Week 1: introductie

samenvatting week 4
• wrijving:
 contactkracht:
 evenredig met normaalkracht
 statisch, kinetisch, rollend
• vloeistofwrijving:
 afhankelijk van oppervlakte
 lage snelheid: lineair
Fd  bv
b  6 r
Bacterie in water:
  10-3kg / ms, r  106 m, v  105 m / s
Fd  0.2 pN
 bewegingsvergelijking?
dr. H.J. Bulten
Mechanica najaar 2007
1
wrijving
• hogere snelheid: quadratisch met de snelheid
1
Fd    v 2 ACd vˆ
2
A : ongeveer frontaal oppervlak
Cd : eenheidsloze constante: auto: 0.25-0.45. bol: 0.1
 : dichtheid (~1.3kg/m 3 )
• terminal velocity:
 ~ evenredig met R voor lucht
Fdrag  bv n
Fzw  mg
1/ n
veind
 mg 


b


dr. H.J. Bulten
Mechanica najaar 2007
2
arbeid
• definitie:

W  F  x   F  dx
dl

1 2
mv
2
• afgeleid:
• arbeid: oppervlakte onder integraal Fdx
W  K
, K
• voorbeelden: veer, vrachtwagen
dr. H.J. Bulten
Mechanica najaar 2007
3
Kracht in 3 dimensies
• Tangentiale component: inproduct, verricht arbeid
 verandert de kinetische energie
• centripetale component: verandert de richting, maar
niet de kinetische energie. Verricht geen arbeid.
dr. H.J. Bulten
Mechanica najaar 2007
4
Constante kracht:
• Als de kracht constant is als functie van de tijd, dan
kun je de driedimensionale integraal over de ruimte
vervangen door een integraal over de tijd:
xf
W
 F  ds
xi
xf
xf
 F  dx  lim  F  x
x 0
xi
d
ds
d 
F  ds   F   ds  F 
dt
dt
 dt 
x2
t2
F  cons tan t

F v
t
2
d
x F  ds  t dt ( F  ds )dt  t ( F  v )dt
1
1
1
dr. H.J. Bulten
x  xi
, x  x j 1  x j
Mechanica najaar 2007
5
Vermogen
• vermogen: geleverde arbeid per tijdseenheid.
dW
P
dt
kracht constant in tijd
=
F v
• vermogen: geleverde arbeid per tijdseenheid, dus
ook gelijk aan de verandering van kinetische energie
1 2 1
mv  mv  v
2
2
dK 1 d
1  dv
dv 
 m  v  v   m   v  v    ma  v  F  v  P
dt 2 dt
2  dt
dt 
K
• Voorbeeld: ski
 wrijvingsloos: eindsnelheid onafhankelijk van helling

1
m v 2f  vi2
2
Wtot  Wn  Wgrav
W
dW  F  ds

dWn  0
dWgrav  mg  ds  mg (ds y )
xf
 dW
grav
 mg y
xi
dr. H.J. Bulten
Mechanica najaar 2007
6
Potentiele energie
• Arbeid: externe kracht op een deeltje
• systeem van meer dan 1 deeltje: potentiele energie.
 potentiele energie: opgeslagen in de configuratie van het
systeem
•gravitationele potentiele energie
opgeslagen in het aarde-halter systeem
•elastische potentiele energie in de veer
dr. H.J. Bulten
Mechanica najaar 2007
7
Behoudende krachten
• Behoudende kracht: wanneer de totaal verrichte
arbeid nul is voor ieder gesloten pad.
 b.v. zwaartekracht
• behoudende kracht: uitgeoefende arbeid is
onafhankelijk van het afgelegde pad
dr. H.J. Bulten
Mechanica najaar 2007
8
Potentiele energie
• Potentiele energie – scalaire
functie
x2
W   F  ds  U
x
 arbeid gedaan door behoudende
kracht hangt alleen van begin en U  U 2  U1  W
dU   F  ds
eindpunt af
 functie die verschil in arbeid
b.v. dU   Fzw  ds  (mgyˆ )  ds  mgdy
tussen beginpunt en eindpunt
U  U 0  mgy
geeft
 dx 
 
