woord vooraf

UITWERKING
EXP EN LOG FUNCTIES
1.
MACHTEN & WORTELS.
1.1 machten
Opgave 1.
Bereken de volgende machten:
a.
34
b.
33
c.
32
d.
31
e.
30
f.
3-1
g.
3-2
h.
3-3
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
81
27
9
3
1
1/3
1/9
1/27
Opgave 2.
Bereken de volgende machten:
a.
32
b.
73
c.
52
d.
31
e.
60
f.
2-1
g.
4-2
h.
5-3
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
9
343
25
3
1
½
1/16
1/125
25
24
23
22
21
20
2-1
2-2
32
16
8
4
2
1
½
1/4
23
37
25
13
06
20
12-1
11-2
8
2187
32
1
0
1
1/12
1/121
PAGINA 1
417.07
UITWERKING
EXP EN LOG FUNCTIES
417.07
Opgave 3.
Schrijf de volgende termen zonder haakjes, of maak indien mogelijk van meerdere termen
er een:
a.
(a3)5= a15
(2a7)5= 32a35
b.
(b4)-2= b-8
(a3)4= a12
c.
(p6)2= p12
(2a7)0= 1
-1
d.
(a )= 1/a
(4a0)5= 1
e.
(a11)3= a33
(a12)2=a24
3 2
6
f.
(2a ) = 4a
(a5)3=a15
g.
(4a5)2= 16a10
(-a2)5= -a10
3 5
15
5 2
h.
(-2a ) = -32a
(-4a ) = 16a10
i.
a5· a2 = a7
2a3 · 3a2 = 6a5
3
5
8
j.
a ·a =a
7a4 ·5a2 = 35a6
k.
a1· a9 = a10
-a3 · 5a11 = -5a14
2
7
9
l.
a ·a =a
2a3 · 7a8 = 14a11
m.
a7 + a7 = 2a7
2a38 + 7a38 = 9a38
2
2
2
n.
a + a = 2a
2a3 + 7a8 = gaat niet
o.
3a2+ 7a2 = 10a2
2a8 -7a8 = -5a8
p.
11a7-7a7 = 4a7
2a3 -7a3 = -5a3
21
21
q.
a -a =0
2a3 - 7a8 = gaat niet
r.
a21 :a7 = a14
42a30 : 7a8 = 6a22
28 7
21
s.
a :a = a
21a31 : 7a8 = 3a23
t.
a210 :a7 =a203
28a12 : 7a8 = 4a4
PAGINA 2
UITWERKING
EXP EN LOG FUNCTIES
1.2 wortels
Opgave 4.
Bereken:
a.
641/6 =2
b.
31/2
=1,7320508
c.
161/2 =4
d.
161/4 =2
e.
1211/2 =11
f.
641/2 =8
g.
641/3 =4
h.
641/6 =2
i.
10001/3 =10
j.
(a12 )1/2 =a6
k.
(a20 )1/4 =a5
Opgave 5.
Bereken de volgende machten:
a.
134
=28561
b.
3431/3 =7
c.
251/2 =5
d.
61/2
=6
e.
811/4 =3
f.
3-1
=1/3
g.
11-2 =1/121
12-1
h.
2-3
=1/8
3-2
2-4
7-1
510
113
1281/7
=1/12
2-5
=1/9
=1/16
=1/7
=1
=1331
=2
=1/32
PAGINA 3
417.07
UITWERKING
EXP EN LOG FUNCTIES
417.07
1.3 vergelijkingen
Opgave 6.
Los op:
a.
32x-5
2x-5
2x
x
=9
=2
=7
=7/2
{7/2}.
112x-1
2x-1
2x
x
= 121
=2
=3
=3/2
{3/2}.
b.
32-x
2-x
-x
x
=3
=1
=-1
=1
{1}.
112-x
2-x
-x
x
=1
=0
=-2
=2
{2}.
c.
3x+1
x+1
x
= 27
=3
=2
114x-5 -1= 120
4x-5 =2
4x
=7
x
=7/4
{7/4}.
{2}.
d.
32x-1
2x-1
2x
x
=
= -1
=0
=0
{0}.
63x-1
3x-1
3x
x
=1
=0
=1
=1/3
{1/3}.
e.
52x-5
2x-5
2x
x
= 25
=2
=7
=7/2
{7/2}.
102x-1
2x-1
2x
x
= 100
=2
=3
=3/2
{3/2}.
f.
52x-3
2x-3
2x
x
= 125
=3
=6
=3
{3}.
102-3x
2-3x
-3x
x
=1
=0
=-2
=2/3
{2/3}.
PAGINA 4
UITWERKING
6g.
h.
EXP EN LOG FUNCTIES
73x+25
3x+25
3x
x
= 49
=2
=-23
=-23/3
{-23/3}.
34x-5
4x-5
4x
x
=1
=0
=5
= 5/4
{5/4}.
x
417.07
102-x-99=1
2-x
=2
-x
=0
=0
{0}.
32x-5 -1 = 0
2x-5 =0
2x
=5
x
=5/2
{5/2}.
PAGINA 5
UITWERKING
Opgave 7.
Los op:
a.
52x-3
2x-3
2x-3
-x
x
EXP EN LOG FUNCTIES
= 125x-1
= 3(x-1)
= 3x-3
=0
=0
{0}.
b.
3x-1
x-1
x-1
-5x
x
= 93x-2
= 2(3x-2)
= 6x-4
=-3
=3/5
{3/5}.
c.
3x+4
x+4
x+4
2x
x
= ()x-2
=-1(x-2)
= -x+2
= -2
= -1
{-1}.
d.
42x-2 = 2x-5
2(2x-2)= x-5
4x-4 = x-5
3x
=-1
x
=-1/3
{-1/3}.
e.
8x-3
3(x-3)
3x-9
2x
x
f.
162x+5 = 22x-12
4(2x+5)=2x-12
8x+20 = 2x-12
6x
= -32
x
= -32/6
{-32/6}.
x+3
32
= 22x-1
5(x+3)= 2x-1
7g.
= 2x-3
= x-3
= x-3
=6
=3
{3}.
