 = d/dx(y1,x)
(op de Casio)
3.4
De afgeleide functie
Bij een functie hoort een hellingfunctie.
i.p.v. hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt
notatie : f’ (f-accent)
De afgeleide van een functie f geeft voor elke x :
- de richtingscoëfficiënt van de raaklijn van f in het bijbehorende punt
- de helling van de grafiek van f in het bijbehorende punt
3.4
Om de formule van de afgeleide van een functie f te vinden, kijken we naar het
differentiecoëfficiënt van f(x) op het interval [ x,x + h ] , dus naar
f(x + h) – f(x)
f(x + h) – f(x)
∆y
=
=
h
∆x
x+h-x
Neem je op het interval [ x,x + h ] de waarde van h heel klein, dan geeft
f(x + h) – f(x)
een goede benadering van de r.c. van de raaklijn van de grafiek van f
h
in het bijbehorende punt.
y
f(x+h)
y
f(x+h) – f(x)
f(x)
O
h klein
h
x
f(x+h)
f(x)
f(x+h) – f(x)
h
x+h x
O
x x+h
f(x + h) – f(x)
voor h naar 0 is de afgeleide f’(x)
h
de definitie van de afgeleide f’ van een functie f is
f(x + h) – f(x)
f’(x) = lim
h
h0
x
de grenswaarde van
3.4
Differentiëren
regels voor het differentiëren:
f(x) = a geeft f’(x) = 0
f(x) = ax geeft f’(x) = a
f(x) = axn geeft f’(x) = n · axn-1 voor n = 2,3,…
f(x) = c · g(x)
geeft f’(x) = c · g’(x)
f(x) = g(x) + h(x) geeft f’(x) = g’(x) + h’(x)
somregel
3.4
De afgeleide van f(x) = axn
f(x) = ax3
f’(x) = 3ax²
g(x) = ax4
g’(x) = 4ax3
h(x) = ax5
h’(x) = 5ax4
oude exponent
ervoor zetten
nieuwe exponent 1
minder (4-1=3)
algemeen geldt :
k(x) = axn
k’(x) = n · axn-1
3.4
Raaklijn en afgeleide
Je weet dat de afgeleide f’ aan elke x de helling
in het bijbehorende punt van de grafiek van f
toevoegt
of
f’(x) is de rc van de raaklijn in het
bijbehorende punt.
algemeen:
f’(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van
f in het punt A(a, f(a)).
y
f
k
A
x
O
xA
yA = f(xA)
rck = f’(xA)
3.5
Raaklijn met gegeven richtingscoëfficient
Teken f(x) = x² - 3x + 1
Teken enkele lijnen met rc = 2
Eén van de lijnen raakt de grafiek
het raakpunt is B.
Bereken de coördinaten van B.
rc = 2 dus f’(xB) = 2
xB berekenen
f’(x) = 2 oplossen
f’(x) = 2x – 3
2x – 3 = 2
f’(x) = 2
2x = 5
x = 2,5
xB = 2,5
yB = f(2,5) = -0,25
B(2,5; -0,25)
y
4
3
2
1
-1
0
1
2
●
B
x
3
4
-1
3.5
Snelheid en afgeleide
De snelheid waarmee f(x) verandert voor x = a
gelijk aan de rc van de raaklijn in het punt
(a, f(a)).
rc = snelheid = f’(a)
Je berekent de snelheid dus met de afgeleide
f’(a) is de snelheid waarmee f(x) verandert
voor x = a.
y
A
f(a)
rc = f’(a)
O
a
x
3.5