Week 1: introductie

website
• blackboard nog niet actief, transparanten en
uitwerkingen opgaven staan op
 www.nikhef.nl/~henkjan/Mechanica.html
• mechanica\Mechanica.htm
dr. H.J. Bulten
Mechanica najaar 2007
1
Samenvatting week 2
• beweging in 1 dimensie: snelheid dx/dt
• velocity: gemiddelde snelheid vav  x  x(t f )  x(ti )
 richtingsafhankelijk, vector
t
t f  ti
• speed: magnitude snelheid
 scalair, totaal afgelegde afstand/tijdsinterval
• referentiestelsels
 keuze assenstelsel
 transformatie: optellen snelheden
dr. H.J. Bulten
Mechanica najaar 2007
2
samenvatting week 2
• differentieren, integreren
• versnelling:
dv d 2 x
 verandering van de snelheid: a(t )   2
dt dt
• verplaatsing: integraal
 t1

x     a (t )dt dt
t0 

 t0
t1
1
a (t )  a : x(t )  x0  v0t  at 2
2
v(t )  v0  8m / s
(60 s ) 2
v(t )  v0
t2
dr. H.J. Bulten
Mechanica najaar 2007
0  t  60 s
t  60 s
3
samenvatting week 2
• vectoren: grootheden in meer dimensies.




b.v. positie, verplaatsing, kracht, impuls
vectoren hebben een richting.
bewerkingen: optellen, vermenigvuldigen
vectorvergelijking: kan worden geschreven als
aparte vergelijkingen voor alle componenten.
 Ax  rx (t2 )  rx (t1 )

A  r (t2 )  r (t1 )   Ay  ry (t2 )  ry (t1 )
 A  r (t )  r (t )
z 1
 z z 2
• rechtshandig assenstelsel.
dr. H.J. Bulten
Mechanica najaar 2007
4
assenstelsel, positie
• 3 assen loodrecht op elkaar. y-as het scherm in, naar
achteren.
z
z
y
y
x
x
 rx 
 
r   ry 
r 
 z
• als je de x-as naar de y-as toedraait, beweegt een
rechtshandige schroef in de richting van de z-as.
dr. H.J. Bulten
Mechanica najaar 2007
5
dr. H.J. Bulten
Mechanica najaar 2007
6
Vector operaties:
• optellen: grafisch C  A  B
dr. H.J. Bulten
Mechanica najaar 2007
7
vectoren
• optellen, analytisch
 C x   Ax  Bx 
  

C  A  B   C y    Ay  B y 
C   A  B 
z 
 z  z
ci  ai  bi (i  1, 2,3 or i  x, y , z )
• magnitude: lengte vector
C  C  cx2  c y2  cz2
c  ci 
dr. H.J. Bulten
3
c
i 1
2
i
Mechanica najaar 2007
8
vectoroperaties
• vermenigvuldigen met een scalar
 net als getallen, 2a=a+a
 sA is een vector in de richting van A met
 lengte s A  sA
• aftrekken: A  B  A  (1B)
• inproduct (scalar product):
A  B  AB cos  AB   Ax Bx  Ay By  Az Bz    aibi
i
A  A  A2
dr. H.J. Bulten
Mechanica najaar 2007
9
inproduct
inproduct: lengte van de component van de ene
vector langs de andere vector maal de lengte van
de andere vector.
A cos
B

B cos
dr. H.J. Bulten
A
Mechanica najaar 2007
10
uitproduct
• Er is nog een tweede vector operatie van
belang: het uitproduct (cross product, vector
product).
• Het uitproduct van twee vectoren is een
vector die loodrecht op beide vectoren staat,
met magnitude A  B  AB sin  AB
• komt in hoofdstuk 10 ter sprake.
• uitproduct is een vector: als je een
vectorgrootheid wilt maken van twee andere
vectoren heb je altijd het uitproduct nodig.
dr. H.J. Bulten
Mechanica najaar 2007
11
uitproduct
 Ax   Bx   Ay Bz  Az By 

    
A  B   Ay    By    Az Bx  Ax Bz 
A  B  A B A B 
y x
 z  z  x y
3
3
ci  A  B    ijk a j bk
j 1 k 1
dr. H.J. Bulten
met
  ijk  1 ijk even permutatie van 123

 ijk  1 ijk oneven permutatie van 123
 0 andere gevallen (i  j, i  k , ofj  k )