PAGINA 6
417.07
UITWERKING
EXP EN LOG FUNCTIES
5x+15= 2x-1
3x
=-16
x
=-16/3
{-16/3}.
h.
25x-2
2(x-2)
2x-4
0x
leeg.
= 52x-1
= 2x-1
= 2x-1
=3
i.
112x+5
2x+5
2x+5
-2x
x
= 1212x-3
= 2(2x-3)
= 4x-6
=-11
=11/2
{11/2}.
j.
642x+5 = 8x-3
2(2x+5)=(x-3)
4x+10= x-3
3x
=-13
x
=-13/3
{-13/3}.
k.
162x+5 = 82x-12
4(2x+5)= 3(2x-12)
8x+20 = 6x-36
2x
=-56
x
=-28
{-28}.
l.
162x+5 = 322x-12
4(2x+5)=5(2x-12)
8x+20 = 10x-60
-2x
=-80
x
=40
{40}.
PAGINA 7
417.07
UITWERKING
m.
92x+5 = 272x-1
2(2x+5)= 3(2x-1)
4x+10 = 6x-3
-2x
=-13
x
=13/2
{13/2}.
n.
82x+5 = (½)x-1
3(2x+5)= -1(x-1)
6x+15 = -1x+1
7x
=-14
x
=-2
{-2}.
o.
162x+5 = (½)x-12
4(2x+5)=-1(x-12)
8x+20 = -1x+12
9x
=-8
x
=-8/9
{-8/9}.
EXP EN LOG FUNCTIES
PAGINA 8
417.07
UITWERKING
EXP EN LOG FUNCTIES
2. Exponentiële functies
2.1 de grafiek van een exponentiële functie
Opgave 8.
Teken
a.
b.
c.
d.
de grafiek van:
f(x) = 2 4-x - 4
Vermeld daarbij de vergelijking van de asymptoot.
Bereken de ligging van het nulpunt.
Maak een uitgebreide tabel.
Noteer het bereik van de functie f(x).
a.
b.
c.
y=-4
(2,0)
x -2
d.
-1
0
1
2
3
4
5
6
y 60 28
12
4
0
-2
-3
-3½
-3¾
<-4, >.
Opgave 9.
Teken de grafiek van:
f(x) = 2 2-2x - 2
a.
b.
c.
d.
Vermeld daarbij de vergelijking van de asymptoot.
Bereken de ligging van het nulpunt.
Maak een uitgebreide tabel.
Noteer het bereik van de functie f(x).
a.
b.
c.
y=-2
(1/2,0)
x -2
d.
-1
0
1
2
3
y 30 14
2
-1
-1¾
-1,9375
<-2, >.
PAGINA 9
417.07
UITWERKING
EXP EN LOG FUNCTIES
417.07
Opgave 10.
f(x) = 2 2-x - 1
Teken de grafiek van:
a.
b.
c.
d.
Vermeld daarbij de vergelijking van de asymptoot.
Bereken de ligging van het nulpunt.
Maak een uitgebreide tabel.
Noteer het bereik van de functie f(x).
a.
b.
c.
y=-1
(2,0)
x -2
-1
0
1
2
3
4
5
6
y 15
7
3
1
0
-0,5
-0,75
-0,875
-0,9375
d.
<-1, >.
Opgave 11.
Teken de grafiek van:
f(x) = 3 2-x - 9
a.
Vermeld daarbij de vergelijking van de asymptoot.
b.
Bereken de ligging van het nulpunt.
c.
Maak een uitgebreide tabel.
d.
Noteer het bereik van f(x).
a.
b.
c.
y=-9
(0,0)
x -2
-1
0
1
2
3
4
y 72
18
0
-6
-8
-8,667
-8889
d.
<-9 >.
PAGINA 10
UITWERKING
EXP EN LOG FUNCTIES
Opgave 12.
Teken de grafiek van:
f(x) = 3 1-2x - 3
a.
Vermeld daarbij de vergelijking van de asymptoot.
b.
Bereken de ligging van het nulpunt.
c.
Maak een uitgebreide tabel.
d.
Noteer het bereik van f(x).
a.
b.
c.
x
y=-3
(0,0)
-2
y 240
d.
-1
0
1
2
26
0
-2,667
-2,963
<-3, >.
Opgave 13.
Teken de grafiek van:
f(x) = (½)x - 4
a.
Vermeld daarbij de vergelijking van de asymptoot.
b.
Bereken de ligging van het nulpunt.
c.
Maak een uitgebreide tabel.
d.
Noteer het bereik van f(x).
a.
b.
c.
y=-4
(-2,0)
x -5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
y 28
12
4
0
-2
-3
-3,5
-3,75
-3,875
d.
<4, >.
PAGINA 11
417.07
UITWERKING
Opgave 14.
a.
b.
c.
a.
EXP EN LOG FUNCTIES
Teken de grafiek van:
f(x) = 3 1-x - 9
Los op: f(x)= -6
Voor welke x-waarden geldt dat f(x)>-6.
y=-9
nulpunt (-1,0)
x -2
-1
0
1
2
3
y 18
0
-6
-8
-8,667
-8,888
b.
3 1-x - 9=-6
3 1-x
=3
3 1-x
= 31
1- x = 1, dus x=0.
c.
d.
< ,0>
<-9, >.
Opgave 15.
a.
b.
c.
a.
x
Teken de grafiek van:
f(x) = (1/2) 4-x - 2
Los op: f(x)= 6
Voor welke x-waarden geldt dat f(x)>6.
Asymptoot y=-2.
Nulpunt (5,0).
1
y -1,875
b.
c.
d.
2
3
4
5
6
7
8
-1,75
-1,5
-1
0
2
6
14
(1/2) 4-x - 2=6
(2)-4+x
= 23
-4+x
= 3, dus x=7.
<7 ,>
<-2, >.
PAGINA 12
417.07
UITWERKING
Opgave 16.
a.
b.
c.
d.
Teken de grafiek van:
f(x) = (1/3) 2-½x - 3
Los op: f(x)= -2
Voor welke x-waarden geldt dat f(x)>-2.
