week 41 - Nikhef

samenvatting week 5
• Arbeid: 3-dimensionele integraal
 inproduct kracht en verplaatsing
• Vermogen
 geleverde arbeid per tijdseenheid
 een-dimensionele integraal
t2
x2
t1
x1
 Pdt   F  ds
• Energie behoud. Vormen van energie kunnen in elkaar omgezet
worden, maar totale energie is behouden
• Potentiele energie
 b.v. gravitatie energie, veer energie
• Conservatieve kracht: geleverde arbeid onafhankelijk van
afgelegde pad. Geeft potentiele energie.
 Behoud van MECHANISCHE energie:
• Niet-conservatief: Warmte
dr. H.J. Bulten
Emech  E pot  Ekin
Mechanica najaar 2007
1
samenvatting week 5
• Potentiele energie: -afgeleide geeft kracht.
• evenwicht: netto kracht op object is nul, afgeleide potentiele
energie is nul
• stabiel: kleine verplaatsing leidt tot een kracht die naar het
evenwichtspunt toe wijst. B.v. veer. Tweede afgeleide
potentiele energie is positief, afgeleide kracht is negatief.
dr. H.J. Bulten
Mechanica najaar 2007
2
Energiebehoud
• Mechanische energie: niet behouden in de
aanwezigheid van niet-behoudende krachten
• wordt omgezet in warmte of chemische energie of
straling.
• b.v. wanneer je begint te lopen: Echem  Ekin  Eth
Ein  Eout  Esys
Euniverse  0
• Overdracht energie: arbeid, warmte, straling
Wext  Esys  Emech  Eother
dr. H.J. Bulten
Mechanica najaar 2007
3
Wrijving
• Kinetische wrijvingsconstante kin  0.35
• verplaatsing x  3m
• systeem: blok-tafel
Externe krachten: Fzw, sys  Fduw  Fvloer
Externe arbeid: Wext  Fduw x  75 J
Interne arbeid: Wwrijving   kin mg x  41.2 J  Etherm
Esys  75 J  Emech  Etherm  Emech  33.8 J
K f  Emech , v f 
2 Emech
m
 4.11
m
s
dr. H.J. Bulten
Mechanica najaar 2007
4
voorbeeld
U sys  U veer  U grav
Esys  U sys  K  Ethermish
1 2
kx  m2 gh
2
E f  K  Eth  m2 g  h  x 
Ei 
Eth   m1 g x
K  Ei  Eth  m2 g  h  x  
K  8.1J  10.99 J
vf 
2K
 1.95m / s
m1  m2
dr. H.J. Bulten
1 2
kx  g (  m1  m2 )x
2
•
systeem: aarde plus
constructie op plaatje links.
• blok 1 ondervindt kinetische
wrijving,  K  0.2
• veer: k=180N/m, 30 cm
ingedrukt
• wat is de snelheid als blok 2
40 cm gevallen is?
Mechanica najaar 2007
5
voorbeeld
• binding water molekulen
• afstand, energie, kracht.
dr. H.J. Bulten
Mechanica najaar 2007
6
H 2  molekuul
simpelste molekuul
overlap van golffuncties van atomen
afstotende kracht: tussen kernen
aantrekkend: tussen elektron+kern
dr. H.J. Bulten
Mechanica najaar 2007
7
massa en energie
• Einstein: E  mc 2
• rustmassa van systeem vertegenwoordigt een
hoeveelheid energie
 deeltjescreatie door paar productie
•
voorbeeld: als je 1 kg water 10 graden verwarmt:
E0  1kgc 2  9.0 1016 J
E  Ethermisch  mcw T  4.2  104 J
(1kcal  4.2kJ , de hoeveelheid energie om 1 kg water 1 graad in temperatuur te doen stijgen)
m
 5 1013
m
• voorbeeld: fusie in de zon
2
H  3 H  4 He  n
massa H
EH  m p c 2  me c 2  Eb
Ei  mi c 2  1875.628MeV  2808.944 MeV
E f  3727.409 MeV  939.573MeV  Erel
mH
13.6eV
 1
 1  1.45  108
m p  me
939MeV
Erel  Ei  E f  17.6MeV
dr. H.J. Bulten
Mechanica najaar 2007
8
quantisatie energie
• Kleine afstanden, tijden:
quantum theorie
 atomen.
• Energie is gequantiseerd:
neemt alleen toe in
discrete quanta
 Nobel prijs Einstein
 stabiliteit atoom (anders
valt het elektron op de
kern).
• Constante van Planck:
h  6.626  10 34 Js
h
2
E foton  hf

