Week 1: introductie

Samenvatting week 1
• meting van een grootheid:
 getal + eenheid
• getallen : significante cijfers, machten van 10, orde
van grootte
• eenheden: S.I.
• eenheden: keuze. Men kan b.v. een eenheid van
afstand gebruiken ipv. een eenheid van snelheid.
• formule: correcte formule heeft zelfde dimensies
links en rechts van het gelijkteken
• schatten : orde van grootte. Probeer te controleren
of schatting klopt.
• exponenten: bij relaties tussen grootheden (A neemt
x% toe als B y% toe neemt)
dr. H.J. Bulten
Mechanica najaar 2007
1
dimensies, vergelijking
• een formule kan alleen correct zijn, als links
en rechts van het gelijkteken grootheden
met dezelfde dimensies staan
• b.v. kracht, afstand, tijd
•verband tussen
kracht, afstand,
tijd, massa,
snelheid, energie
van de football en
de trap?
dr. H.J. Bulten
Mechanica najaar 2007
2
werkcollege
• deze week : kamers
 R2.23,R2.32 voor studenten die Eelco en Kelly als
begeleider hebben
 F4.53 voor studenten die mij als begeleider
hebben
• deze week : opdrachten voor thuis
 participatie
 tellen mee in afronding cijfer
• tentamen : Binas toegestaan.
dr. H.J. Bulten
Mechanica najaar 2007
3
beweging in 1 dimensie
• Definities: in het algemeen geeft
hoofdletter delta een verschil aan tussen een
variabele in een begintoestand en een
eindtoestand.
• positie : x(t)
• verplaatsing: x  x f  xi
• tijdsinterval: t  t f  ti
x x(t f )  x(ti )
• gemiddelde snelheid: vav  
t
t f  ti
• instantane snelheid: v(t )  lim x  dx(t )
t 0
dr. H.J. Bulten
Mechanica najaar 2007
t
dt
4
gemiddelde snelheid
• in het boek wordt, naast de term “velocity”, ook de
term “speed” gebruikt.
• Dit is de gemiddelde snelheid, gemeten over de in
totaal afgelegde afstand.
• Speed: absolute waarde van de snelheid.
• B.v. de gemiddelde “speed” van een formule-1 auto die
60 rondes van 5.5 km in 1 uur heeft afgelegd, is 330
km/h, maar de gemiddelde “velocity” is 0 km/h, omdat
de start en de finish op hetzelfde punt liggen.
• In het Nederlands worden die concepten door elkaar
heen gebruikt, maar in het algemeen bedoelt men
“speed”, wanneer men het over de gemiddelde snelheid
heeft.
dr. H.J. Bulten
Mechanica najaar 2007
5
gemiddelde snelheid
• voorbeeld: Bij een atletiektraining ren je 100
m in 12 s en jogt 50 m terug in 30 s.
• De gemiddelde “velocity” = 50m/42s = 1.2m/s
• De gemiddelde “speed” = 150m/42s = 3.6 m/s
dr. H.J. Bulten
Mechanica najaar 2007
6
gemiddelde snelheid
dr. H.J. Bulten
Mechanica najaar 2007
7
instantane snelheid
• Begrip beweging: conceptuele problemen
Grieken (Zeno, Parmenides).
 Achilles en de schildpad
 pijl in vlucht
dr. H.J. Bulten
Mechanica najaar 2007
8
referentie stelsel
• snelheden zijn gedefinieerd in referentie
stelsels. Een referentie stelsel wordt in
Tipler en Mosca gedefinieerd als een
uitgebreid object waarvan alle delen t.o.v.
elkaar in rust verkeren. Bijvoorbeeld: het
aardoppervlak, de treinwagon waarin je zit,....
• Het referentie stelsel is gewoon de
beschrijving van je assenstelsel.
dr. H.J. Bulten
Mechanica najaar 2007
9
referentie stelsels
• in de Newtoniaanse mechanica zijn snelheden
additief, dus om van het ene stelsel naar het andere
te transformeren sommeert men de snelheden. B.v.
als je een bal over de vloer van de treinwagon rolt
met 4m/s, naar de locomotief toe, en de trein rijdt
met 30 m/s naar voren t.o.v. de grond, dan is de
snelheid van de bal t.o.v. de grond 4+30 = 34 m/s.
Rolt de bal de andere kant op, dan is de snelheid (4+30)=26 m/s: v  v  v
pB
pA
AB
• mechanica\Addition of Velocities.mht
• conceptuele problemen:
 Galileo transformatie (waarom vallen we niet van de aarde
af? Waarom waait het niet heel hard?)
 relativiteitstheorie
dr. H.J. Bulten
Mechanica najaar 2007
10
versnelling
• verandering van plaats -> snelheid
• verandering van snelheid -> versnelling
• gemiddelde versnelling: a  v  v(t f )  v(ti )
av
t
t f  ti
2