Noteer het bereik van f(x).
a.
x
EXP EN LOG FUNCTIES
y=-3
Nulpunt (6,0)
0
y -2,89
2
4
6
8
10
12
-2,67
-2
0
6
24
78
c.
(1/3) 2-1/2x - 3=-2
(1/3)2-1/2x
=1
2-1/2x
= 0, dus x=4.
<4, >.
d
<-3, >.
b.
Opgave 17.
a.
b.
c.
d.
Teken de grafiek van:
f(x) = 2 2x-1 - 4
Los op: f(x)= 28
Voor welke x-waarden geldt dat f(x)0.
Noteer het bereik van f(x).
a.
x
y=-4
Nulpunt (3/2,0)
0
y -3,5
b.
c.
d
1
2
3
-2
4
28
2 2x-1 -4
22x-1
2x-1
[3/2, >.
<-4, >.
=28
= 32=25
= 5, dus x=3.
PAGINA 13
417.07
UITWERKING
Opgave 18.
a.
b.
c.
d.
a.
x
Teken de grafiek van:
f(x) = 2 1/2x-1 - 4
Los op: f(x)= -3,5
Voor welke x-waarden geldt dat f(x)-3,5.
Noteer het bereik van f(x).
y=-4
Nulpunt (6,0)
-2
y -3,75
b.
c.
d
EXP EN LOG FUNCTIES
0
2
4
6
8
10
-3,5
-3
-2
0
4
12
2 1/2x-1 -4
21/2x-1
1/2x-1
<,0]
<-4, >.
=-3,5
= 1/2
=-1, dus x=0.
PAGINA 14
417.07
UITWERKING
EXP EN LOG FUNCTIES
417.07
2.2 grafisch oplossen.
Opgave 19.
a.
b.
c.
d.
e.
f.
Teken de grafiek van:
f(x) = 2 4-x - 4
Teken de grafiek van:
g(x) = 4 x-1 - 4
Bereken de coördinaten van het snijpunt van de grafieken van f(x) en g(x).
Los op: f(x)= 12.
Voor welke x-waarden geldt dat g(x)<0.
Noteer het bereik van f(x).
a.
y=-4
Nulpunt (2,0)
x
0
1
2
3
4
5
y
12
4
0
-2
-3
-3,5
1
2
3
4
-3
0
12
60
b.
x
y=-4
Nulpunt (2,0)
0
y -3,875
c.
d.
e.
f.
2 4-x - 4= 4x-1 - 4
24-x
= 22x-2
4-x = 2x-2, dus -3x=-6, dus x=2. Punt (2,0).
2 4-x - 4=12
2 4-x
= 16=24
4-x
= 4, dus x=0.
<,2>.
<-4,>.
PAGINA 15
UITWERKING
Opgave 20.
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
a.
EXP EN LOG FUNCTIES
417.07
Teken de grafiek van:
f(x) = 2 -x - 8
Teken de grafiek van:
g(x) = 4 x-3 - 8
Bereken de coördinaten van het snijpunt van de grafieken van f(x) en g(x).
Los op: f(x)= -6.
Voor welke x-waarden geldt dat f(x)-6.
Voor welke x-waarden geldt dat f(x)>g(x).
Noteer het bereik van f(x).
y=-8
Nulpunt (-3,0)
x
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
y
24
8
0
4
-6
-7
-7,5
-7,75
2
3
4
5
6
-7,75
-7
-4
8
56
b.
x
y=-8
Nulpunt (9/2,0)
1
y -7,9375
c.
d.
e.
f.
g.
2 -x - 8= 4x-3 - 8
2-x
= 22x-6
-x
= 2x-6, dus -3x=-6, dus x=2. Punt (2;-7,75)
2 -x - 8=-6
2 -x
= 2=21
-x
= 1 dus x=-1.
[-1,>.
<,2>.
<-8,>
PAGINA 16
UITWERKING
Opgave 21.
a.
b.
c.
d.
e.
f.
a.
EXP EN LOG FUNCTIES
Teken de grafiek van:
f(x) = 22-x - 2
Teken de grafiek van:
g(x) = (1/2) x+1 - 2
Bereken de coördinaten van het snijpunt van de grafieken van f(x) en g(x).
Los op: f(x)= 6.
Voor welke x-waarden geldt dat f(x)6.
Voor welke x-waarden geldt dat f(x)g(x).
y=-2
Nulpunt (1,0)
x -2
-1
0
1
2
3
y 14
6
2
0
-1
-1,5
b.
y=-2
Nulpunt (-2,0)
x -4
-3
-2
-1
0
1
2
y 6
2
0
-1
-1,5
-1,75
-1,875
c.
d.
e.
f.
417.07
2 2-x - 2= (1/2)x+1 - 2
22-x
= 2-x-1
2-x = -x-1, dus leeg, geen snijpunt!
2 2-x - 2=6
2 2-x
= 8=23
2-x
= 3, dus x= -1.
<,-1]
R.
PAGINA 17
UITWERKING
Opgave 22.
a.
b.
c.
d.
e.
f.
a.
EXP EN LOG FUNCTIES
Teken de grafiek van:
f(x) = (1/3) 1+x -9
Teken de grafiek van:
g(x) = 3 2-x - 9
Bereken de coördinaten van het snijpunt van de grafieken van f(x) en g(x).
Los op: f(x)= 18.
Voor welke x-waarden geldt dat f(x)18.
Voor welke x-waarden geldt dat f(x)g(x).
y=-9
Nulpunt (-3,0)
x
-4
-3
-2
-1
0
1
y
18
0
-6
-8
-8,67
-8,89
b.
y=-9
Nulpunt (0,0)
x
-1
0
1
2
3
y
18
0
-6
-8
-8.67
c.
d.
e.
f.
417.07
(1/3) 1+x - 9= 32-x - 9
3-1-x
= 32-x
-1-x
= 2-x, dus leeg, geen snijpunt.
(1/3) 1+x - 9=18
(1/3)1+x
=27
-1-x
= 3, dus x=-4.
<,-4]
R.
PAGINA 18
UITWERKING
Opgave 23.
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
a.
