Uittreksel boek Calculus 5e editie hoofdstuk 1 t/m 4

Uittreksel Analyse A
Inhoudsopgave
Voorwoord ..................................................................................................................... 1
1. Functies en modellen ................................................................................................ 2
1.1 Vier manieren om een functie weer te geven .................................................... 2
1.2 Wiskundige modellen: een catalogus van essentiële functies ........................... 3
1.3 Nieuwe functies maken uit bestaande functies ................................................. 5
1.4 Grafische rekenmachines en computers........................................................... 5
2. Limieten en verhoudingsgetallen ............................................................................ 6
2.1 Raaklijn en snelheid ......................................................................................... 6
2.2 Limiet van een functie....................................................................................... 6
2.3 Rekenregels voor limieten ................................................................................ 7
2.4 Limieten gedefinieerd ....................................................................................... 8
2.5 Continuïteit ....................................................................................................... 9
2.6 Raaklijn, snelheid en andere verhoudingsgetallen .......................................... 10
3. Afgeleide functies .................................................................................................... 11
3.1 Afgeleiden ...................................................................................................... 11
3.2 De afgeleide functie ........................................................................................ 12
3.3 Regels voor differentiëren............................................................................... 13
3.4 Het differentiëren in toepassingen .................................................................. 14
3.5 Goniometrische functies differentiëren............................................................ 15
3.6 De kettingregel ............................................................................................... 17
3.7 Impliciet differentiëren .................................................................................... 17
3.8 Hogere afgeleiden .......................................................................................... 18
3.9 Snelheden die samenhangen ......................................................................... 18
3.10 Lineaire benaderingen en differentialen .......................................................... 18
4. Functies onderzoeken .......................................................................................... 19
4.1 Maxima en minima ......................................................................................... 19
4.2 De middelwaardestelling ................................................................................ 20
4.3 Hoe afgeleiden samenhangen met de vorm van een grafiek .......................... 21
4.4 Asymptoten .................................................................................................... 22
4.5 Tekenen van grafieken ................................................................................... 23
4.6 Plotten van grafieken ...................................................................................... 23
4.7 Optimaliseren ................................................................................................. 24
4.8 Toepassingen in de bedrijfseconomie ............................................................ 24
4.9 Nulpunten en een methode van Newton ......................................................... 25
4.10 Primitieve functies .......................................................................................... 25
Gebruik van de TI-89 bij Analyse A ............................................................................. 26
Voorwoord
Dit is een uitgebreid uittreksel van hoofdstuk 1 t/m 4 van het boek Calculus 5e editie.
Het bevat alle begrippen en formules, in de volgorde waarin die in het boek aan bod
komen. Als er in de studiewijzer staat dat bewijzen gereproduceerd moeten worden,
heb ik die in dit uittreksel opgenomen. In de bijlage staan enkele aanwijzingen voor het
gebruik van de TI-89 bij deze module.
Succes met de module Analyse A.
Bert Kraai
Uittreksel Analyse A
1. Functies en modellen
1.1 Vier manieren om een functie weer te geven
Functie = het voorschrift dat aan ieder element x uit verzameling A (domein) precies 1
element f (x ) toekent uit verzameling B (bereik).
Domein (domain) = verzameling van alle originelen.
Onafhankelijke variabele (independent variable) = een element uit het domein.
Bereik (range) = verzameling van alle afbeeldingen van functie f .
Afhankelijke variabele (dependent variable) = een element uit het bereik.
Mogelijkheden om uit te leggen wat een functie doet:
 Een machine voor het uitvoeren van een rekenkundige bewerking:
Je typt een bepaalde waarde in x (input, origineel),
kiest een bepaalde functie f (functievoorschrift) en
krijgt een waarde f (x ) retour (output, afbeelding).
 Een pijlendiagram, waarbij elementen uit het domein m.b.v. pijlen worden
verbonden met hun afbeelding uit het bereik.
De 4 manieren om een functie weer te geven:
1. Verbaal:
beschrijving
2. Numeriek:
tabel met waarden
3. Visueel:
grafiek
4. Algebraïsch
formule.
Als een functie op meer dan één manier kan worden afgebeeld, is het vaak zinvol om te
schakelen tussen afbeeldingswijzen om meer inzicht in de functie te krijgen.
Bepaalde type functies kunnen beter met de ene afbeeldingswijze weergegeven
worden dan met de anderen, bijvoorbeeld:
 wetmatigheden
formule
 onderzoeksresultaten
tabel met waarden, grafiek
 staffeling
beschrijving
 continue meetresultaten
grafiek
Verticale Lijn Test
Functies kunnen weergegeven worden als een curve in een xy-assenstelsel.
Maar niet elke curve in een xy-assenstelsel is de grafiek van een functie.
Voor een grafiek van een functie geldt dat geen enkele vertikale lijn de curve meer dan
1 keer mag doorsnijden.
Stuksgewijs gedefinieerde functie (piecewise defined function)
Voor ieder deel van het domein geldt een aparte functie. Voorbeelden:
 x als x  0
f ( x) | x | 
  x als x  0
 x 2  4 x als x  0  x  4
g ( x) | x 2  4 x |  2
  x  4 x als 0  x  4
Blz. 2 van 27
Uittreksel Analyse A
Bepalen van de vergelijking van een rechte lijn (equation of a line)
Als de richtingscoëfficiënt m is gegeven en één punt van de lijn is bekend ( x1 , y1 ) , dan
is de vergelijking van de lijn op te stellen met behulp van:
y  mx  b
Punt ( x, y )
Punt ( x1 , y1 )
y1  mx1  b _
Aftrekken levert de formule y  y1  m( x  x1 ) .
Omgekeerd is met deze formule ook de richtingscoëfficiënt (r.c.) m te berekenen als
twee punten van een lijn ( x, y ) en ( x1 , y1 ) bekend zijn:
m
y  y1 y
.

