week 49 - Nikhef

Samenvatting week 12
• Evenwicht
 netto externe kracht 0 ( - versnelling zwaartepunt 0)
 netto extern koppel 0 ( - hoekversnelling 0 )
 stabiel : kleine verandering van de hoekversnelling zorgt voor een
extern koppel dat de hoekverandering weer terugdrijft
 neutraal : verandering van de hoek geeft geen extra koppel
 labiel: verandering hoek leidt tot koppel dat de verandering
versterkt.
dr. H.J. Bulten
Mechanica najaar 2007
1
Evenwicht
• zwaartepunt:
 center of gravity, center of mass. Zelfde als gravitatieveld
constant is over het hele systeem.
• zwaartekracht: koppel grijpt aan in het zwaartepunt.
• evenwicht: bereken het koppel t.o.v. een handig punt:
 elimineer 1 onbekende kracht!
dr. H.J. Bulten
Mechanica najaar 2007
2
evenwicht in versnelde stelsels
• evenwicht: alleen zwaartepunts versnelling:
F
ext
 macm

cm
 I cm  0
Fn  mg
f s  ma
h
 Fn d  0
2
h
L
L
ma  mg  0  amax  g
2
2
h
 cm  f s
dr. H.J. Bulten
Mechanica najaar 2007
3
Materiaaleigenschappen
• Stress (spanning) , strain
• kleine kracht: evenredig (veerwet, Hooke’s law)
• iets grotere kracht: elastische vervorming
F/A
• kracht loodrecht op oppervlak: Young’s modulus Y 
L / L
• kracht parallel aan oppervlak: shearing.
dr. H.J. Bulten
Mechanica najaar 2007
4
Trillingen (oscillaties)
•
•
•
•
Membraam
trillingen: tijdsafhankelijke positieverandering
positie : 3 coordinaten
richting: ook 3 coordinaten
 golf: transversaal (licht, water) of longitudinaal (geluid)
• oscillaties:




veer, slinger
golven: water, geluid, licht
elektronische circuits
quantum mechanica: golffuncties
• tijd/frequentie
• positie/impuls
 wiskundig: Fourier analyse
• beeld en geluidsverwerking: jpeg, MP3
dr. H.J. Bulten
Mechanica najaar 2007
5
Fourier analyse
• tijd-frequentie, coordinaat-impuls

h(t )  H ( f ) , H ( f ) 

h(t )e 2 ift dt , h(t ) 

linear:


H ( f )e 2 ift df

{h(t )  g (t )}  {H ( f )  G( f )}
dr. H.J. Bulten
Mechanica najaar 2007
6
Harmonische oscillator
• Veer: F  kx
• kracht lineair met en
tegenovergesteld aan verplaatsing
kx  max
d 2 x(t )
k
  x(t )
2
dt
m
f  A cos t    
d2 f
  2 f
2
dt
( 
k
)
m

cos(t  )  sin(t )
2
• Periode T, frequentie f=1/T
x  A cos t   
v   A sin t   
a   A 2 cos t   
2
  2 f 
T
A : amplitude
argument t   : fase
dr. H.J. Bulten
Mechanica najaar 2007
7
Harmonische oscillator
• periode: onafhankelijk van amplitude
• voorbeeld: object oscilleert met een periode van  s.
Op tijdstip 0 is de verplaatsing 10 cm en de snelheid
–20 cm/s. Geef de bewegingsvergelijking.
dr. H.J. Bulten
Mechanica najaar 2007
8
Circulaire beweging
• projectie van circelbeweging op as: harmonische
oscillatie.
dr. H.J. Bulten
Mechanica najaar 2007
9
circulaire beweging
dr. H.J. Bulten
Mechanica najaar 2007
10
Harmonische oscillator en imaginaire getallen
Im
• x- reele deel
• y- imaginaire deel
i 2  1
df x 2 d 2 f
xn d n f
f ( x)  f (0)  x 
 ... 
 ...
2
n
dx 2 dx
n ! dx

xn d n f

n
n  0 n ! dx
 it 
eit  1  it 
2
2

eit  
 it 
n 0
e
e
it
it
(e
it
 ....
n
n!

(1) n (t ) 2 n
( 1) n (t ) 2 n 1

 i
(2n)!
(2n  1)!
n 0
n 0

 cos t  i sin t
e
 it
Re
)  2i sin t
(eit  e  it )  2 cos t
dr. H.J. Bulten
complexe getallen:
fourier analyse, quantum fysica
eit  cos t  i sin t
d it
e  ieit   sin t  i cos t
dt
d 2 it
e   2 eit
2
dt
Mechanica najaar 2007
11
Energie
U
1 2
kx
2
1 2
kA cos 2 t   
2
1
1
v   A sin t     K  mv 2  m 2 A2 sin 2 t   
2
2
k
1
 2  , U  K  kA2
m
2
x  A cos t     U 
• Energie H.O.
 evenredig met kwadraat
amplitude
 evenredig met kwadraat
frequentie.
dr. H.J. Bulten
Mechanica najaar 2007
12
Evenwicht
• systeem in evenwicht: minimum in energie
 over het algemeen: harmonische oscillaties rond
evenwichtspositie
 (2e afgeleide domineert rond evenwichtspunt).
dr. H.J. Bulten
Mechanica najaar 2007
13
Vertikale veer
F  (ky  mg ) yˆ  kyyˆ ( y  y 