EXP EN LOG FUNCTIES
Teken de grafiek van:
f(x) = (1/4)x - 1
Teken de grafiek van:
g(x) = 2 2x - 1
Bereken de coördinaten van het snijpunt van de grafieken van f(x) en g(x).
Noteer het bereik van f(x) en g(x).
Los op: f(x)= 3.
Voor welke x-waarden geldt dat f(x)3.
Voor welke x-waarden geldt dat f(x)g(x).
y=-1
Nulpunt (0,0)
x
-3
-2
-1
0
1
2
y
63
15
3
0
-0,75
-0,9375
b.
y=-1
Nulpunt (0,0)
x
-1
0
1
2
3
y
-0,75
0
3
15
63
c.
d.
e.
f.
g.
417.07
(1/4)x -1= 22x -1
2-2x
= 22x
-2x = 2x, dus x=0, dus snijpunt (0,0).
Het bereik van f(x) is <-1,>. Het bereik van g(x) is <-1,>.
(1/4) x - 1 = 3
(1/4)x
=4
-x
= 1, dus x=-1.
<,-1].
<,0].
PAGINA 19
UITWERKING
Opgave 24.
a.
b.
c.
d.
e.
f.
a.
EXP EN LOG FUNCTIES
Teken de grafiek van:
f(x) = 2 2x-1 - 1
Teken de grafiek van:
g(x) = 4 1/2x - 1
Bereken de coördinaten van het snijpunt van de grafieken van f(x) en g(x).
Los op: f(x)= 6, op 1 decimaal nauwkeurig!
Voor welke x-waarden geldt dat f(x)6.
Voor welke x-waarden geldt dat f(x) g(x).
y=-1
Nulpunt (1/2,0)
x
-1
0
1
2
3
4
y
-0,785
-0,5
1
7
31
127
b.
y=-1
Nulpunt (0,0)
x
-2
0
2
4
6
y
-0,75
0
3
15
63
c.
d.
e.
f.
417.07
22x-1 -1 = 41/2x -1
22x-1
= 2x
2x-1 = x, dus x=1, dus snijpunt (1,1).
22x-1 - 1=6
22x-1
=7
=22,81
2x-1= 2,81, dus 2x= 3,81,
x=1,905,
[1,9;>.
[1,>.
PAGINA 20
x=1,9.
UITWERKING
Opgave 25.
a.
b.
c.
d.
e.
f.
a.
EXP EN LOG FUNCTIES
Teken de grafiek van:
f(x) = 4-2 1-x
Teken de grafiek van:
g(x) = 4-4 x-3
Bereken de coördinaten van het snijpunt van de grafieken van f(x) en g(x).
Los op: f(x)= 31/8
Voor welke x-waarden geldt dat f(x)>31/8.
Voor welke x-waarden geldt dat f(x)g(x).
y=4
Nulpunt (-1,0)
x
-3
-2
-1
0
1
2
y
-12
-4
0
2
3
3,5
b.
y=4
Nulpunt (4,0)
x
2
3
4
5
6
y
3,75
3
0
-12
-60
c.
d.
e.
f.
417.07
4-21-x
= 4- 4x-3
-21-x
= -22x-6
1-x
= 2x-6, dus -3x=-7, dus
x=7/3, snijpunt (7/3;-3,603).
1-x
4-2
= 31/8
-21-x
= -1/8
21-x
= 1/8 = 2-3 ,dus 1-x = -3, dus x=4.
<4,>.
[7/3,>.
PAGINA 21
UITWERKING
Opgave 26.
a.
b.
c.
d.
e.
a.
EXP EN LOG FUNCTIES
417.07
Teken de grafiek van:
f(x) = 2·(3) 1-x -6
Bereken de coördinaten van het snijpunt met de x-as.
Los op: f(x)= -6+2/9
Voor welke x-waarden geldt dat f(x)> -6+2/9.
Voor welke x-waarden geldt dat f(x)<12.
Asymptoot:
y=-6
x
-1
0
1
2
3
(3) 1-x
9
3
1
1/3
1/9
2·(3) 1-x
18
6
2
2/3
2/9
2·(3) 1-x -6
b.
Nulpunt:
12
0
-4
-6+2/3
-6+2/9
c.
d.
e.
1-x
2·(3)
-6=0
1-x
2·(3)
=6
(3) 1-x
= 3 = 31
1-x=1
x=0 Dus (0,0).
-6= -6+2/9
= 1/9
= 1/9 = 3-2
= -2, dus x=3.
2·(3) 1-x
2·(3) 1-x
(3) 1-x
1- x
<,3>.
2·(3) 1-x -6=12
2·(3) 1-x =18
(3) 1-x
= 9 =32
1-x
= 2, dus x=-1.
Oplossing
<-1,>.
PAGINA 22
UITWERKING
Opgave 27.
a.
b.
c.
d.
e.
a.
EXP EN LOG FUNCTIES
417.07
Teken de grafiek van:
f(x) = 3·(2) 1-x-3
Bereken de coördinaten van het snijpunt met de x-as.
Los op: f(x)= -3+3/8
Voor welke x-waarden geldt dat f(x)>-3+3/8.
Voor welke x-waarden geldt dat f(x)<93.
Asymptoot:
y=-3
x
-1
0
1
2
3
(2) 1-x
4
2
1
1/2
1/4
3·(2) 1-x
12
6
3
3/2
3/4
3·(2) 1-x -3
b.
Nulpunt:
9
3
0
-3/2
-2,25
c.
d.
e.
3·(2) 1-x -3=0
3·(2) 1-x = 3
(2) 1-x
= 1 = 20
1-x=0
x=1 Dus (1,0).
-3= -3+3/8
= 3/8
= 1/8 = 2-3
= -3, dus x=4.
3·(2) 1-x
3·(2) 1-x
(2) 1-x
1- x
<,4>.
3·(2) 1-x -3<93
3·(2) 1-x <96
(2) 1-x
<32 of (2) 1-x < 25
1-x
<5
-x < 4
x >-4.
Oplossing
<-4,>.
PAGINA 23
UITWERKING
Opgave 28.
a.
b.
c.
d.
e.
a.