x  x1 x
Even en oneven functies (even and odd functions)
Een functie is even als f ( x)  f ( x) . Deze grafiek is gespiegeld in de y-as.
Een functie is oneven als f ( x)   f ( x) . Deze grafiek is gespiegeld in de oorsprong
van het assenstelsel = 180o geroteerd ten opzichte van de oorsprong.
Stijgende en dalende functies (increasing and decreasing functions)
Een functie f is stijgend op een interval als f ( x1 )  f ( x2 ) voor elke x1  x2
in dat interval. De r.c. m is groter dan 0.
Een functie f is dalend op een interval als f ( x1 )  f ( x2 ) voor elke x1  x2
in dat interval. De r.c. m is kleiner dan 0.
1.2 Wiskundige modellen: een catalogus van essentiële functies
Met een wiskundig model (vaak één of meer functies) beschrijft men een situatie uit de
werkelijkheid. Doel van het model is om inzicht te krijgen in de situatie en om
voorspellingen te kunnen doen over zijn toekomstig gedrag.
Het proces van modelleren bestaat uit de volgende stappen:
1. Selecteren van een situatie (probleem) uit de werkelijkheid.
2. Formuleren van een wiskundig model door het identificeren van de onafhankelijke
en de afhankelijke variabelen.
3. Opstellen van een hypothese van de werkelijkheid.
4. Toetsen van deze hypothese aan de werkelijkheid.
Een wiskundig model is een vereenvoudigde weergave van de werkelijkheid met als
doel wiskundige berekeningen mogelijk te maken, die nauwkeurig genoeg zijn om
betrouwbare conclusies te trekken.
Blz. 3 van 27
Uittreksel Analyse A
Soorten functies
Algebraïsche
Kenmerken
Samengestelde functie uit
lineaire, polynome en rationale
functies.
Bevat operatoren.
P (x )
Veeltermen (polynomials)
y  a n x n  a n 1 x n 1  ...  a 1 x 1  a 0
Kwadratische functies
Eerstegraads (lineair)
Tweedegraads
(quadratic)
Vorm: rechte lijn
als a>0 stijgend
als a<0 dalend
Vorm: parabool
als a>0 dalparabool
als a<0 bergparabool
Wortel (root)
Reciproke (reciprocal) =
omgekeerd evenredige
Rationale
y  ax  b
y  ax 2  bx  c
y  ax 3  bx 2  cx  d
Derdegraads (cubic)
Machtsfuncties (power)
Formule
Slechts 1 term uit de
kwadratische functie is aanwezig.
Vorm: zelfde als de betreffende
term.
Vorm: als kwadratische functie
met term n , maar dan gespiegeld
in de lijn y  x .
Domein x = [0,  )
Vorm: hyperbool met de assen als
asymptoten
y  ax b
quotiënt van 2 veeltermfuncties
P( x)
Q( x)
stijgend als a > 0 en g > 1
dalend als a > 0 en 0<g<1
y  ag x
1
n
yx n x
y  x 1 
1
x
Transcedente
Exponentiële
Logaritmische
Goniometrische
y  a log( x)
periodiek
sinus, cosinus en tangens
(trigonometric)
… (Not Named) …
Interpolatie (intrapolation) = schatten van een waarde die tussen de gemeten
waarden ligt.
Extrapolatie (extrapolation) = schatten van een waarde die buiten de gemeten
waarden ligt.
Blz. 4 van 27
Uittreksel Analyse A
1.3 Nieuwe functies maken uit bestaande functies
Als het functievoorschrift verandert, verandert de grafiek. In sommige gevallen is het
effect van de verandering in de grafiek te voorspellen.
Uit bestaande functies kunnen op 3 manieren nieuwe functies worden gemaakt:
1. Met transformaties (translaties, uittrekken, krimpen of spiegelen)
2. Door het combineren van bestaande functies ( f  g )
3. Door het samenstellen van bestaande functies ( f  g )
Translaties bij c>0
y
y
y
y
f ( x)  c
f ( x)  c
f ( x  c)
f ( x  c)
Uittrekken,
inkrimpen en
spiegelen bij c>1
y  cf (x)
f ( x)
y
c
y  f (cx)
 x
y  f 
c
y   f (x)
y  f ( x)
Actie
Schuif grafiek van y  f (x) met c units omhoog
Schuif grafiek van y  f (x) met c units omlaag
Schuif grafiek van y  f (x) met c units naar rechts
Schuif grafiek van y  f (x) met c units naar links
Actie
Trek de grafiek van y  f (x) in verticale richting uit met factor c
Krimp de grafiek van y  f (x) in verticale richting in met factor c
Krimp grafiek van y  f (x) in horizontale richting in met factor c
Trek de grafiek van y  f (x) in horizontale richting uit met factor c
Spiegel de grafiek van y  f (x) in de x -as
Spiegel de grafiek van y  f (x) in de y -as
Functies f en g combineren
met domein A resp. B
( f  g )( x)
( f  g )( x)
( fg )( x)
f
 (x)
g
Functies f en g combineren
tot samengestelde functie
( f  g )( x)
Equivalent met
f ( x)  g ( x)
f ( x)  g ( x)
f ( x) * g ( x)
f ( x)
g ( x)
Equivalent met
f ( g ( x))
Nieuwe domein
A B
A B
A B
x { A  B | g ( x)  0}
Nieuwe domein
Alle waarden van x in het domein
van g (x ) waarvan de afbeelding
ligt in het domein van f (x )
1.4 Grafische rekenmachines en computers
Zie bijlage.
Blz. 5 van 27
Uittreksel Analyse A
2.
Limieten en verhoudingsgetallen
2.1
Raaklijn en snelheid
Een Raaklijn (tangent) is een lijn die de curve raakt in een gegeven punt. De
richtingscoëfficiënt van de raaklijn is gelijk aan die van de curve in het gegeven punt.
De richtingscoëfficiënt (r.c.) m van een raaklijn is te bepalen door de limiet te
berekenen van de r.c. van de snijlijnen met het gegeven punt: lim mPQ  m .
QP
De r.c. m is te benaderen door de punten P en Q in te vullen als ( x, y ) en ( x1 , y1 ) in de
punthellingvorm van de raaklijn: y  y1  m( x  x1 ) .
2.2
Limiet van een functie
lim f ( x)  L is een tweezijdige limiet.
x a
De limiet van f (x ) is gelijk aan L , als x van links of rechts nadert tot a maar niet
gelijk wordt aan a . Met andere woorden: f (x ) nadert L als x nadert tot a .
lim f ( x)  L is een linkszijdige limiet: x nadert vanaf links (negatief) tot a .
xa 
lim f ( x)  L rechtszijdige limiet: x nadert vanaf rechts (positief) tot a .
xa 
Derhalve is lim f ( x)  L als geldt dat lim f ( x)  L en lim f ( x)  L .
x a
xa
xa
Oneindige limieten (infinitiy limits)
lim f ( x)   of   betekent dat f (x) oneindig groot cq. klein wordt als we de x maar
xa
dicht genoeg nadert tot a maar niet gelijk wordt aan a .
De lijn x  a wordt in dit geval een verticale asymptoot genoemd.
Blz. 6 van 27
Uittreksel Analyse A
2.3
Rekenregels voor limieten
Als de limieten lim f ( x ) en lim g ( x) bestaan, dan geldt:
x a
x a
1. lim [ f ( x)  g ( x)]  lim f ( x)  lim g ( x)
x a
x a
x a
2. lim [ f ( x)  g ( x)]  lim f ( x)  lim g ( x)
x a
x a
x a
3. lim [cf ( x)]  c lim f ( x)
xa
waarbij c een constante is
xa
4. lim [ f ( x) * g ( x)]  lim f ( x) * lim g ( x)
xa
xa
x a
lim f ( x)
5. lim
xa
f ( x) x a

als lim g ( x)  0
xa
g ( x) lim g ( x)
xa
6. lim [ f ( x)]  [lim f ( x)] n
waarbij n een positief geheel getal is
7. lim c  c
waarbij c een constante is
n
x a
xa
xa
8. lim x  a
xa
9. lim x n  a n
waarbij n een positief geheel getal is
x a
10. lim
n
x a
11. lim
xa
n
x n a
waarbij n een positief geheel getal is.
f ( x)  n lim f ( x)
Als n een even getal is, nemen we aan dat a  0 , anders
bestaat de limiet niet.
waarbij n een positief geheel getal is
xa
Als n een even getal is, nemen we aan dat f ( x)  0
Directe substitutieregel
Als f een veelterm (polynomial) of rationale functie is en a is element van het domein
van f dan geldt: lim f ( x)  f (a ) . Deze functies zijn continu bij a .
xa
Bij voorbeeld 6 op bladzijde 86 wordt de worteltruc gebruikt:
a b
a b
a b
*