ds  dsx xˆ  ds y yˆ  dsz zˆ   dy 
 dz 
 
1
d
d
d
d
 xˆ  yˆ
 zˆ   (Het symbool Nabla, of grad, )
ds
dx
dy
dz
dU
b.v. electrisch veld: afgeleide van electrische
 U  F
ds
potentiaal: F  qE  qV
el
dr. H.J. Bulten
Mechanica najaar 2007
9
Potentiele energie veer
• veer: conservatieve kracht
dU   F  ds   Fx dx  ( kx)dx
1
U   kxdx  U 0  kx 2
2
dr. H.J. Bulten
Mechanica najaar 2007
10
Voorbeeld: basketball speler
• potentiele energie:
zwaartekrachtsenergie en
veerenergie.
• U0: speler staat op de grond,
basket hangt horizontaal.
• zwaartepunt speler: 110 kg,
0.8m boven grond bij
stilstand, 1.3m boven grond
hangend aan basket
• basket: 0.15 m omlaag,
veerconstante 7.2kN/m
1
U  U zw  U v  mgy  ks 2
2
U  (110kg )(9.81m / s 2 )(0.5m) 
dr. H.J. Bulten
7.2kN / m
(0.15m) 2  540 J  81J
2
Mechanica najaar 2007
11
Voorbeeld: basketball speler
F 
dU
 (mg  ks ) sˆ
ds
kracht: -afgeleide
1
U  U zw  U v  mgy  ks 2
2
U  (110kg )(9.81m / s 2 )(0.5m) 
dr. H.J. Bulten
7.2kN / m
(0.15m) 2  540 J  81J
2
Mechanica najaar 2007
12
Niet-conservatieve krachten
• Wrijving: tegen bewegingsrichting in
• Wrijving: altijd negatieve arbeid.
• Wrijving: temperatuur stijgt: Warmte (thermische
energie)
• warmte: kinetische/rooster energie molekulen.
3
• gas: kinetische energie molekulen is gemiddeld 2 k BT
• Lucht:
3
3
k BT  1.38 1023 J / K  300 K  6.2 10 21 J
2
2
mair  28.5u  4.73 1026 kg
vgem
2E
1.24 1020 m


 512m / s
26
m
4.73 10
s
vx , gem 
1
512m / s  296m / s
3
dr. H.J. Bulten
Mechanica najaar 2007
13
Evenwicht
• Een deeltje is in
evenwicht als de netto
externe kracht op het
deeltje nul is.
• afgeleide potentiele
energie is nul.
stabiel
neutraal,
d 2U
 0, F ( x  dx)  0
dx 2
labiel
dr. H.J. Bulten
Mechanica najaar 2007
14
Voorbeeld
• potentiele energie van een deeltje is gegeven door:

U  b ( x  a)2  ( x  a) 2

x  a, a 
• Kracht in het interval:
dU
F 
xˆ  b 2( x  a)  2( x  a)  4bx
dx
• evenwicht? F  0 : x  0
• stabiel?
d 2U
 4b  0,stabiel
2
dx
• Potentiaal: 2 veren links en rechts
van het deeltje. Atomaire
krachten in een kristalrooster in 1
dimensie.
dr. H.J. Bulten
Mechanica najaar 2007
15
Behoud van Energie
dr. H.J. Bulten
Mechanica najaar 2007
16
Behoud van energie
• Externe krachten: Wtot ,ext  K sys
• Interne krachten:
 conservatief: Wc  U sys
 alle krachten: Wtot  Wext  Wint,cons  Wint,noncons
• Mechanische energie: som van kinetische en
potentiele energie.
Emech  K  U
Wext  Wco ns  K  U  Emech
• Dus: Wext  Emech  Wnonconservative
• Veel problemen zijn simpel op te lossen als je kunt
gebruiken dat de mechanische energie behouden is.
dr. H.J. Bulten
Mechanica najaar 2007
17
Voorbeelden
• Wrijvingsloos glijden
 skieen langs een willekeurig pad
1 2
mv0 , Emech  U sys  K sys
2
2 Emech
 Emech  mgh, v 
 2 gh
m
begin: U sys  mgh0 , K sys 
hoogte h: K sys
als v0  0 : v  2 g (h0  h)
• Bal:
Emech  K i  mgh
1 2
mvx .
2
1
1
1
mghtop  mgh  mv02  mvx2  mgh  mv y2
2
2
2
2
vy
htop  h 
 h  9.79m
2g
Snelheid grond: K bottom  Emech  mgh0  K 0
top : v y  0, K top 
vb2  2 gh0  v02 , vb  2(9.81m / s 2 )(12m)  (16m / s ) 2  22.2
dr. H.J. Bulten
m
s
Mechanica najaar 2007
18
voorbeelden
• Snelheid slinger,
spankracht draad:




systeem:slinger, aarde
interne krachten: T en mg
T verricht geen arbeid
zwaartekracht
conservatief
1
Emech  mgh  mv02  mgL(1  cos 0 )
2
K ( )  mgL(cos   cos  0 )
v( )  2 gL(cos   cos  0 )
mg sin 
dv d 2 gL sin  d

 g sin 
d dt
2v
dt
v2 2K
a  
 2 g  cos   cos 0 
L mL
T  ma  F  mg cos  {cos  yˆ  sin  xˆ}  2mg  cos   cos  0 {cos  yˆ  sin  xˆ} 
a// ( ) 
T  mg  3cos   2 cos 0 
dr. H.J. Bulten
Mechanica najaar 2007
19
voorbeelden
• hoe ver valt een massa aan een veer?
Emech  K  U sys
1
1
Emech ,i  mgy  ky 2  mv 2  0  0  0  0
2
2
1
Emech , f   mgd  kd 2
2
2mg
y  0 of y 
k
• maximale snelheid:
F  0 :  mg  ky  y  
mg
k
dU
 0 : mg  ky
dy
d
d 1
1
U ( )  mg  kd 2   mgd   K
2
2 4
4
• bij vrije val: snelheid 2 keer hoger.
dr. H.J. Bulten
Mechanica najaar 2007
20
Energiebehoud
• Mechanische energie: niet behouden in de
aanwezigheid van niet-behoudende krachten
• wordt omgezet in warmte of chemische energie of
straling.
• b.v. wanneer je begint te lopen: Echem  Ekin  Eth
Ein  Eout  Esys
Euniverse  0
• Overdracht energie: arbeid, warmte, straling
Wext  Esys  Emech  Eother
dr. H.J. Bulten
Mechanica najaar 2007
21
Wrijving
• Kinetische wrijvingsconstante kin  0.35
• verplaatsing x  3m
• systeem: blok-tafel
Externe krachten: Fzw, sys  Fduw  Fvloer
Externe arbeid: Wext  Fduw x  75 J
Interne arbeid: Wwrijving   kin mg x  41.2 J  Etherm
Esys  75 J  Emech  Etherm  Emech  33.8 J
K f  Emech , v f 
2 Emech
m
 4.11
m
s
dr. H.J. Bulten
Mechanica najaar 2007
22
voorbeeld
U sys  U veer  U grav
Esys  U sys  K  Ethermish
1 2
kx  m2 gh
2
E f  K  Eth  m2 g  h  x 
Ei 
Eth   m1 g x
K  Ei  Eth  m2 g  h  x  
K  8.1J  10.99 J
vf 
2K
 1.95m / s
m1  m2
dr. H.J. Bulten
1 2
kx  g (  m1  m2 )x
2
•
systeem: aarde plus
constructie op plaatje links.
• blok 1 ondervindt kinetische
wrijving,  K  0.2
• veer: k=180N/m, 30 cm
ingedrukt
• wat is de snelheid als blok 2
40 cm gevallen is?
Mechanica najaar 2007
23