v
dv
(
t
)
d
x(t )
• instantane versnelling: a(t ) 


lim
2

t
dt
dt
t 0
• als de positie x als functie van de tijd t bekend is,
kan men voor alle waarden van t de snelheid en de
versnelling uitrekenen door (een en twee maal) te
differentieren.
• omgekeerd, als de versnelling op alle tijden t bekend
is en op een tijdstip ook de snelheid en de positie
bekend is, kan men de positie als functie van de tijd
uitrekenen door te integreren.
dr. H.J. Bulten
Mechanica najaar 2007
11
intermezzo: differentieren
• Ik veronderstel het volgende bekend:
df
f ( x   )  f ( x)
 lim
dx  0

df
f ( x)  ax n 
 nax n 1
dx
df 1
f ( x)  ln( x) 

dx x
df
f ( x)  ae x 
 ae x
dx
df
f ( x)  sin( x) 
 cos( x)
dx
df
f ( x)  cos( x) 
  sin( x)
dx
df ( y ) df ( y ) dy

 b.v. f ( x)  sin(3 x 2   ) 
dt
dy dt
dr. H.J. Bulten
Mechanica najaar 2007
df
 6 x cos(3 x 2   )
dx
12
constante versnelling
• komt vaak voor,
constante kracht
b.v. vrije val.
agem
velocity (2-0.8t)
position
15
10
v  v0 t0 0 v  v0
v

a

t
t  t0
t
5
v  at  c
0
1
1
vgem  (v0  v)  v0  at
2
2
x
1
 vgem  v0  at
t
2
1 2
x  x  x0  v0t  at
2
dr. H.J. Bulten
0
2
4
6
8
10
12
-5
-10
-15
time (s)
Mechanica najaar 2007
13
Crash test
• Een auto botst met 108 km/h tegen een betonnen
muur. Schat de gemiddelde versnelling.
dr. H.J. Bulten
Mechanica najaar 2007
14
crash test
• aanname: verplaatsing midden auto ~ 0.75m.
• bekende voorwaarden:
v0  108
km
m
 30
h
s
vf  0
1
m
v

v

15
 f 0 s
2
x  0.75m
vgem 
x
 vgem
t
 t 
x
 0.05s
vgem
v
30m / s
m
 agem 
 600 2  60 g
t
0.05s
s
dr. H.J. Bulten
Mechanica najaar 2007
15
stijgende lift.
• een lift versnelt met
4m/s2 (naar boven).
• Een schroef valt van
het dak naar de vloer,
een afstand van 3 m.
• Hoe lang duurt het
voordat de schroef de
vloer raakt?
dr. H.J. Bulten
Mechanica najaar 2007
16
stijgende lift
• In het boek is als referentie stelsel het
aardoppervlak genomen. (Keuze! Algemene
relativiteitstheorie : ook versnelde stelsels)
hoogte liftvloer: y f  y0 f
1
1 2
2
 v0 f t  a f t hoogte schroef: ys  y0 s  v0 s t  as t
2
2
• op t1 botst de schroef, op t0 is de snelheid van de
schroef gelijk aan die van de lift.
v0 f  v0 s
;
y1 f  y1s
;
y0 s  y0 f  h
1
1
y0 s  v0 s t1  as t12  y0 f  v0 s t1  a f t12
2
2
1
y0 s  y0 f   a f  as  t12
2
2h
6m
t1 