1
a b
a b
a b
Stellingen
1. lim f ( x)  L als geldt lim f ( x)  L  lim f ( x) .
x a
x a
xa
2. Als f ( x)  g ( x) als x dichtbij a is maar niet gelijk aan a en de limieten van f en
g bestaan beide als x nadert tot a dan geldt lim f ( x)  lim g ( x)
xa
x a
3. Als f ( x)  g ( x)  h( x) als x dichtbij a is maar niet gelijk aan a en
lim f ( x)  lim h( x)  L dan geldt dat lim g ( x)  L . (insluitstelling)
x a
xa
xa
Blz. 7 van 27
Uittreksel Analyse A
2.4
Limieten gedefinieerd
 = (absolute) fouttolerantie (error tolerance) van f (x) tot de limietwaarde L .
 = (absolute) afstand van x tot a .
Definitie van een limiet
Gegeven is een functie f die is gedefinieerd op een open interval dat het getal
a bevat, behalve mogelijk het getal a zelf.
We kunnen nu zeggen dat de limiet van f (x ) als x het getal a nadert gelijk is aan L ,
geschreven als lim f ( x)  L , als geldt dat voor elk getal   0 er een getal   0 is
xa
zodanig dat | f ( x)  L |  wanneer 0 | x  a |  .
Andersom geldt dus ook: Als 0 | x  a |  dan is | f ( x)  L |  .
In omgangstaal: lim f ( x)  L betekent dat we de waarden van f (x ) de waarde L net
xa
zo dicht kunnen laten naderen als we willen door een x -waarde te kiezen die dicht
genoeg bij a ligt (maar niet gelijk is aan a ).
x ligt dan in het open interval (a   , a   ) , waarbij geldt dat de grenswaarden niet
meedoen en x  a . f (x ) ligt in het open interval ( L   , L   ) .
Bewijzen met behulp van de definitie van de limiet:
Stap 1 Schat de waarde van  door analyse van de vraagstelling.
Dit komt neer op het substitueren van f (x ) , L en a in de definitie van de limiet en het
herschrijven van de ongelijkheid | f ( x)  L |  , totdat hierin een term | x  a | ontstaat.
Definieer nu de relatie tussen  en  .
Stap 2 Bewijs dat de gevonden waarde van  de juiste is.
Dit komt neer op het herschrijven van | f ( x)  L | , totdat hierin de term | x  a | ontstaat.
Omdat geldt dat | x  a |  , is nu de relatie tussen | f ( x)  L | en  aan te geven.
Met behulp van de relatie tussen  en  kunnen we dit terug rekenen naar  .
Zie voorbeeld 2 op bladzijde 95/96.
Definitie van linkszijdige limiet
lim f ( x)  L als voor elk getal   0 er een getal   0 is zodanig dat
xa
| f ( x)  L |  wanneer a    x  a .
Definitie van rechtzijdige limiet
lim f ( x)  L als voor elk getal   0 er een getal   0 is zodanig dat
xa
| f ( x)  L |  wanneer a  x  a   .
Definitie van een oneindige limiet
lim f ( x)   als voor elk positief getal M er een getal   0 is zodanig dat
xa
f ( x)  M wanneer 0 | x  a |  .
lim f ( x)  -  als voor elk negatief getal N er een getal   0 is zodanig dat
xa
f ( x)  N wanneer 0 | x  a |  .
Blz. 8 van 27
Uittreksel Analyse A
2.5
1
Continuïteit
Een functie f is continu bij een getal a als lim f ( x)  f (a) .
xa
Bij continuïteit wordt aan de volgende 3 voorwaarden voldaan:
1. f (a ) bestaat (oftewel: a is element van het domein van f )
2. lim f ( x ) bestaat
x a
3. lim f ( x)  f (a) .
xa
2
Simpeler gezegd: de lijn van de grafiek loopt door bij x  a .
Een functie f is continu van rechts bij een getal a als lim f ( x)  f (a ) .
xa
Een functie f is continu van links bij een getal a als lim f ( x)  f (a ) .
xa
3
Een functie f is continu op een interval als het continu is voor ieder getal in dit interval.
Als niet aan deze 3 voorwaarden wordt voldaan, is sprake van discontinuïteit.
Simpel gezegd: de lijn van de grafiek wordt onderbroken, je moet je pen van het papier
halen.
Specifieke vormen van discontinuïteit:
1. oneindige discontinuïteit (infinity): lim f ( x)    
xa
2. sprongdiscontinuïteit (jump): de grafiek springt van de ene functiewaarde naar de
andere.
Soms is de discontinuïteit ophefbaar door het functievoorschrift iets te wijzigen.
4
5, 6, 7
Als f en g continu zijn bij getal a dan zijn de volgende functies eveneens continu bij a :
1. f  g
2. f  g
3. cf
( c is een constante)
4. fg
5. f / g
als g (a )  0
Verder geldt:
a) Elke veelterm (polynomial) functie is continu op |R = (, )
P( x)  c n x n  c n 1 x n  ... c 1 x 1  c 0 .
b) Elke rationale functie is continu op het interval waarop het is gedefinieerd.
f ( x) 
P( x)
Q( x)
c) Wortelfuncties zijn continu op hun domein.
d) Goniometrische functies zijn continu op hun domein.
8
Als f continu is bij b en lim g ( x )  b , dan is lim f ( g ( x))  f (b) .
x b
x b
Met andere woorden: lim f ( g ( x))  f (lim g ( x))
x b
x b
Blz. 9 van 27
Uittreksel Analyse A
9
Als f continu is bij a en f is continu bij g (a ) , dan is de samengestelde functie f  g
gegeven door ( f  g )( x) = f ( g ( x)) continu bij a .
Oftwel: een continue functie van een continue functie is een continue functie.
10
Stel dat f continu is op het gesloten interval [ a, b] en dat N een willekeurig getal is
tussen f (a ) en f (b ) , waarbij f (a )  f (b ) . Dan bestaat er een getal c in interval
(a, b) zodanig dat f (c)  N . Middelwaardestelling (Intermediate value theorem).
2.6
1
Raaklijn, snelheid en andere verhoudingsgetallen
De raaklijn van een curve y  f (x) bij punt P  (a, f (a)) is de lijn door P met de
richtingscoëfficiënt m  lim
xa
2
f ( x)  f (a)
onder de conditie dat deze limiet bestaat.
xa
Als we de helling h van een snijlijn PQ willen berekenen x  a vervangen door h . De
richtingscoëfficiënt wordt dan m PQ  lim
h 0
3
f ( a  h)  f ( a )
.
h
Als we de snelheid v (a ) willen berekenen op t  a kunnen we dit via dezelfde formule
f ( a  h)  f ( a )
. Feitelijk betekent dit dat de snelheid van het
h 0
h
object overeenkomt met de helling van de curve op tijdstip t  a .
benaderen: v(a )  lim
4
Bij verhoudingsgetallen geldt:
y f ( x2 )  f ( x1 )
is de

x
x2  x1
gemiddelde veranderingssnelheid van y ten opzichte van x over het interval [ x1 , x2 ]
en kan geïnterpreteerd worden als de helling van de snijlijn PQ .
f ( x2 )  f ( x1 )
y
De veranderingssnelheid op een moment is dan lim
.
 lim
x 0 x
x2  x1
x2  x1
x  x2  x1 en y  f ( x2 )  f ( x1 ) . De verhouding is
Blz. 10 van 27
Uittreksel Analyse A
3. Afgeleide functies
3.1 Afgeleiden
2, 3
De afgeleide van een functie f in a , genoteerd als f ' (a) is
f ' (a)  lim
h 0
f ( a  h)  f ( a )
f ( x)  f (a)
 lim
als deze limiet bestaat.
xa
h
xa
Dit betekent dat de raaklijn op y  f (x) bij punt (a, f (a)) de lijn is door (a, f (a))
waarvan de richtingscoëfficiënt gelijk is aan f ' (a) , de afgeleide van f in a .
Als we de punthellingmanier van de vergelijking van een lijn gebruiken, kunnen we de
vergelijking van de raaklijn op de curve y  f (x) bij punt (a, f (a)) schrijven als:
y  f (a)  f ' (a)( x  a)
De afgeleide f ' (a) is tevens het wijzigingspercentage op enig moment van y  f (x)
f ( x2 )  f ( x1 )
y
 lim
x 0 x
x2  x1
x2  x1
ten opzichte van x wanneer x  a . f ' (a) = lim
Voorbeelden:
 snelheid als afgeleide van verplaatsing s ten opzichte van tijd t .
 toename productiekosten als afgeleide van kosten ten opzichte van aantal.
 toename staatsschuld als afgeleide van staatsschuld ten opzichte van jaartal.
Blz. 11 van 27
Uittreksel Analyse A
3.2 De afgeleide functie
2
Als we in de definitie van de afgeleide het getal a vervangen door de variabele x
ontstaat de volgende formule: f ' ( x)  lim
h 0
f ( x  h)  f ( x )
.
h
'
f ( x) wordt de afgeleide van f genoemd. Het domein van f ' is de verzameling
{x | f ' ( x) bestaat } en is kleiner of gelijk aan het domein van f .
Als functie f stijgt bij x , is de afgeleide f ' ( x) positief.
Als functie f horizontaal loopt bij x , is de afgeleide f ' ( x) nul.
Als functie f daalt bij x , is de afgeleide f ' ( x) negatief.
Als functie f een asymptoot heeft bij x , is de afgeleide f ' ( x)  of   .
Andere schrijfwijzen voor de afgeleide zijn:
dy
y df
d
 lim