EXP EN LOG FUNCTIES
Teken de grafiek van:
f(x) = 3·(½)x+1- 12
Bereken de coördinaten van het snijpunt met de x-as.
Los op: f(x)= 12.
Voor welke x-waarden geldt dat f(x)>12.
Voor welke x-waarden geldt dat f(x)<-9.
Asymptoot:
d.
e.
y=-12
x
-4
-3
-2
-1
0
1
(1/2) 1+x
8
4
2
1
1/2
1/4
3·(1/2) 1+x
24
12
6
3
3/2
3/4
-9
-10,5
-11,25
3·(1/2) 1+x -12
b.
Nulpunt:
c.
417.07
12
0
-6
1+x
3·(1/2)
-12=0
1+x
3·(1/2)
= 12
(1/2) 1+x
= 4 = 22
-1-x = 2, dus
3·(1/2) 1+x -12= 12
3·(1/2) 1+x
= 24
1+x
(1/2)
= 8 = 23
-1- x
= 3, dus x=-4.
<,- 4>.
3·(1/2) 1+x -12 < -9
3·(1/2) 1+x
<3
1+x
(1/2)
<1
-1-x
Oplossing
<-1,>.
x=-3. Dus (-3,0).
< 0
-x < 1
x >-1.
PAGINA 24
UITWERKING
Opgave 29.
a.
b.
c.
d.
e.
a.
EXP EN LOG FUNCTIES
417.07
Teken de grafiek van:
f(x) = -1·(2) x+8
Bereken de coördinaten van het snijpunt met de x-as.
Los op: f(x)= 4
Voor welke x-waarden geldt dat f(x)>4.
Voor welke x-waarden geldt dat f(x)<7.
Asymptoot: y= +8
x
-1
0
1
2
3
4
5
(2)x
1/2
1
2
4
8
16
32
-1·(2)x
-1/2
-1
-2
-4
-8
-16
-32
-1·(2)x +8
b.
Nulpunt:
7,5
7
6
4
0
-8
-24
c.
d.
e.
-1·(2) x +8=0
-1·(2) x
= -8
x
(2)
= 8 = 23
x=3
Dus (3,0).
-1·(2) x +8 = 4
-1·(2) x = -4
(2) x
= 4 =(2)2
x
= 2, dus (2,0).
<,2>.
-1·(2) x +8<7
-1·(2)x
< -1
(2) x
> 1 of (2)x > 20
x >0
Oplossing
<0,>.
PAGINA 25
UITWERKING
EXP EN LOG FUNCTIES
Opgave 30.
Bereken de oplossingsverzamelingen van de volgende vergelijkingen:
a.
2x
=21
x
2
=24,392
x
= 4,392.
b.
3x
3x
x
=11
=32,183
= 2,183.
c.
4x
4x
x
=32
=42,5
= 2,5.
d.
2 x-1
2 x-1
x-1
x
=3
=21,585
= 1,585
= 2,585.
e.
5x
5x
x
=3
=50,683
= 0,683.
f.
2 2x-1
22x-1
2x-1
2x
x
=60
=25,907
= 5,907
= 6,907
= 3,4535
g.
2 3x-2
23x-2
3x-2
3x
x
=18
=24,170
= 4,170.
= 6,170
= 2,057.
h.
3 x-2
3 x-2
x-2
x
=15
=32,465
= 2,465
= 4,465.
PAGINA 26
417.07
UITWERKING
EXP EN LOG FUNCTIES
2 x-7 -3
2 x-7
x-7
x
3 1-2x
3 1-2x
1-2x
-2x
x
=32
=35 = 25,129
= 5,129
= 12,129.
=55
=33,648
= 3,648
= 2,648
= -1,324.
k.
2 x-1
2 x-1
x-1
x
=40
=25,322
= 5,322
= 6,322
l.
2 6x-12 = 400
26x-12 = 28,644
6x-12 = 8,644
i.
j.
6x
= 20,644
x = 3,441
PAGINA 27
417.07
UITWERKING
EXP EN LOG FUNCTIES
2.3 oplossen via substitutie
Opgave 31.
Los de volgende vergelijkingen op door een handige substitutie:
a.
9x
=
4(3x)-3
Stel (3x)=q, dan geldt:
q2
=
4q-3
2
q -4q+3= 0
(q-3)(q-1)=0
q=3 of
q=1
x
Zodat (3 )=3 of
(3x)=1
x =1 of
x=0
Oplossing {0,1}.
b.
9x+18 =
12(3x)-9
x
Stel (3 )=q, dan geldt:
q2 +18
=
12q-9
q2 -12q+27= 0
(q-3)(q-9) =0
q=3 of
q=9
x
Zodat (3 )=3 of
(3x)=9
x =1 of
x=2
Oplossing {1,2}.
c.
4x +8 =
6(2x)
Stel (2x)=q, dan geldt:
q2 +8 =
6q
2
q -6q+8= 0
(q-4)(q-2)=0
q=4 of
q=2
Zodat (2x)=4 of
(2x)=2
x =2 of
x=1
Oplossing {1,2}.
d.
4x +8 =
10(2x)-8
Stel (2x)=q, dan geldt:
q2 +8
=
10q-8
q2 -10q+16= 0
(q-2)(q-8) =0
q=2 of
q=8
x
Zodat (2 )=2 of
(2x)=8
x =1 of
x=3
Oplossing {1,3}.
PAGINA 28
417.07
UITWERKING
EXP EN LOG FUNCTIES
e.
4x
=
5(2x)-4
Stel (2x)=q, dan geldt:
q2
=
5q-4
2
q -5q+4 = 0
(q-1)(q-4) =0
q=1 of
q=4
x
Zodat (2 )=1 of
(2x)=4
x =0 of
x=2
Oplossing {0,2}.
f.
16x-1 =
5(4x)-5
x
Stel (4 )=q, dan geldt:
q2 -1
=
5q-5
q2 -5q+4= 0
(q-4)(q-1)=0
q=4 of
q=1
x
Zodat (4 )=4 of
(4x)=1
x =1 of
x=0
Oplossing {0,1}.
g.