 0.659 s
m
m
 a f  as   4 2  9.81 2 
s 
 s
dr. H.J. Bulten
Mechanica najaar 2007
17
Integreren
Integreren is de inverse
operatie van differentieren.
De primitieve van een functie
is een functie, die als
eigenschap heeft dat zijn
afgeleide de functie geeft
(deze functie is bepaald op
een integratieconstante na.)
b
F (a )  F (b)   f ( x)dx
a
x 
 F ( x   )  F ( x)   
lim

0
f ( x)dx   f ( x)
x
F ( x   )  F ( x) 

dF

 f ( x)
dx lim

 0
dr. H.J. Bulten
Mechanica najaar 2007
18
Integreren
• bekend wordt verondersteld:
F ( x)   aebx dx 
a bx
e c
b
F ( x)   a cos(bx   ) dx 
a
sin(bx   )  c
b
 a
n 1
x
c

n
F ( x)   ax dx   (n  1)
 a ln x  c

(n  1)
(n  1)
• als je op ieder tijdstip de snelheid kent, kun
je de afgelegde afstand uitrekenen door
t
x  xt  x0   v(t )dt
0
x(t )   v(t )  c , kies c zodat x(0)  x0
dr. H.J. Bulten
Mechanica najaar 2007
19
Integreren
• als je de versnelling kent, kun je het verschil in
snelheid op ieder tijdstip bepalen door te
integreren. Als de snelheid op 1 tijdstip bekend is,
kun je de snelheid op ieder tijdstip uitrekenen.
t
v  vt  v0   a (t )dt
0
v(t )   a(t )dt  ca
x(t )   v(t )dt  cv
 
1 2
a constant: x(t )    adt dt   (at  ca )dt  at  ca t  cv
2
randvoorwaarden t=0:
ca  v0 , cv  x0
1
x(t )  x0  v0t  at 2
2
dr. H.J. Bulten
Mechanica najaar 2007
20
verplaatsing,
• verplaatsing: oppervlakte onder de functie v(t):
x
verplaatsing van een
object dat je recht
omhoog gooit
dr. H.J. Bulten
Mechanica najaar 2007
21
boot
• Wat is de
afstand die
een boot af
legt als je na
60 s de motor
uit zet?
v(t )  v0  8m / s
• aannames:
dr. H.J. Bulten
(60 s ) 2
v(t )  v0
t2
0  t  60 s
t  60 s
Mechanica najaar 2007
22
boot
• je kunt de
functie van v
tegen t tekenen:
60 s
x1 
 v dt  480m
0
0

x2 
v
0
60 s
 60s 
2
t2




m
1
1
2
dt  8  3600s   2 dt  8  3600ms   


s
t
60 s
 t t 60 s 
• x  8  3600ms   0  1   480m
2


60s

dr. H.J. Bulten

Mechanica najaar 2007
23
Grootheden in 3 dimensies
•
•
•
•
plaats: 3 ruimtecoordinaten: vector
snelheid : 3 richtingscomponenten
versnelling: 3 richtingscomponenten.
schrijfwijzen vectoren:
 a1 
 vet met pijl: A
 
 alternatieven: pijl, vet A , kolom A   a2 
a 
 alternatief: componentsgewijs ai
 3
• magnitude vector: A
• voorbeeld vector: positie vector met
coordinaten x,y,z.
dr. H.J. Bulten
Mechanica najaar 2007
24
rechtshandig assenstelsel
• 3 assen loodrecht op elkaar. y-as het scherm in, naar
achteren.
z
y
x
 rx 
 
r   ry 
r 
 z
• als je de x-as naar de y-as toedraait, beweegt een
rechtshandige schroef in de richting van de z-as.
dr. H.J. Bulten
Mechanica najaar 2007
25
dr. H.J. Bulten
Mechanica najaar 2007
26
verplaatsing
• verplaatsingsvector: verschil tussen de
coordinaten van de positie van je object op
tijdstip t1 en t2:
A  r (t2 )  r (t1 )
Ax  rx (2)  rx (1)
Ay  ry (2)  ry (1)
Az  rz (2)  rz (1)
 Ax   rx (2)   rx (1)   rx (2)  rx (1) 
  