f ( x)  Df ( x)  D x f ( x) .
dx x0 x dx dx
d
Hierin worden D en
differentiatie operatoren genoemd, omdat zij duiden op het
dx
f ' ( x)  y ' 
3
4
proces van differentiëren, het proces van het berekenen van de afgeleide.
Een functie f is differentieerbaar in a als f ' (a) bestaat.
Het is differentieerbaar op een open interval (a, b) [of (a, ), (, a), (, ) ] als het
differntieerbaar is voor ieder getal in het interval.
Als f differentieerbaar is bij a , dan is f continu bij a .
Bewijs
lim f ( x)  lim [ f ( x)  f (a)]  lim f (a) .
x a
x a
x a
f ( x)  f (a)
( x  a)  lim f ( x)  f (a) 
xa
xa
f ( x)  f ( a)
f ( x)  f ( a)
lim
( x  a)  lim
lim ( x  a)  f ' (a) * 0  0.
x a
x a
xa
xa
Nu geldt dat f ( x)  f (a) 
x a
Dus lim f ( x)  lim [ f ( x)  f (a)]  lim f (a)  f (a) .
x a
xa
x a
Omgekeerd hoeft niet te gelden dat als f continu bij a , f differentieerbaar is bij a !
Zie voorbeeld 6 op blz. 139.
In het algemeen geldt dat als een grafiek van f een hoek of een knik heeft bij a , de
grafiek geen raaklijn heeft bij a en dus niet differentieerbaar is voor a .
f ' (a) bestaat in dat geval dus niet.
Als f discontinu is bij a geldt altijd dat f niet differentieerbaar is voor a .
Ook als de grafiek van f verticaal loopt bij a is f niet differentieerbaar is voor a .
De richtingscoëfficiënt van een verticale lijn is immers niet gedefinieerd.
Zie figuur 8 op blz. 141.
Blz. 12 van 27
Uittreksel Analyse A
3.3 Regels voor differentiëren
d
(c )  0
dx
d
( x)  1
De afgeleide van x is gelijk aan 1:
dx
d n
( x )  nx n 1
De afgeleide van x n is gelijk aan nx n 1
dx
Deze algemene regel voor machtsfuncties geldt voor alle reële getallen n ,
1
1
dus ook voor negatieve getallen: f ( x )   x 1 dan is f ' ( x)  1x  2   2
x
x
1
1
1 
1
en voor wortels: f ( x)  x  x 2 dan is f ' ( x)  x 2 
2
2 x
De afgeleide van een constante c is gelijk aan 0:
1
2, 3
Afgeleide functies zijn samen te stellen met de volgende rekenregels:
( f en g zijn differentieerbaar, c is een constante)

Vermenigvuldiging met constante
d
d
[cf ( x)]  c
f ( x)
dx
dx
(cf ) '  cf '

Somregel
( f  g)'  f '  g '

Verschilregel
( f  g)'  f '  g '

d
d
d
[ f ( x)  g ( x)] 
f ( x) 
g ( x)
dx
dx
dx
Productregel
( fg ) '  fg '  gf '

d
d
d
[ f ( x)  g ( x)] 
f ( x) 
g ( x)
dx
dx
dx
d
d
d
[ f ( x) g ( x)]  f ( x) [ g ( x)]  g ( x) [ f ( x)]
dx
dx
dx
Quotiëntregel
f
gf  fg
( )' 
g
g2
'
'
d f ( x)
[
]
dx g ( x)
g ( x)
d
d
[ f ( x)]  f ( x) [ g ( x)]
dx
dx
2
[ g ( x)]
Deze rekenregels tonen aan dat iedere veeltermfunctie (polynoom) differentieerbaar is
in |R en iedere rationele functie differentieerbaar is in zijn domein.
Blz. 13 van 27
Uittreksel Analyse A
3.4 Het differentiëren in toepassingen
Toepassing
Snelheid
Dichtheid
Stroom
Reactiesnelheid
Samendruk
baarheid
Groeisnelheid
populatie
Doorvoersnelheid
ader
Marginale
kostprijs
Eenheid
afgelegde afstand per
tijdseenheid, bv.
meters per seconde
Interval
gemiddelde snelheid
massa per
inhoudseenheid, bv.
kg/kubieke meter
gemiddelde
dichtheid=
aantal passerende
deeltjes per tijdseenheid, bv. Couloms
per seconde = Amp.
aantal reagerende
moleculen per liter per
tijdseenheid
bv. (mol/l)/s
gemiddelde stroom =
stroom =
Q Q2  Q1

t
t 2  t1
Q f (t 2 )  f (t1 )

t 0 t
t 2  t1
gemiddelde
reactiesnelheid=
reactiesnelheid =
volume-verandering
bij bepaalde druk, bv.
kubieke meter per
kilopascal (m3/kP)
gemiddelde
samendrukbaarheid=
aantal per
tijdseenheid,
bv aantal per
seconde.
snelheid per diameter
van de ader
bv, (m/s)/mm
gemiddelde groei=
groeisnelheid =
n n2  n1

t
t 2  t1
n f (t 2 )  f (t1 )

t 0 t
t 2  t1
gemiddelde
doorvoersnelheid =
doorvoersnelheid =
prijs per productieeenheid
bv. €/stuk.
gemiddelde kostprijs=
kostprijs =
C C2  C1

x
x2  x1
C f ( x2 )  f ( x1 )

x 0 x
x2  x1
=
s s 2  s1

t t 2  t1
m m2  m1

x
x2  x1
C C2  C1

t
t 2  t1
v v2  v1

P P2  P1
v v2  v1

r r2  r1
Momentopname
snelheid =
s f (t 2 )  f (t1 )

t 0 t
t 2  t1
lim
dichtheid =
lim
x 0
m f ( x2 )  f ( x1 )

x
x2  x1
lim
lim
t 0
C f (t 2 )  f (t1 )

t
t 2  t1
samendrukbaarheid =
lim
x 0
f ( P2 )  f ( P1 )
v

P
P2  P1
lim
lim
r 0
v f (r2 )  f (r1 )

r
r2  r1
lim
Blz. 14 van 27
Uittreksel Analyse A
3.5 Goniometrische functies differentiëren
Allereerst een samenvatting van appendix D.
Bij goniometrische functies als sin x en cos x is de waarde van x steeds een getal.
Dit getal x komt overeen met de grootte van een hoek  uitgedrukt in radialen.
Een hoek  van  radialen komt overeen met 180o.
Omrekenen van radialen naar graden: vermenigvuldigen met
Omrekenen van graden naar radialen: vermenigvuldigen met
180


180
.
.
De boog van een cirkel is afhankelijk van de straal van de cirkel en de hoek: a  r .
De hoek is dus te berekenen met  
a
.
r
Hieruit volgt dat als hoek  1 rad groot is, de lengte van de boog gelijk is aan de straal.
In een rechthoekige driehoek is van een scherpe hoek  :
sin x = overstaande zijde gedeeld door schuine zijde
cos x = aanliggende zijde gedeeld door schuine zijde
tan x = overstaande zijde gedeeld door aanliggende zijde = sin x / cos x
csc x = cosecans = schuine zijde gedeeld door overstaande zijde= 1/ sin x
sec x = secans = schuine zijde gedeeld door aanliggende zijde= 1/ cos x
cot x = aanliggende zijde gedeeld door overstaande zijde = 1/ tan x = cos x / sin x .
Het domein van sin x en cos x is R . Het bereik is [-1,1]. tan x bestaat niet als cos x = 0,
dus het domein van tan x is { x  R | x  (n  0,5) | n  N } . Het bereik is (, ) .
Het domein van cot x is { x  R | x  n | n  N } , het bereik is (, ) .
Het domein van csc x is { x  R | x  n | n  N } , het bereik is (,1]  [1, ) .
Het domein van sec x is { x  R | x  (n  0,5) | n  N } , het bereik is (,1]  [1, ) .
Een hoek  kan in het coördinatenstelsel ingetekend worden door de aanliggende zijde
op de x-as te leggen en de schuine zijde tegen de klok in te tekenen.
(Een negatieve hoek   wordt met de wijzers van de klok mee getekend.)
De goniometrische functies hebben in ieder kwadrant in het coördinatenstelsel de
volgende tekens:
(II) S
(I) A
sin   0
sin   0
cos  0
cos  0
tan   0
tan   0
(III) T
(IV) C
cos  0
cos  0
tan   0
tan   0
sin   0
sin   0
De kwadranten worden van rechtsboven tegen de klok in genummerd: I, II, III, IV.
De tekens zijn met de volgende ezelsbruggetje te onthouden: All Students Take
Calculus. In kwadrant I is alles positief, in kwadrant II alleen de Sinus, in kwadrant III
alleen de Tangens en in kwadrant IV alleen de Cosinus.
Blz. 15 van 27
Uittreksel Analyse A
Vanuit de grafieken is direct af te lezen.
sin(  )   sin(  ) (oneven funtie) en cos(  )  cos( ) (even functie)
sin(   2 )  sin(  ) en cos(  2 )  cos( ) .
Belangrijke rekenregels in de goniometrie zijn:
 sin 2 x  cos 2 x  1.
 cos( x  y )  cos x cos y  sin x sin y
Leer deze rekenregels uit het hoofd. Alle overige rekenregels zijn hieruit af te leiden.
Enkele voorbeelden:
 cos( x  y )  cos( x  ( y ))  cos x cos(  y )  sin x sin(  y )  cos x cos y  sin x sin y .


cos 2 x  cos( x  x)  cos x cos x  sin x sin x  cos 2 x  sin 2 x  1  2 sin 2 x .