Mechanica najaar 2007
12
vectoroperaties:
dr. H.J. Bulten
Mechanica najaar 2007
13
vectoroperaties
A  B  AB cos  AB   Ax Bx  Ay By  Az Bz   B  A
A  A  A2
A  B  AB sin  AB nˆ
 Ax   Bx   Ay Bz  Az By 

    
A  B   Ay    By    Az Bx  Ax Bz 
A  B  A B A B 
y x
 z  z  x y
A B  B  A
dr. H.J. Bulten
Mechanica najaar 2007
14
vergelijkingen met vectoren
• Als je een natuurkundige vergelijking hebt met aan
de ene kant een vector, dan staat er aan de andere
kant van het gelijkteken ook een vector.
• Dus b.v. de magnetische kracht hangt af van het
magneetveld en de snelheid van een deeltje: F   v  B
• omgekeerd: als er links een scalar staat, moet dat
rechts ook het geval zijn. B.v. E  F  x
• een vectorvergelijking mag ook worden opgevat als 3
verschillende vergelijkingen voor de individuele
dx

componenten
v

 x dt
 x

 b.v
dr
dy

 
v
dr. H.J. Bulten
dt
 v y 
, met r   y 
dt

z
 
dz

 vz  dt

Mechanica najaar 2007
15
beweging in drie dimensies
• positie: vectorgrootheid (x,y,z componenten)
• verplaatsing: vectorgrootheid
• snelheid: afgeleide van positie: dus ook
vectorgrootheid.
 x
 
r  xeˆx  yeˆ y  zeˆz   y 
z
 
r
r  r2  r1 , vgem 
t
 dx 
 dt 
 
dr
dr
dr drx
dy
y
v

eˆx 
eˆy  z eˆz   
 dt 
dt
dt
dt
dt
 
 dz 
 
 dt 
dr. H.J. Bulten
Mechanica najaar 2007
16
relatieve snelheid
• generalisatie van 1 dimensie:
snelheden zijn additief.
v pA  v pB  vBA
dr. H.J. Bulten
Mechanica najaar 2007
17
versnelling
• vectorgrootheid:
agem
v

t
 ax 
dv y
dv
dv dvx
d x
d y
d z
 
a

eˆx 
eˆy  z eˆz  2 eˆx  2 eˆy  2 eˆz   a y 
dt
dt
dt
dt
dt
dt
dt
a 
 z
2
2
2
• een auto maakt
een bocht van 90
graden. Wat is
de gemiddelde
versnelling?
agem
v
v

eˆi  eˆ j
t
t
dr. H.J. Bulten
Mechanica najaar 2007
18
kogelbanen
• beweging van een projectiel met een
constante versnelling.
vx  v0 x
v y  v0 y  gt
x(t )  x0  v0 xt
1 2
gt
2
x0  v0 x t




1
2
r   y0  v0 y t  gt 


2


z0


y (t )  y0  v0 y t 
dr. H.J. Bulten
 v0 cos  0 


v0  v0 x xˆ  v0 y yˆ   v0 sin  0 

0 

a   gyˆ
Mechanica najaar 2007
19
kogelbanen
opmerking: x=vxt, x-as en t-as verwisselbaar
dr. H.J. Bulten
Mechanica najaar 2007
20
circelbanen
• slinger, planeetbaan, ....
dr. H.J. Bulten
Mechanica najaar 2007
21
slinger
• grafisch gevonden:
versnelling heeft
component naar
ophangpunt P:
centripetale
beweging.
• tangentiale
component langs de
baan naar het laagste
punt 4: verandering
van de magnitude van
de snelheid.
dr. H.J. Bulten
Mechanica najaar 2007
22
eenparige circelvormige beweging
• beweging langs een circelbaan met snelheid met
constante magnitude.
• circelbaan: v loodrecht op r
 v    r
v
v
v

r
r
v r

t r t
v2
a
r
2 r
v
T
dr. H.J. Bulten
Mechanica najaar 2007
23
eenparige circelvormige beweging
y
• omloopstijd T, straal r
r  xeˆx  yeˆy  zeˆz
x  x0  r cos t  0 
y  y0  r sin t  0 
(t  0 )
z  z0