dr. H.J. Bulten
Mechanica najaar 2007
9
Interacties: impulsbehoud
• botsingen, uitgebreide
systemen.
 b.v. golfclub-bal
 b.v. beweging watermolekuul
dr. H.J. Bulten
Mechanica najaar 2007
10
Uitgebreide objecten: zwaartepunt
• impuls van uitgebreid object: som van de impulsen
van de delen.
• tweede hoofdwet van Newton:
 geen externe kracht: impuls object is behouden.
• Beweging object: beweging van het zwaartepunt+
beweging van interne componenten rond het
zwaartepunt.
Twee deeltjes :
Mxcm  m1 x1  m2 x2
Mxcm  m1 x1  m2 x2 
dr. H.J. Bulten
( M  m1  m2 )
xcm 
m2
d
m1  m2
Mechanica najaar 2007
11
Zwaartepunt
• Zwaartepunt voor n deeltjes:
N
Mrcm   mi ri
i 1
• voor continue verdelingen (n nadert oneindig):
Mrcm    (r )r dxdydz
V
• voorbeeld: watermolekuul.
xcm 
ycm 
1
M
 mi xi 
1
M
 mi yi 
i
2mH (96 pm) cos 52.2  0 M O
 6.6 pm
2mH  mO


mH (96 pm) sin 52.2  sin  52.2  0 M O
i
dr. H.J. Bulten
2mH  mO
0
Mechanica najaar 2007
12
Zwaartepunt: additief
• in het vorige voorbeeld kon je ook eerst het
zwaartepunt van 2 deeltjes uitrekenen en dat
gebruiken in de totale som:
Mrcm  m1r1  m2 r2  m3r3
  m1r1  m2 r2
(m1  m2 )rcm
  m3r3
Mrcm  (m1  m2 )rcm
• Dit wordt zeer veel gebruikt:
 symmetrie
 bijvoorbeeld: object met gat erin!
 zwaartepunt holle cylinder, moer,...
Mrcm  m1r1  m2 r2
m1r1  Mrcm  m2 r2
dr. H.J. Bulten
Mechanica najaar 2007
13
zwaartepunt
• optellen van zwaartepunten.
• iedere distributie mogelijk.
dr. H.J. Bulten
Mechanica najaar 2007
14
voorbeeld: driehoek
• Zwaartepunt driehoek:
a
r  
h
 bx
Schuine zijde: y   h

 ba
b ymax
M    dxdy  

a
o
b

 dxdy    y 0
y max
dx 
b
r  
0
 x a
r   
 y 0
a
b
 b

1
 bx
 h
x
x2  
 dx   h 
ba
2(b  a )  a
ba
a
b
  hb   h
b ymax
MrCM , x  

a
o
(b 2  a 2 )
ba
1
  h(b 
)   h(b  a )   hA
2(b  a)
2
2
b

rx  dxdy    rx y 0
y max
dx 
a
b
 bx  x 2 
h  b 2 1 3 
h
 h
3b3  3ba 2  2b3  2a 3 
 dx 
 x  x  
ba 
ba 2
3  a 6(b  a )
a
h
h
 1


b3  3ab 2  2a 3 
(b  2a )(b  a ) 2  M a  (b  a ) 
6(b  a )
6(b  a )
 3

b


dr. H.J. Bulten




Mechanica najaar 2007
15
Gravitatie
• Gravitatie energie van object: neem hoogte van
zwaartepunt.
N
N
i 1
i 1
U   gmi hi  g  mi hi  Mghcm
• zwaartepunt: kruising van loodlijnen.
dr. H.J. Bulten
Mechanica najaar 2007
16
loodlijnen
dr. H.J. Bulten
Mechanica najaar 2007
17
Beweging zwaartepunt
pcm
N
N
drcm
dri
M
  mi
  pi
dt
dt
i 1
i 1
N
dpcm
  mi ai
dt
i 1
dpcm
 Fext  Fint
dt
actie is reactie:  Fint  0
i,j
Het zwaartepunt
van een systeem
beweegt
als een deeltje met
massa M   m
i
i
dr. H.J. Bulten
Mechanica najaar 2007
18