 

sin( x  y )  cos  ( x  y )   cos (  x)  y   cos(  x) cos y  sin(  x) sin y 
2
2
2

 2

sin x cos y  cos x sin y .
Aanvullende theorie in § 3.5:
De volgende rekenregels dienen toegepast te kunnen worden (zie vbld. 3, 4 en 5):
2, 3
lim
 0
lim
 0
sin 


sin 
1
1
lim
 0
lim
 0
cos 


cos 
 
0
4
Als f ( x)  sin x dan is f ' ( x)  cos x .
5
Als f ( x)  cos x dan is f ' ( x)   sin x .
6
Als f ( x)  tan x dan is f ' ( x) 
lim
 0
lim
 0
tan 


tan 
 1 (uit opgave 43)
1
1
= sec 2 x .
cos 2 x
1
Als f ( x)  cot x dan is f ' ( x) 
=  csc 2 x . (LET OP: in de studiewijzer is het
2
sin x
minteken weggevallen!).
Blz. 16 van 27
Uittreksel Analyse A
3.6 De kettingregel
Als f en g beide differentieerbaar zijn en functie F = f  g is de samengestelde
functie gedefinieerd door F ( x)  f ( g ( x)) , dan is F differentieerbaar.
1
De afgeleide functie F ' is gegeven door het product F '  ( f  g ) ' x  f ' ( g ( x)) g ' ( x) .
2
Anders genoteerd in Leibniz notatie: Als y  f (u ) en u  g (x) beide differentieerbaar
zijn, dan geldt dat
dy dy dy

.
dx du dx
Bij het toepassen van de kettingregel werken we steeds van buiten naar binnen:
de afgeleide van de buitenste functie f ' (u ) toegepast op de binnenste functie g (x )
vermenigvuldigd met de afgeleide van de binnenste functie g ' ( x) .
Enkele veel voorkomende toepassingen van de kettingregel:
 als f (u ) een sinusfunctie is, dan is F ' ( x) gelijk is aan cos g ( x) g ' ( x)

als f (u ) een machtsfunctie is, dan is F ' ( x) gelijk aan n[ g ( x)] n1 g ' ( x)
LET OP: bij het product van 2 samengestelde functies gaat de productregel voor de
kettingregel! Zie voorbeeld 6 op blz. 179.
3.7 Impliciet differentiëren
Bij expliciete functies is y gedefinieerd met een functievoorschrift
Bijvoorbeeld y  f (x) . Bij elke x -waarde hoort precies 1 y -waarde.
Bij impliciete functies is y gedefinieerd als een vergelijking met 2 of meer onbekenden.
Bijvoorbeeld x 2  y 2  25 . De punten ( x, y ) die voldoen aan deze vergelijking vormen
samen een kromme in het platte vlak.
Uit deze vergelijking zijn soms 1 of meer expliciete functievoorschriften af te leiden.
Bijvoorbeeld: y   25  x 2  25  x 2 of  25  x 2 .
Het expliciet maken van impliciete functies is soms een hele opgave, zoals blijkt uit het
voorbeeld van het folium van Descartes: x 3  y 3  6 xy . Gelukkig hoeven we
vergelijkingen niet expliciet te maken om de afgeleide van y te bepalen.
Hiervoor kunnen we gebruik maken van de methode van impliciet differentiëren.
De truc is om beide zijden van de vergelijking te differentiëren ten opzichte van x en
daarna de vergelijking op te lossen voor y ' . Voorwaarde is wel dat de vergelijking y
impliciet definieerd als een differentieerbare functie van x .
Twee grafieken worden orthogonaal (loodrecht) genoemd, als op ieder snijpunt hun
raaklijnen loodrecht op elkaar staan. Dit is het geval als de afgeleiden van beide
grafieken elkaars negatieve omgekeerde zijn. Voorbeeld:
Grafieken met xy  c voor c  0 (hyperbolen met asymptoten x -as en y -as) staan
orthogonaal op x 2  y 2  k voor k  0 (hyperbolen met asymptoten y   x ). Bewijs:
afgeleide van de eerste serie is 
y
y x
x
en van de tweede serie . En  * = -1.
x
x y
y
Blz. 17 van 27
Uittreksel Analyse A
3.8 Hogere afgeleiden
De tweede afgeleide is de afgeleide van de eerste afgeleide.
y ''  f '' ( x)  D 2 f ( x) 
d dy
d2y
( ) 2 .
dx dx
dx
Voorbeelden hiervan zijn:
 versnelling (m/s2) als afgeleide van snelheid (m/s) als afgeleide van positie (m)
Hogere afgeleiden worden meestal aangegeven met: y ( n )  f
(n)
( x)  D n f ( x) 
dny
.
dx n
Bij impliciet differentiëren dient eerst de eerste afgeleide berekend te worden.
Daarna de tweede berekenen. Hierin de eerste afgeleide te substitueren EN de
oorspronkelijke vergelijking. Zie voorbeeld 5 en opgave 29.
Soms ontstaat er een patroon in hogere afgeleiden. Zie voorbeelden 4 en 6.
Hierdoor kan een algemeen voorschrift opgesteld worden voor y (n ) .
3.9 Snelheden die samenhangen
Wanneer 2 functies beide afhankelijk zijn van de tijd, zijn ze indirect afhankelijk van
elkaar. Door een vergelijking op te stellen van het verband van deze functies en deze
vergelijking te differentiëren, kunnen we rekenen met deze afhankelijkheid.
De te volgen stappen:
1. Lees het probleem zorgvuldig
2. Visualiseer het probleem zo mogelijk.
3. Introduceer symbolen voor een notatie.
4. Geef de bekende en de gevraagde informatie weer in de gekozen notatie.
5. Stel een vergelijking op dat het verband tussen beide functies weergeeft.
6. Gebruik de kettingregel om beide zijden van de vergelijking te differentiëren.
7. Vul in de verkregen vergelijking de bekende informatie in en bereken de
onbekende.
3.10
Lineaire benaderingen en differentialen
Als x in de buurt ligt van a dan nadert de grafiek van f (x ) de raaklijn bij x  a . Dus:
f ( x)  f (a)  f ' (a)( x  a)  L( x) .
L (x ) wordt de lineaire benadering of raaklijnbenadering van f bij a genoemd.
Het betrouwbaarheidsinterval voor een gegeven d kunnen we berekenen met:
f ( x )  d < f ( x)  L( x) < f ( x)  d .
De differentiaal dx = geschatte verandering van y :
dy  f ' ( x)dx . De werkelijke verandering van y is: y  f ( x  x)  f ( x) .
Blz. 18 van 27
Uittreksel Analyse A
4. Functies onderzoeken
4.1 Maxima en minima
Eén van de belangrijkste toepassingen van differentiëren zijn
optimalisatievraagstukken. Dit komt neer op het zoeken naar de minimum- en
maximumwaarden van een (afgeleide) functie.
1
Een functie f heeft een absoluut maximum (of een globaal maximum) bij c als
f (c)  f ( x) voor alle x in domein D .
f (c ) wordt de maximale waarde van f in D genoemd.
Een functie f heeft een absoluut minimum (of een globaal minimum) bij c als
f (c)  f ( x) voor alle x in domein D .
f (c ) wordt de minimale waarde van f in D genoemd.
Maximale en minimale waarden van f worden de extreme waarden van f genoemd.
2
Een functie f heeft een lokaal maximum (of relatief maximum) bij c als
f (c)  f ( x) als x in de buurt ligt van c .
Dit betekent dat f (c)  f ( x) voor alle x in een bepaald open interval dat c bevat.
Een functie f heeft een lokaal minimum (of relatief minimum) bij c als f (c)  f ( x)
als x in de buurt ligt van c .
3
De extreme waarden theorie: Als f continu is op een gesloten interval [ a, b] dan
verkrijgt f een absolute maximum waarde f (c ) en een absolute minimum waarde
f (d ) bij sommige waarden c en d in [a, b] .
4
Fermat's theorie: ALS f een lokaal maximum of minimum heeft bij c EN als
7
f ' (c) bestaat, DAN geldt dat f ' (c)  0 .
In andere woorden: als f een lokaal maximum of minimum heeft bij c , is c een kritiek
getal van f .
Let op: het omgekeerde geldt niet! Als f ' (c)  0 betekent dit niet altijd dat f een
lokaal maximum of minimum heeft bij c . Ook kan het voorkomen dat f een lokaal
maximum of minimum heeft bij c , terwijl f ' (c) niet bestaat.
Fermat's theorie brengt ons alleen op het spoor van kritieke punten van de functie f
waar zich een lokaal maximum of minimum KAN bevinden.
6
Een kritiek punt van de functie f is een getal c in het domein van f zodanig dat
f ' (c)  0 of dat f ' (c) niet bestaat.
De gesloten interval methode om de absolute maximum- en minimumwaarden van
een continue functie f te vinden op een gesloten interval [ a, b] :
1. Zoek de waarden van f bij de kritieke punten van f in [ a, b] .
2. Zoek de waarden van f bij de eindpunten van het interval.
3. Bepaal de hoogst gevonden waarde van stap 1 en 2: dit is het absolute maximum;
de laagst gevonden waarde is het absolute minimum.
Blz. 19 van 27
Uittreksel Analyse A
4.2 De middelwaardestelling
Rolle's theorie
Als gegeven is dat f een functie is die aan de volgende voorwaarden voldoet:
1. f is continu op het gesloten interval [ a, b] .
2. f is differentieerbaar op het open interval (a, b) .
3. f (a )  f (b)
Dan is er een getal c in interval (a, b) zodanig dat f ' (c)  0 .
Rolle's theorie zegt feitelijk dat als f (a )  f (b) er ergens een getal c in het interval
(a, b) moet zijn, waarbij de grafiek een lokaal maximum of lokaal minium bereikt.
Middelwaardestelling
Als f een functie is die aan de volgende voorwaarden voldoet:
1. f is continu op het gesloten interval [ a, b] .
2. f is differentieerbaar op het open interval (a, b) .
Dan is er een getal c in interval (a, b) zodanig dat
1, 2
f ' (c ) 
f (b)  f (a )
ba
oftewel:
f (b)  f (a)  f ' (c)(b  a)
De middelwaardesteling gaat nog een stapje verder en zegt dat er een getal c in het
interval (a, b) is waarvan de raaklijn evenwijdig loopt aan de lijn door de punten
(a, f (a)) en (b, f (b)) .
Met behulp van de middelwaardestelling kunnen we informatie verkrijgen over het
gedrag van een functie met behulp van zijn afgeleide. Twee voorbeelden:
5
Als f ' ( x)  0 voor alle x in het interval (a, b) dan is f constant op (a, b) .
7
Als f ' ( x)  g ' ( x) voor alle x in het interval (a, b) dan is f  g constant op (a, b) ,
oftewel f ( x)  g ( x)  c waarbij c een constante is.
Blz. 20 van 27
Uittreksel Analyse A
4.3 Hoe afgeleiden samenhangen met de vorm van een grafiek
I/D Test = Increasing/Decreasing Test
Als f ' ( x)  0 op een interval, dan stijgt f op dit interval.
Als f ' ( x)  0 op een interval, dan daalt f op dit interval.
Omdat niet ieder kritiek getal correspondeert met een lokaal minimum of maximum,
gebruiken we de eerste afgeleide test:
Stel dat c een kritiek getal is van de continue functie f .