 x0 
 
O   y0 
z 
 0
2
T
  r sin t  0  
d


v  r    r cos t  0  
dt


0


  2 r cos t  0  


d
a  v    2 r sin t  0  
dt


0


dr. H.J. Bulten
r0  0, v0  0

x
  2r
Mechanica najaar 2007
24
wetten van Newton
dr. H.J. Bulten
Mechanica najaar 2007
25
Newtons wetten
1)
een object in rust blijft in rust, tenzij er een externe kracht
op werkt.
een object in beweging blijft in beweging met constante
snelheid, tenzij er een externe kracht op werkt
 Einstein: frames met versnelling – algemene
relativiteitstheorie.
2) De verandering van de impuls van een object in de tijd is gelijk
aan de externe kracht op het object.
dp dmv m c
 Fext  dt  dt  ma
3) Actie is reactie: krachten vinden altijd plaats in
tegegeonvergestelde paren. Als een lichaam A een kracht
uitoefent op een lichaam B, dan oefent B een even grote,
tegenovergestelde kracht op A uit.
FA, B   FB , A
dr. H.J. Bulten
Mechanica najaar 2007
26
Eerste hoofdwet
• Tot Galileo: men dacht dat er altijd een kracht nodig
was om een voorwerp in beweging te houden.
• Galileo: wrijving
 minder wrijving – minder afremming
 geen wrijving – geen afremming.
 eigenschap van materie, inertia.
• . Ieder systeem,
waarin een object
waar geen externe
krachten op werken
met een constante
snelheid beweegt, is
een inertiaalsysteem.
• aardoppervlak?
dr. H.J. Bulten
Mechanica najaar 2007
27
Kracht, massa, 2e hoofdwet
• krachten: externe invloed op een object.
Grootte en richting.
 Meetbaar, b.v. met veer.
• versnelling: object heeft een intrinsieke
weerstand tegen versnelling: zijn massa.
 massa: maat van inertie. Standaard kg.
F  m1a1  m2 a2

m1 a2

m2 a1
• Newton: “beweging” : impuls p  mv
• kracht 1 N = 1kgm/s2
• gewicht: gravitatiekracht. w  mg ,
dr. H.J. Bulten
Mechanica najaar 2007
g  9.81
m
s2
28
Krachten - gravitatie
• 1 gravitatie (algemene relativiteitstheorie)
 aantrekkingskracht tussen massa’s
 planeetbanen, gewicht, eb en vloed
m1m2
Fg  G 2 rˆ
r
dr. H.J. Bulten
Mechanica najaar 2007
29
Krachten- electromagnatisch
• werkt op electrische lading. Foton drager
electromagnetische veld.
 licht, radiogolven
 elektronen en atoomkernen
 chemische bindingen, van der Waals krachten.
Q1Q2
Fel  4 0 2 rˆ
r
dr. H.J. Bulten
Mechanica najaar 2007
30
krachten – zwakke wisselwerking
•
•
•
•
deeltjesverval
uitwisseling W-Z bosonen, (verenigd met EM)
fusie energie 4 p  He  2e  2
n  p  e 
korte dracht

4
e

e
dr. H.J. Bulten
Mechanica najaar 2007
31
krachten – sterke wisselwerking
• Quantum chromo dynamica: krachten tussen
quarks en gluonen
 proton, neutron
 kernkracht (residu)
 korte dracht, zeer sterk
dr. H.J. Bulten
Mechanica najaar 2007
32
Contact krachten
• Normaalkracht – loodrecht op
oppervlak
 b.v. tafel op object dat er op ligt.
• Wrijvingskrachten – parallel aan
oppervlakte
 bieden weerstand aan beweging
langs oppervlakte.
dr. H.J. Bulten
Mechanica najaar 2007
33
Contact krachten
• Veerkracht
 lineair met uitrekking
 tegenovergesteld in
richting
Fveer  k x
• als het blokje gaat
bewegen, dan is het ook
nog onderhevig aan de
zwaartekracht, de
normaalkracht, en de
wrijvingskracht.
dr. H.J. Bulten
Mechanica najaar 2007
34
Free-body diagrams
• schetsen om de
krachten aan te
geven en te
benoemen
• dienen om de netto
externe kracht op
een lichaam te
vinden.
• b.v. hondenslee
dr. H.J. Bulten
Mechanica najaar 2007
35
Hondenslee race
• kracht tuig: 150 N, hoek 25 graden t.o.v. ijs.
• massa slee+passagier: 80 kg.
Fn  w  F  ma
Fn , x  wx  0
Fn , y  F sin    wy  mg
Fn  mg  F sin   721N
a
dr. H.J. Bulten
F cos 
m
 1.70 2
m
s
Mechanica najaar 2007
36