4x
=
2x+2
x
Stel (2 )=q, dan geldt:
q2
=
q+2
2
q - q-2 = 0
(q-2)(q+1)=0
q=2 of
q=-1
Zodat (2x)=2 of
(2x)=-1
x =1 of
x= gaat niet, leeg.
Oplossing {1}.
PAGINA 29
417.07
UITWERKING
EXP EN LOG FUNCTIES
417.07
Opgave 32.
f(x)=4x -1
g(x)=3(2x)-3
a.
Teken de grafiek van f(x).
b.
Teken de grafiek van g(x).
c.
Bereken de coördinaten van het nulpunt van de grafiek van f(x).
d.
Bereken de coördinaten van het nulpunt van de grafiek van g(x).
e.
Los op:
f(x)=15
f.
Los op:
g(x)=21
g.
Bereken de coördinaten van de snijpunten van de grafiek van f(x) en de grafiek van
g(x).
h.
Voor welke x-waarden geldt dat:
f(x)>g(x).
i.
Arceer V, als V={(x,y)RXR y<4x -1  y>3(2x)-3
a.
x
y=-1
-2
y -15/16
b.
y=-3
x
y
c.
d.
e.
f.
g.
h.
-1
-1
0
1
2
3
-3/4
0
3
15
63
0
1
2
3
-1,5
0
3
9
21
4x -1=0
4x =1
x = 0,
dus (0,0).
3(2x)-3=0
3(2x) =3
(2x) = 1
x = 0,
dus (0,0).
x
4 -1=15
4x =16
x = 2.
3(2x)-3=21
3(2x) =24
(2x) = 8
x = 3.
4x -1
=3(2x)-3
Stel (2x)=q. Dan:
q2 -1
= 3q-3
q2 -3q+2 = 0
(q-2)(q-1)= 0
q=2 of
q=1
(2x)=2 of
(2x)=1
x=1 of
x=0
(1,3) en (0,0) zijn de snijpunten.
R\[0,1].
PAGINA 30
UITWERKING
EXP EN LOG FUNCTIES
2.4. functievoorschrift van exponentiële functies
Opgave 33.
f(x)=2ax+b. De grafiek gaat door (0,4) en (2,1).
Bereken de waarden van a en b.
a=-1, b=2.
Opgave 34.
f(x)=3ax+b. De grafiek gaat door (-1,27) en (0,3).
Bereken de waarden van a en b.
a=-2, b=1.
Opgave 35.
f(x)=(1/2)ax+b. De grafiek gaat door (0,1/4) en (3,2).
Bereken de waarden van a en b.
a=-1, b=2.
Opgave 36.
f(x)=5ax+b. De grafiek gaat door (0,5) en (2,125).
Bereken de waarden van a en b.
a=1,
b=1.
Opgave 37.
f(x)=2ax+b. De grafiek gaat door (1,2) en (0,16).
Bereken de waarden van a en b.
a=-3, b=4.
PAGINA 31
417.07
UITWERKING
EXP EN LOG FUNCTIES
417.07
3. Logaritmische functies
3.1 logaritme.
Opgave 38.
Bereken de volgende logaritmen:
a.
log 1
2
log 2
2
log 16
2
log 32
2
log 64
2
=0
=1
=4
= 5.
=6
log 1024= 10
2
log 1
=0
log 10
log 0,01
log 0,1
=1
= -2
log 100
log 1000
log 4
= -1
=2
2
log 9
=2
3
log 121 = 2
11
=2
log 1024= 5
4
log 144 = 2
12
=3
log 729 = 6
3
b.
log ½
2
= -1
log 0,001 =-3
log 1/8 = -3
log 10.000= 4
2
log 128 = 7
2
log 1/8 = -3
log 1/4
4
2
=2
7
log 256
=4
log 1
4
log 4
6
log 1/32=-5
2
log 1
6
log 49= 2,172
6
log 16
log 1/16= -4
log 1/36 = -2
=0
PAGINA 32
49=2,
4181
=1
4
2
log
5
log 4
log 1/4 = -2
=2
= -1
4
2
2
log 49=2,8074
4
log 49= 2
7
log 343= 3
log 10
log 4
=1
=0
= 0,602
UITWERKING
EXP EN LOG FUNCTIES
417.07
c.
log 1
3
=0
log 1/3 = -1
3
log 243= 5
3
log 1
2
log 1
3
log 1
4
log 1
5
log 1
=0
=0
=0
=0
=0
log 9 = 2
3
log81 = 4
3
log -3
3
log ½
2
= leeg
= -1
log 1/3 = -1
3
log 1/4 = -1
4
log 1/7 = -1
log 1/9 = -2
3
log 27
3
=3
log 1/27= -3
3
log 1/4 = -2
2
log 1/9 = -2
3
log 1/64= -3
4
log 1/25= -2
7
5
log 1/10= -1
log 1/100= -2
d.
log 3
2
log 5
2
log 18
2
log 32
2
= 1,585
= 2,322
= 4,170
=5
log 16
log 12
log 150
log 100
= 1,204
= 1,079
= 2,176
=2
PAGINA 33
log 70
= 6,129
2
log 9
=2
3
log 100 = 1,921
11
log 1024= 5.
4
UITWERKING
EXP EN LOG FUNCTIES
417.07
3.2 rekenregels & oplossen van vergelijkingen.
Opgave 39.
Controleer de volgende gelijkheden!
log 4 + 2log 16
2
log 8 +
log 8
2
2
log 9 + 3log 3
3
log 32 -
log 8
2
log 16 :
2
2
log 8
2
log 43
= 2log 64
= 2log 64
= 3log 32
= 2log 4
= 2log 2
=3· 2log 4
2
goed
log 2
2
+ 2log 8
= 2log 16
goed
goed
log 4
+
2
log 1/2 = 2log 2
2
goed
fout
log 64 -
2
log 16
2
=
log 4
2
goed
goed
log100 -
log 10
=
log 10
goed
fout
log 1/2+ 2log 16 = 2log 8 goed
2
goed
Opgave 40.