mg
)
k
k
m
ky0  mg 
k
g

m y0
Amax  10cm
f  4 Hz
dr. H.J. Bulten
Mechanica najaar 2007
14
Slinger
• Bewegingsvergelijking:
Fext  mg  T
FT   mg sin 
d 2s
d 2
m 2  mL 2   mg sin 
dt
dt
2
d 
g
g


sin




dt 2
L
L
 g

s (t )  Lmax cos 
t  0 
 L

• periode:  2 g
• afwijking: bij 0.1 rad in
de orde van 1 promille.
L
dr. H.J. Bulten
Mechanica najaar 2007
15
versneld systeem
• (boot)
F  T  mg  ma
a  a  a0
F   F  ma0  T  m  g  a0 
 0  arctan
T  2
a0
evenwichtspositie
g
l
 2
g

l
g 2  a02

• versnellingen op boot
maken klokfrequentie
pendule instabiel:
 systeem met gekoppelde
tegengestelde slingers.
dr. H.J. Bulten
Mechanica najaar 2007
16
slinger
• Slinger: ook mbv. impulsmoment
  r  F   D sin  Mgzˆ
d 2
Iz 2   z
dt
d 2
D sin  Mg
DMg
2









2
dt
Iz
Iz
T
2

 2
Iz
MgD
slinger : I  ML2  T  2
staaf : I  MD 2 
L
g
1
ML2
12
1 2
L  x2
T  2 12
gx
dr. H.J. Bulten
Mechanica najaar 2007
17
gedempte oscillaties
• typisch: krachten lineair met snelheid oscillator
 energieverlies.
• overgedempt: b.v. veer in pot stroop. Geen oscillatie.
• ondergedempt: amplitude neemt af in de tijd, evenwichtspunt
wordt gepasseerd
• kritisch: situatie tussen overgedempt en ondergedempt –
periode duurt oneindig lang.
dr. H.J. Bulten
Mechanica najaar 2007
18
gedempte oscillaties
• stel: dempingskracht
linear en
tegengesteld aan
snelheid
Fy   ky  b
dy
dt
mg
k
dx
d 2x
 kx  b
m 2 
dt
dt
probeer: x  Ae( d i )t i
y   y  y0  y 
 kx  b(d  i ) x  m(d 2   2  2id  ) x
b
2m
 k  db  m(d 2   2 )  m 2  k  db  md 2
b  2md   d  

 b 
k
b



1



0
m 4m 2
2
m

0 

x  A0 e
dr. H.J. Bulten
2

b
t
2m
2
cos(t   )
Mechanica najaar 2007
19
gedempte oscillaties
• Kritisch: net geen
oscillatie: frequentie
wordt oneindig

 b 
k
b

 0 1  

2
m 4m
2
m

0 

x  A0 e
2

b
t
2m
cos(t   )
Kritisch: b  2m0  2 mk
• Energie: evenredig met
kwadraat amplitude
• Q-factor
dr. H.J. Bulten
2
t

1
1
E  m 2 A2  m 2 A02e  (b / m )t  E0e 
2
2
m

b
Q  0
Ecycle
dE
1
1
2
 E
 T 
dt

E

Q
Mechanica najaar 2007
20
Aangedreven oscillaties
• aandrijvende kracht: periodiek.
• nodig om demping tegen te gaan
(pendule).
• stabiele toestand: systeem
oscilleert met zelfde frequentie
als aandrijvende kracht.
• amplitude: hangt af van
amplitude en frequentie
aandrijvende kracht.
dr. H.J. Bulten
Mechanica najaar 2007
21
Aangedreven oscillaties
F  kx  b
steady-state oplossing: na lange tijd
dx
 Fd cos d t.
dt
d 2x
Fx  m 2  probeer: x  Ae( d i )t i  B cos(d t  d )
dt
kx  b(d  i ) Ae( d i ) t i  bBd sin(d t  d )  Fd cos(d t ) 
 m(d 2   2  2id  ) Ae( d i ) t i  md2 B cos(d t  d )
b
2m
2
2
2
k  db  m(d   )  m  k  db  md 2
Imaginaire termen:  b  2md   d  

 b 
k
b



1



0
m 4m 2
2
m

0 

2
2
transiente oplossing: dempt uit
in tijd
Fd cos d t  bBd sin(d t  d )  (md2  k ) B cos(d t  d )
Fd cos(d t  d ) cos d  sin(d t  d ) sin d   bBd sin(d t  d )  m(02  d2 ) B cos(d t  d )
Fd sin d  bBd  0, Fd cos d  m(02  d2 ) B  0  tan d 

Fd2  (bBd ) 2  md2 B

2
dr. H.J. Bulten
B
bd
m(02  d2 )
Fd
m 2 (02  d2 ) 2  b 2d2
Mechanica najaar 2007
22
aangedreven oscillaties
• maximale amplitude: aandrijvende kracht is heeft
zelfde frequentie als eigenfrequentie systeem
 resonantie
 fase: 90 graden (schommel)
tan d 
B
bd
m(02  d2 )
Fd
m 2 (02  d2 ) 2  b 2d2
• lage aandrijffrequentie: fase 0 (systeem volgt
aandrijvende kracht)
• hoge aandrijffrequentie: fase 180 graden.
dr. H.J. Bulten
Mechanica najaar 2007
23