Wiskunde H2 §2.1 Het differentiequotiënt

Wiskunde H2
§2.1 Het differentiequotiënt:
Er zijn soorten van stijgen en dalen. Beide kunnen: constant, toenemend of afnemend zijn.
In je boek zie je hiervan een plaats (figuur 2.3 pag. 48).
Om veranderingen goed met elkaar te vergelijken bekijk je de gemiddelde toename per
tijdseenheid. Voorbeeld:
Δ𝑦
Δ𝑥
Δ𝑁
Δ𝑡
is de gemiddelde verandering van N per tijdseenheid.
heet het differentiequotiënt. Richtingscoëfficiënt wordt ook wel helling genoemd.
In een tijd-afstandgrafiek is de afgelegde afstand s uitgezet tegen de tijd t. Bij een tijdafstandgrafiek is het differentiequotiënt van s op [a,b] de gemiddelde snelheid op [a,b].
Weet je van een functie de formule, dan kun je differentiequotiënten berekenen. De formule
Δ𝑦
hiervoor luidt: Δ𝑥 =
𝑓(𝑏)−𝑓(𝑎)
𝑏−𝑎
.
§2.2 Raaklijnen en snelheden:
Als je de snelheid op één bepaald moment wilt weten, maak je het tijdsinterval heel klein.
1
Bijvoorbeeld: op [4; 4,001]. Bij de tijd-afstandformule 𝑠 = 2 𝑡 3 zou je krijgen:
1
1 3
3
Δ𝑠 2 ∙ 4,001 − 2 ∙ 4
=
Δ𝑡
0,001
In een tijd-afstandgrafiek is de snelheid t=a gelijk aan de richtingscoëfficiënt van de raaklijn
van de grafiek in het bijbehorende punt. Met de optie dy/dx op de GR kan je de
richtingscoëfficiënt bepalen in een bepaald punt (x=xA).
De formule van een raaklijn stel je als volgt op:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Voer de functie in op de GR.
De optie dy/dx geeft op een bepaald punt (x=xA) een richtingscoëfficiënt.
Je weet nu het getal voor a.
Kijk waar de coördinaat A zich bevindt (..,..).
Vul x en y in in de formule: y=ax+b (waarvan je a al weet!).
Hieruit volgt het getal voor b en zo heb je de formule van de raaklijn.
§2.3 Limiet en de afgeleide:
Bij een gegeven functie kun je bij elke x de helling van de grafiek berekenen. Hieruit ontstaat
een nieuwe functie, de zogenaamde hellingfunctie. De grafiek van de hellingfunctie heet de
hellinggrafiek. Hellingfunctie wordt ook wel de afgeleide functie, of kortweg afgeleide
genoemd.
De definitie van de afgeleide f’ van een functie f is:
𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)
ℎ→𝑜
ℎ
𝑓 ′ (𝑥) = lim
Het berekenen van de afgeleide heet differentiëren.
Je kunt de afgeleide ook bepalen door middel van de somregel. Voorbeeld:
𝑔(𝑥) = 6𝑥 5 geeft 𝑔′ (𝑥) = 5 ∙ 6𝑥 4 = 30𝑥 4 (de 5 gaat ervoor en het nieuwe exponent is één
lager).
§2.4 De productregel en de quotiëntregel:
Je gebruikt de productregel bij het differentiëren van het product van twee functies.
𝑝(𝑥) = 𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥) geeft 𝑝′ (𝑥) = 𝑓 ′ (𝑥) ∙ 𝑔(𝑥) + 𝑓(𝑥) ∙ 𝑔′(𝑥).
Voor het differentiëren van het quotiënt van twee functies gebruik je de quotiëntregel.
𝑡(𝑥)
𝑞(𝑥) = 𝑛(𝑥)
geeft 𝑞 ′ (𝑥) =
𝑛(𝑥)∙𝑡 ′ (𝑥)−𝑡(𝑥)∙𝑛′ (𝑥)
(𝑛(𝑥))
2
§2.5 Toepassingen van de afgeleide:
Als je op een functie een punt A hebt, is f(xA) de y-coördinaat van A en f’(xA) de
richtingscoëfficiënt in A.
Voorbeeld: Je hebt een punt A met xA=2. De functie f(x)=x2+2x-5. f’(x)=2x+2
f(2)=3. Dus A(2,3). f’(2)=2*2+2=6. Rck=6.
Als je de coördinaten van een punt wilt weten als je de richtingscoëfficiënt hebt stel je het
richtingscoëfficiënt gelijk aan de afgeleide van de functie. Deze vergelijking los je op. Dan
heb je de x-coördinaat. Op de GR gebruik je trace en vul je in x=… en hieruit weet je dan de
y-coördinaat.
Voorbeeld: f(x)=x2+2x-5 en de richtingscoëfficiënt van de raaklijn in punt B is gelijk aan 4.
f’(x)=2x+2  2x+2=4  2x=2  x=1. Dus B(1,..)
f(1)=-2. Dus B(1,-2).