 
 

A

r
(2)

r
(1)

r
(2)

r
(1)
y
 y  y   y   y

 A   r (2)   r (1)   r (2)  r (1) 
z
 z  z   z   z

dr. H.J. Bulten
Mechanica najaar 2007
27
Vector operaties:
• optellen: grafisch C  A  B
dr. H.J. Bulten
Mechanica najaar 2007
28
vectoren
• optellen, analytisch
 C x   Ax  Bx 
  

C  A  B   C y    Ay  B y 
C   A  B 
z 
 z  z
ci  ai  bi (i  1, 2,3 or i  x, y , z )
• magnitude: lengte vector
C  C  cx2  c y2  cz2
c  ci 
3
c
i 1
2
i
• voorbeeld: afgelegde afstand als je 3 km naar het
noorden en 4 km naar het oosten loopt (bord)
dr. H.J. Bulten
Mechanica najaar 2007
29
vectoroperaties
• vermenigvuldigen met een scalar
 net als getallen, 2a=a+a
 sA is een vector in de richting van A met
 lengte s A  sA
• aftrekken: A  B  A  (1B)
• inproduct (scalar product):
A  B  AB cos  AB   Ax Bx  Ay By  Az Bz 
A  A  A2
dr. H.J. Bulten
Mechanica najaar 2007
30
inproduct
inproduct: lengte van de component van de ene
vector langs de andere vector maal de lengte van
de andere vector.
A cos
B

B cos
dr. H.J. Bulten
A
Mechanica najaar 2007
31
uitproduct
• Er is nog een tweede vector operatie van
belang: het uitproduct (cross product, vector
product).
• Het uitproduct van twee vectoren is een
vector die loodrecht op beide vectoren staat,
met magnitude A  B  AB sin 
• komt in hoofdstuk 10 ter sprake.
AB
dr. H.J. Bulten
Mechanica najaar 2007
32
uitproduct
 Ax   Bx   Ay Bz  Az By 

    
A  B   Ay    By    Az Bx  Ax Bz 
A  B  A B A B 
y x
 z  z  x y
3
3
ci  A  B    ijk a j bk
j 1 k 1
dr. H.J. Bulten
met
  ijk  1 ijk even permutatie van 123

 ijk  1 ijk oneven permutatie van 123
 0 andere gevallen (i  j, i  k , ofj  k )

Mechanica najaar 2007
33
vectoroperaties:
dr. H.J. Bulten
Mechanica najaar 2007
34
vectoroperaties
A  B  AB cos  AB   Ax Bx  Ay By  Az Bz 
A  A  A2
A  B  AB sin  AB nˆ
 Ax   Bx   Ay Bz  Az By 

    
A  B   Ay    By    Az Bx  Ax Bz 
A  B  A B A B 
y x 
 z  z  x y
A B  B  A
dr. H.J. Bulten
Mechanica najaar 2007
35
vergelijkingen met vectoren
• Als je een natuurkundige vergelijking hebt met aan
de ene kant een vector, dan staat er aan de andere
kant van het gelijkteken ook een vector.
• Dus b.v. de magnetische kracht hangt af van het
magneetveld en de snelheid van een deeltje: F   v  B
• omgekeerd: als er links een scalar staat, moet dat
rechts ook het geval zijn. B.v. E  F  x
• een vectorvergelijking mag ook worden opgevat als 3
verschillende vergelijkingen voor de individuele
dx

componenten
v

 x dt
 x
 b.v

dr
dy

 
v
 v y 
, met r   y 
dt
dt

z
 
dz

 vz  dt

dr. H.J. Bulten
Mechanica najaar 2007
36