Bereken de volgende sommen:
log 2 + 3log 4½
3
log 1/3 +
=2
log 24 =3
2
2
log 1/2 + 3log 54 =3
3
log 32 -
log 8
2
log 32 :
2
2
log 8
2
=2
= 5/3
log 2/5 + 2log 40 =4
2
log 3 +
2
log 1/3 =0
2
log 100 - 5log 4
=2
log 1/3+ 2log 51
=4,087
5
log 800 - log 8
2
=2
3.3 de grafiek van een logaritmische functie
Opgave 41.
PAGINA 34
(
decimalen)
3
UITWERKING
EXP EN LOG FUNCTIES
417.07
Noteer van onderstaande functies: 1. het domein
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
2
f(x)= log(2x-7) + 4
domein:
x>3,5
g(x)= 3log(3x-8) - 3
domein:
x>8/3
h(x)= 5log(8-2x) - 3
domein:
x<4
p(x)= 2log(-3x+6)- 3
domein:
x<2
q(x)= 3log(x-5) - 1
domein:
x>5
4
r(x)= log(½x-8) - 2
domein:
x>16
3
s(x)= log(-x+3) +5
domein:
x<3
2. de vergelijking van de asymptoot.
Asymptoot:
x=3,5.
Asymptoot:
x=8/3.
Asymptoot:
x=4.
Asymptoot:
x=2.
Asymptoot:
x=5.
Asymptoot:
x=16.
Asymptoot:
x=3.
PAGINA 35
UITWERKING
EXP EN LOG FUNCTIES
417.07
Opgave 42.
Teken de grafieken van de volgende functies in een rooster.
Maak handige tabellen, teken steeds de verticale asymptoot.
Noteer het domein.
a.
f(x)= 2log(x) + 4
Het domein is x>0, de asymptoot is x=0.
x
1/16
1/8
1/4
1/2
1
2
4
8
16
log(x)
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
log(x)+ 4
0
1
2
3
4
5
6
7
8
2
2
b.
f(x)= 3log(x) - 3
Het domein is x>0, de asymptoot is x=0.
x
1/9
1/3
1
3
9
27
81
3
log(x)
-2
-1
0
1
2
3
4
log(x)-3
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
3
c.
f(x)= 5log(x) - 2
Het domein is x>0, de asymptoot is x=0.
x
1/25
1/5
1
5
25
125
5
log(x)
-2
-1
0
1
2
3
log(x)-2
-4
-3
-2
-1
0
1
5
d.
f(x)= 4log(x) +2
Het domein is x>0, de asymptoot is x=0.
x
1/16
1/4
1
4
16
64
log(x)
-2
-1
0
1
2
3
log(x)+2
0
1
2
3
4
5
4
4
PAGINA 36
UITWERKING
42e.
EXP EN LOG FUNCTIES
f(x)= 3log(x+1) - 1
Het domein is x>-1, de asymptoot is x=-1.
x
-8/9
-2/3
0
2
8
26
x+1
1/9
1/3
1
3
9
27
3
log(x+1)
-2
-1
0
1
2
3
log(x+1)-1
-3
-2
-1
0
1
2
3
f.
f(x)= 4log(x-1) + 2
Het domein is x>1, de asymptoot is x=1.
x
17/16
5/4
2
5
17
x-1
1/16
1/4
1
4
16
log(x-1)
-2
-1
0
1
2
log(x-1)+2
0
1
2
3
4
4
4
g.
f(x)= 2log(-x) +5
Het domein is x<0, de asymptoot is x=0.
x
-1/16
-1/8
-1/4
-1/2
-1
-2
-4
-8
-16
(-x)
1/16
1/8
1/4
1/2
1
2
4
8
16
log(-x)
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
log(-x)+5
1
2
3
4
5
6
7
8
9
2
2
h.
417.07
f(x)= 2log(x+3) - 1
Het domein is x>-3, de asymptoot is x=-3.
-2,875
-2,75
-2,5
-2
-1
1
5
13
29
(x+3)
1/8
1/4
1/2
1
2
4
8
16
32
2
log(x+3)
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
log(x+3)-1
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
2
x
PAGINA 37
UITWERKING
i.
EXP EN LOG FUNCTIES
417.07
f(x)= 2log(x-2) - 2
Het domein is x>2, de asymptoot is x=2.
x
9/4
5/2
3
4
6
10
18
34
66
(x-2)
1/4
1/2
1
2
4
8
16
32
64
2
log(x-2)
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
log(x-2)-2
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
2
3.4 vergelijkingen met logaritmen
Opgave 43.
Los op:
a.
log(2x-7) = 0
2
log(2x-7) = 2log(1)
2
2x-7
2x
x
b.
=
1
=
=
4.
8
2
log(2x-5) = 1
log(2x-5) = 2log(2)
2x-5 = 2
2x
= 7
x
= 3,5.
2
c.
2
log(3x-4) = 3
log(3x-4) = 2log(8)
3x-4 = 8
3x
= 12
x
= 4.
2
d.
3
log(2x-1) = -1
log(2x-1) = 3log(1/3)
2x-1 = 1/3
2x
= 4/3
3
PAGINA 38
UITWERKING
EXP EN LOG FUNCTIES
x
e.
=
2/3.
5
log(3-2x) = 0
log(3-2x) = 5log(1)
3-2x = 1
-2x
= -2
x
= 1.
5
f.
2
log(2x-7) = 1
log(2x-7) = 2log(2)
2x-7 = 2
2x
= 9
x
= 4,5.
2
g.
2
log(2x-1) - 1 = 2
log(2x-1) =3 = 2log(8)
2x-1 = 8
2x
= 9
x
= 4,5.
2
h.
2
log(3x-2) - 2 = 1
log(3x-2)
= 3= 2log(8)
3x-2 = 8
3x
= 10
x
= 10/3.
2
i.
3
log(2-3x) - 1 = 2
log(2-3x)
= 3 = 3log(27)
2-3x = 27
-3x
= 25
x
= -25/3.
3
j.
2
log(2x-5) - 1 = -2
log(2x-5)
= -1 = 2log(1/2)
2x-5 = 1/2
2x
= 11/2
x
= 11/4.
2
k.
5
log(4x-12) +1 = 3
log(4x-12)
= 2 = 5log(25)
4x-12 = 25
5
PAGINA 39
417.07
UITWERKING
EXP EN LOG FUNCTIES
4x
x
l.