als f ' wijzigt van positief naar negatief bij c heeft f een lokaal maximum bij c .

als f ' wijzigt van negatief naar positief bij c heeft f een lokaal minimum bij c .

als f ' niet wijzigt van teken bij c heeft f geen lokaal minimum of maximum bij c .
In praktijk is het handig om een tabel op te stellen met:
interval van ene naar andere kritieke punt
teken van f ' op dit interval
Met behulp van deze tabel is snel af te lezen of er sprake is van een lokaal minimum of
maximum. Een grafische weergave van f kan de conclusies bevestigen.
Concaaf
Als een grafiek op een interval boven zijn raaklijnen ligt, dan spreken we over
"concaaf naar boven" = hol van boven
(CU = Concave Upward).
Als een grafiek op een interval onder zijn raaklijnen ligt, dan spreken we over
"concaaf naar beneden" = hol naar beneden
(CD = Concave Downward).
Concaaftest
Als f '' ( x)  0 voor alle x in interval I is de grafiek van f concaaf naar boven.
Als f '' ( x)  0 voor alle x in interval I is de grafiek van f concaaf naar beneden.
Buigpunt
Een punt P op de grafiek f (x ) is een buigpunt als f daar continu is en de grafiek
wijzigt van concaaf naar boven naar concaaf naar beneden of omgekeerd.
NB. Als een grafiek op punt P een raaklijn heeft, dan kruist de grafiek hier zijn raaklijn.
Met andere woorden: overal waar de tweede afgeleide van teken wisselt, is er sprake
van een buigpunt.
Buigpunten kun je meestal vinden als f '' ( x)  0 , maar kunnen ook optreden bij
verticale raaklijnen in een grafiek (NB. Hier bestaan de 1e en 2e afgeleide niet!).
De tweede afgeleide test
Als f ' ( x)  0 en f '' ( x)  0 dan heeft f een lokaal minimum bij c .
Als f ' ( x)  0 en f '' ( x)  0 dan heeft f een lokaal maximum bij c .
LET OP: als f ' ( x)  0 EN f '' ( x)  0 is er geen uitspraak te doen over het gedrag van
de grafiek!
Blz. 21 van 27
Uittreksel Analyse A
4.4 Asymptoten
1
Als f een functie is die gedefinieerd is op een interval (a, ) dan betekent
lim f ( x)  L dat het onderscheid tussen de waarden van f (x) en L verwaarloosbaar
x 
wordt als we x groot genoeg nemen.
lim f ( x)  L wordt ook wel geschreven als f ( x)  L als x   .
x 
2
Evenzo geldt dat als f een functie is die gedefinieerd is op een interval ( , a ) dan
betekent lim f ( x)  L dat het onderscheid tussen de waarden van f (x ) en L
x  
verwaarloosbaar wordt als we x groot genoeg nemen in het negatieve.
3
De lijn y  L een horizontale asymptoot als lim f ( x )  L of als lim f ( x)  L .
x 
x  
De lijn x  a  L een verticale asymptoot als lim f ( x)   .
x a
De rekenregels voor limieten uit § 2.3 gelden bijna allemaal ook voor horizontale
limieten (behalve regel 9 en 10 over machten). Vervang steeds lim door lim .
x a
x
De volgende regel is belangrijk bij het rekenen aan limieten:
Als r  0 een rationeel getal is, dan geldt dat lim
x 
1
 0.
xr
Als r  0 een rationeel getal is zodanig dat x r gedefinieerd is voor alle x , dan geldt
1
 0.
x   x r
dat lim
In voorbeeld 3 op blz. 253 zien we hiervan een belangrijke toepassing.
Bij het berekenen van een asymptoot van een rationeel functie kunnen we de teller en
noemer delen door de hoogste macht in de noemer en vervolgens de afzonderlijke
limieten berekenen.
5
Tot slot enkele exacte definities van limieten.
Als f een functie is die gedefinieerd is op een interval (a, ) dan betekent
lim f ( x)  L dat voor elke   0 er een overeenkomstig getal N te vinden is
x 
waarvoor geldt dat | f ( x)  L |  als x  N .
6
Als f een functie is die gedefinieerd is op een interval ( , a ) dan betekent
lim f ( x)  L dat voor elke   0 er een overeenkomstig getal N te vinden is
x  
waarvoor geldt dat | f ( x)  L |  als x  N .
7
Als f een functie is die gedefinieerd is op een interval (a, ) dan betekent
lim f ( x)   dat voor elk positief getal M er een overeenkomstig getal N te vinden is
x 
waarvoor geldt dat f ( x)  M als x  N .
Blz. 22 van 27
Uittreksel Analyse A
4.5 Tekenen van grafieken
De volgende richtlijnen zijn van belang bij het tekenen van een grafiek:
A. Bepaal het domein van de functie.
B. Bepaal waar de grafiek de y -as snijdt. Neem waarde x  0 in de vergelijking.
Bepaal waar de grafiek de x -as snijdt. Neem waarde y  0 in de vergelijking.
C. Onderzoek eventuele symmetrie. Drie soorten:
 even functie: gespiegeld in de y -as.
 oneven functie: gespiegeld in de oorsprong cq. 180o roteren om oorsprong.
 periodieke functie: patroon dat zich steeds herhaald.
D. Onderzoek eventuele asymptoten.Drie soorten:
 horizontale asymptoten: lim f ( x)  L
x  

verticale asymptoten: lim f ( x)  

scheve asymptoten: lim [ f ( x)  (mx  b)]  0 .
x a
x  
Treedt op als de macht van de teller 1 hoger is dan de macht van de noemer.
E. Bepaal de intervallen van stijgen en dalen (I/D Test): het teken van f ' ( x) .
F. Bepaal de lokale minima en maxima. Zoek kritieke getallen waarvoor de afgeleide
niet bestaat of f ' ( x)  0 .
Als f ' ( x) hier wijzigt van teken, is er sprake van een minimum (    ) of
maximum (    )= Eerste Afgeleide Test.
Verifieer het resultaat eventueel met de Tweede Afgeleide Test: is f '' ( x)  0 dan is
er sprake van een minimum, is f '' ( x)  0 dan een maximum.
G. Bepaal concaviteit en buigpunten met behulp van de Concaviteit Test.
Bij f '' ( x)  0 is de grafiek concaaf naar boven, bij f '' ( x)  0 concaaf naar
beneden.
H. Teken de grafiek. Teken asymptoten als stippellijnen. Bereken eventueel
aanvullende punten van de grafiek en/of raaklijnen.
Scheve asymptoten lim [ f ( x)  (mx  b)]  0 .
x  
Treedt op als de macht van de teller 1 hoger is dan de macht van de noemer.
Bepalen van de vergelijking (mx  b) met behulp van een scheve staartdeling.
We delen de teller door de factor + macht waarmee de teller groter is dan de noemer.
In het voorbeeld van de studieplanner: 5 x 4 / x 3  5 x .
De factor wordt de richtingscoëfficiënt m van de scheve asymptoot.
De rest van de staartdeling blijft in de teller staan en de ontstane breuk wordt van de
1
 0.
x  x r
uitkomst afgetrokken. Deze rest wordt berekend volgens lim
Hoe in de vergelijking de waarde van b bepaald kan worden, is mij nog niet duidelijk.
4.6 Plotten van grafieken
In § 4.5 hebben we grafieken getekend nadat we allerlei berekeningen hadden
uitgevoerd. In deze paragraaf vindt een voortdurende interactie plaats tussen het
plotten van grafieken met de calculator en het uitvoeren van berekeningen.
Gebruik algemene kennis over de vorm van de grafiek bij het instellen van het venster.
Let op inzoomen voor details!
Blz. 23 van 27
Uittreksel Analyse A
4.7 Optimaliseren
De 6 stappen bij het oplossen van optimaliseringsvraagstukken:
1. Begrijp het probleem:
Wat is gegeven? Wat is de vraagstelling? Wat is de onbekende?
2. Schets een grafiek.
3. Geef de variabelen een naam (letter).
4. Stel een vergelijking op voor de onbekende variabele.
5. Als een functie met meer dan 1 variabele ontstaat, zoek dan naar relaties tussen
deze variabelen in de vorm van vergelijkingen.
Gebruik deze vergelijkingen om 1 of meer variabelen uit het functievoorschrift te
elimineren, totdat een functie onstaat met slechts 1 variabele x , nl. y  f (x) .
Stel het domein van deze functie vast.
6. Gebruik de methoden in § 4.1 en § 4.3 om het absolute maximum of minimum te
vinden van f .
We kunnen de Eerste Afgeleide Test uitbreiden voor absolute waarden:
a) Als f ' ( x)  0 voor alle x  c en f ' ( x)  0 voor alle x  c dan is f (c ) het
absolute maximum van f .
b) Als f ' ( x)  0 voor alle x  c en f ' ( x)  0 voor alle x  c dan is f (c ) het
absolute minimum van f .
Een belangrijke afgeleide formule in voorbeeld 3:
De afstand tussen twee punten in het coördinatenstelsel is volgens de stelling van
Pythagoras: d  ( x  x1 ) 2  ( y  y1 ) 2  d 2  ( x  x1 ) 2  ( y  y1 ) 2 .
4.8 Toepassingen in de bedrijfseconomie
Als C (x ) de kostenfunctie is = kosten om x eenheden te fabriceren, dan is C ' ( x) de
marginalekostenfunctie = kostentoename bij een bepaalde waarde van x = bij
benadering de kosten voor het fabriceren van 1 extra x .
De gemiddeldekostenfunctie = c ( x ) 
C ( x)
= kosten per eenheid bij x units. Dit komt
x
overeen met de functie die alle richtingscoëfficiënten van lijnen die de oorsprong met de
grafiek C (x ) verbinden in x .
De afgeleide van c (x ) is
xC( x)  C ( x)
. Als deze gelijk is aan 0, dan geldt dat
x2
C ( x)
 c( x) . Dit betekent dat de gemiddelde kosten het laagst zijn, als de
x
marginale kosten C ' ( x) gelijk is aan de gemiddelde kosten c (x )
C ' ( x) 
ALTERNATIEF: bereken waar de grafiek van de gemiddeldekosten zijn minimum heeft
door te kijken waar c ' ( x)  0 .
Als p (x ) de prijsfunctie is, dan is de opbrengstenfunctie R( x)  xp( x) en R ' ( x) de
marginale opbrengstenfunctie = opbrengsttoename bij een bepaalde waarde van x
 (bij benadering) de opbrengst voor het verkopen van 1 extra x .
De winst is P( x)  R( x)  C ( x) . De marginale winst is P ' ( x)  R ' ( x)  C ' ( x) . Deze is
het hoogst als P ' ( x)  R ' ( x)  C ' ( x)  0 en dus als R ' ( x)  C ' ( x) . In woorden: de
winst is maximaal als de marginale opbrengst gelijk is aan de marginale kostprijs.
Blz. 24 van 27
Uittreksel Analyse A
4.9 Nulpunten en een methode van Newton
Nulpunten berekenen in vergelijkingen met hoge machten is een crime. Voor een
tweedegraadsvergelijking bestaat een kwadratenmethode. Ook voor de derde- en
vierdegraads vergelijkingen zijn ingewikkelde oplossingsmethodes beschikbaar.
Daarboven lukt het niet meer om handmatig een oplossing te vinden.
In deze gevallen kunnen we de methode van Newton toepassen, een methode die door
veel calculators wordt toegepast bij het vinden van oplossingen voor
veeltermvergelijkingen als: y  a n x n  a n 1 x n 1  ...  a 1 x 1  a 0  0 .
De centrale gedachte achter de methode van Newton is, dat de raaklijn van een punt
van de grafiek bij x1 de x -as snijdt tussen het te zoeken nulpunt en x1 zelf. Dit nieuwe
punt x 2 kunnen we dan gebruiken om dit proces iteratief te herhalen.
y  f ( x1 )  f ' ( x1 )( x  x1 ) . Omdat de y-waarde nul is en we het snijpunt met de x -as
x 2 noemen, kunnen we deze vergelijking omschrijven naar: 0  f ( x1 )  f ' ( x1 )( x2  x1 )
f (x )
lim x n  nulpunt .
daaruit volgt: xn 1  xn  ' n
en
n 
f ( xn )
Algemene afspraak is dat we stoppen zodra de verschillen tussen x n en x n 1 tot op
8 decimalen gelijk zijn.
Soms faalt deze methode, bijvoorbeeld als de beginwaarde te ver bij het nulpunt
vandaan wordt gekozen.
4.10
Primitieve functies
1
Een functie F (x ) is een primitieve functie van f (x ) op een interval als F ' ( x) = f (x )
voor alle x op dit interval.
2
Als F (x ) een primitieve functie is van f (x ) op een interval dan geldt dat de algemene
formule voor de primitieve functies van f (x ) gelijk is aan F ( x )  C , waarbij C een
willekeurige constante is.
Soms is een punt van f (x ) gegeven, waaruit de werkelijke waarde van C kan worden
afgeleid.
Als we van F (x ) alleen de afgeleide f (x ) weten, kunnen we lijnelementen van f (x )
gebruiken om de richtingscoëfficiënt te bepalen bij waarden van x uit F (x ) .
Deze lijnelementen = aanduidingen van de richtingscoëfficiënt worden repeterend
onder elkaar getekend bij elke bijbehorende van x . Zo ontstaat een lijnenraster, waarin
de vorm van de grafiek F (x ) zichtbaar wordt.
Zodra we een beginwaarde weten van F (x ) , kunnen we de grafiek van F (x ) tekenen
door de richting van de lijnelementen te volgen.
Blz. 25 van 27
Uittreksel Analyse A
Gebruik van de TI-89 bij Analyse A
Plotten van grafieken (§ 1.4)
Op bladzijde 1.5 van de studiewijzer staat een verhaaltje over het plotten van grafieken
op de TI-89. Samengevat en aangevuld:
1. Invoeren van functievoorschriften doe je bij Y=.
Het eerste voorschrift invoeren bij Y1, het tweede bij Y2 enzovoort.
(Voorschriften waar je geen grafiek van wilt kun je uit/aanzetten door erop te gaan
staan en op F4 te drukken.)
2. Plotten van de grafiek met F2, 6 of  GRAPH (beide groen)
3. Instellen van het assenstelsel met  WINDOW. Alternatief: in- of uitzoomen met F2,
optie 2 of 3. Bevestig de keuze met ENTER.
4. Een waarde bepalen doe je met F3 (Trace). Met de naarlinks/naarrechts cursortoets
kun je over de grafiek "wandelen". De coördinaten verschijnen onder in beeld. Met
de omhoog/omlaag cursortoets kun je switchen tussen de grafieken.
5. Met F5 kun je aan de grafiek rekenen. Bijvoorbeeld minimum, maximum of
snijpunten op een bepaald interval.
Tabel met waarden (§ 2.2)
Nog een handig tooltje is het berekenen van een tabel met waarden bij een
functievoorschrift.
1. Voer het functievoorschrift in bij Y=.
2. Druk op  TblSet. Voer de startwaarde en stapgrootte in. Bevestig de invoer met
ENTER, ENTER.
3. Druk op  TABLE. Op het scherm verschijnt een tabel met functiewaarden.
Limiet berekenen (§ 2.2)
Met de functie LIMIT(), te vinden onder F3,3 kun je een limiet berekenen.
Voorbeelden:
limit(x^2,x,0) geeft de limiet voor x0. Dit is 0.
limit(1/x,x,0,1) geeft de limiet voor x0+. Dit is oneindig.
limit(1/x,x,0,-1) geeft de limiet voor x0-. Dit is min oneindig.
Standaard functies en instellingen (§ 2.5)
In deze paragraaf wordt de functie INT() gebruikt. Deze is niet te vinden via MATH,
Number, wel via CATALOG + beginletter (in dit geval de i).
Via MODE kun je allerlei standaard instellingen bekijken en eventueel aanpassen.
Enkele belangrijke instellingen:
 Angle
instellen op Radian (zie § 3.5).
 Pretty print
instellen op ON. Geeft functies weer zoals je ze schrijft.
 Exact/Approx
instellen op AUTO. Geeft de uitkomst zoveel mogelijk als
formule weer. Wil je toch een benadering van de uitkomst,
type dan een punt (.) achter een cijfer in de formule.
Differentiëren (§ 3.3)
Bij F3 staat als eerste optie d ( differentiate. Druk op ENTER.
Voer het functievoorschrift in. Kopieer en plak dit voorschrift eventueel vanuit Y= met de
Tools onder F1 of door het gebruik van ANS. Voer een komma in + de naam van de
variabele van de functie (meestal x ). Sluit af met een ).
TIP: kopieer en plak de uitkomst naar het eerstvolgende lege functievoorschrift bij Y=.
Zo krijg je de grafiek van de functie en zijn afgeleide in venster te zien.
Blz. 26 van 27
Uittreksel Analyse A
Impliciet differentiëren (§ 3.7)
Op blz. 5.1 staat onderaan dat hierover in het Guidebook meer te vinden is. Ik heb het
echter nog niet kunnen vinden. Ook navraag bij de docent heeft niets opgeleverd.
Ik houd mij aanbevolen voor aanwijzingen hoe je dit op de TI-89 kunt doen.
Goniometrische functies (§3.5)
LET OP: Bereken de csc x , sec x of cot x met:
1
1
1
,
en
.
tan x
sin x cos x
Gebruik NIET de functies sin 1 , cos 1 , tan 1 ! Deze zijn voor de boogsinus, -cosinus en tangens. Zie § 7.5.
Minimum en maximum berekenen (§4.1)
Met de functies FMIN en FMAX kun je de minimum en maximum functiewaarde
berekenen. Te vinden onder F3.
Voorbeeld: fMin((x-4)^2,x) geeft x=4.
Oplossen van vergelijkingen (§4.9)
Met behulp van de functie SOLVE kun je vergelijkingen oplossen. Deze functie vind je
onder F2 (Algebra).
Voorbeeld: Solve(4x^4-x^3=3,x) levert als uitkomsten x=1 en x=-0,874.
Soms past het antwoord niet op het scherm. Ga met de cursor op het antwoord staan
en gebruik de rechtercursortoets om alle gevonden oplossingen te bekijken.
Ongelijkheidstekens als < en  kun je invoeren met CHAR (2nd [+]).
Werken met uitdrukkingen
Soms is de uitkomst van een differentiaalberekening een ingewikkelde uitdrukking, die
verder vereenvoudigd kan worden door het onder 1 noemer te brengen. Dit kun je doen
met de functie comDenom. Voorbeeld:
comDenom ( 2 
2
2( x  2)  2 2 x  4  2 2 x  2


) 
.
x2
x2
x2
x2
Dit antwoord kun je nog verder ontbinden in factoren met de functie factor:
factor(
2 x  2 2( x  1)
)=
. Dit is vooral handig voor het vinden van nulpunten.
x2
x2
In sommige gevallen is het handig om een uitdrukking volledig uit te werken met de
functie expand. Voorbeeld:
expand ( x  1) 3  x 3  3x 2  3x  1
en
x2  x 1
1

x
x 1
x 1
Bij logaritmische kun je handig gebruik maken van de functies tExpand en tCollect.
Deze zitten onder F2, onderaan in submenu Trig (van trigonometrie).
tExpand(sin(x+y)) geeft bijvoorbeeld cos(x)sin(y) + sin(x)cos(y).
tCollect(1 – 2(sin(x))^2) doet het omgekeerde, dit geeft cos(2x).
Overige tips
Bij het tekenen van grafieken heb je niets aan uitdrukkingen als 5 3 .
De waarde van een uitdrukking kun je benaderen met de toets , gevolgd door ENTER
of door gebruik van het commando approx (zit ook onder F2).
Blz. 27 van 27