=
=
37
37/4.
2
log(2x-11) +1 = 1
log(2x-11)
= 0 = 2log(1)
2x-11 = 1
2x
= 12
x
= 6.
2
m.
2
log( x-1)
= - 2log(x-3) + 3
2
log(x-1)
= - 2log(x-3) + 2log(8)
2
2
log(x-1) + log(x-3) = 2log(8)
2
log(x-1)(x-3)
= 2log(8)
2
2
2
log( x -4x+3 ) = log(8)
x2-4x+3
=
8
2
x -4x-5
=
0
(x-5)(x+1)
=0
x=5, of
x=-1.
x=-1 vervalt vanwege de domein-eis bij logaritmen.
Oplossing is {5}.
n.
2
log (x-2)
= - 2log(x-4) + 3
2
log(x-2)
= - 2log(x-4) + 2log(8)
2
2
log(x-2) + log(x-4) = 2log(8)
2
log(x-2)(x-4)
= 2log(8)
2
2
2
log( x -6x+8 ) = log(8)
x2-6x+8
=
8
2
x -6x
=
0
(x)(x-6)
=0
x=0, of
x=6.
x=0 vervalt vanwege de domein-eis bij logaritmen.
Oplossing is {6}.
.
o.
2
log (x+2)
= - 2log(x)
+3
log(x+2)
= - 2log(x) + 2log(8)
2
log(x+2) + 2log(x) = 2log(8)
2
log(x+2)(x)
= 2log(8)
2
log( x2+2x )
= 2log(8)
x2+2x
=
8
x2+2x -8
=
0
(x-2)(x+4)
=0
x=2, of
x=-4.
x=-4 vervalt vanwege de domein-eis bij logaritmen.
Oplossing is {2}.
2
PAGINA 40
417.07
UITWERKING
EXP EN LOG FUNCTIES
p.
3
log x
= - 3log(x-6) + 3
3
log(x)
= - 3log(x-6) + 3log(27)
3
log(x) + 3log(x-6)
= 3log(27)
3
log(x)(x-6)
= 3log(27)
3
log( x2-6x )
= 3log(27)
2
x -6x
=
0
2
x -6x-27
=
0
(x-9)(x+3)
=0
x=9, of
x=-3.
x=-3 vervalt vanwege de domein-eis bij logaritmen.
Oplossing is {9}.
q.
3
r.
3
log(x+2)
= - 3log(x-4) + 3
3
log(x+2)
= - 3log(x-4) + 3log(27)
3
log(x+2) + 2log(x-4) = 3log(27)
3
log(x+2)(x-4) = 3log(27)
3
log( x2-2x-8)
= 3log(27)
2
x -2x-8 =
27
2
x -2x-35
=
0
(x-7)(x+5)
=0
x=7, of
x=-5.
x=-5 vervalt vanwege de domein-eis bij logaritmen.
Oplossing is {7}.
.
log(x+4)
= - 3log(x-2) + 3
3
log(x+4)
= - 3log(x-2) + 3log(27)
3
log(x+4) + 2log(x-2) = 3log(27)
3
log(x+4)(x-2) = 3log(27)
3
log( x2+2x-8)
= 3log(27)
2
x +2x-8
=
27
2
x +2x-35
=
0
(x-5)(x+7)
=0
x=5, of
x=-7.
x=-7 vervalt vanwege de domein-eis bij logaritmen.
Oplossing is {5}.
PAGINA 41
417.07
UITWERKING
EXP EN LOG FUNCTIES
417.07
Opgave 44.
Los op:
a.
5
log( x)
= - 5log(x-20) + 3
5
log( x) + log(x-20) = + 3
5
log( x) + 5log(x-20) = 5log( 125)
5
log( x)(x-20)
= 5log( 125)
5
log( x2-20x)
= 5log( 125)
2
x -20x
=
125
2
x -20x-125
=
0
(x-25)(x+5) =
0
x=25
of
x=-5
Oplossing is {25}, want x=-5 vervalt, omdat -5 buiten het domein valt!
5
b.
2
log (x-3)
= - 2log(x+3) + 4
2
log( x-3) + log(x+3) = + 4
2
log( x-3) + 2log(x+3) = 2log( 16)
2
log( x-3)(x+3)
= 2log( 16)
2
log( x2-9)
= 2log( 16)
2
x -9
=
16
2
x -25
=
0
(x-5)(x+5)
=
0
x=5
of
x=-5
Oplossing is {5}, want x=-5 vervalt, omdat -5 buiten het domein valt!
2
c.
2
log (x+12)
= - 2log(-x)
2
log( x+12)+ 2log(-x) = + 5
2
log( x+12) + 2log(-x) = 2log( 32)
2
log( x+12)(-x)
= 2log( 32)
2
2
log( -x -12x)
= 2log( 32)
-x2-12x =
32
x2 +12x+32 =
0
(x+4)(x+8) =
0
x=-4
of
x=-8
Oplossing is {-4,-8}.
+5
PAGINA 42
UITWERKING
44d.
3
e.
3
f.
3
EXP EN LOG FUNCTIES
417.07
log x
= - 3log(x+18) +5
3
log( x) + 3log(x+18) = + 5
3
log( x) + 3log(x+18) = 3log( 243)
3
log( x)(x+18)
= 3log( 243)
3
2
log( x +8x)
= 3log( 243)
x2+18x =
243
x2+18x-243 =
0
(x-9)(x+27) =
0
x=9
of
x=-27
Oplossing is {9}, want x=-27 vervalt, omdat -27 buiten het domein valt!
log(x+1)
= - 3log(x+7) + 3
3
log( x+1)+3log(x+7) = + 3
3
log( x+1)+3log(x+7) = 3log( 27)
3
log( x+1)(x+7)
= 3log( 27)
3
log( x2+8x+7)
= 3log( 27)
2
x +8x+7
=
27
2
x +8x-20
=
0
(x-2)(x+10) =
0
x=2
of
x=-10
Oplossing is {2}, want x=-10 vervalt, omdat -10 buiten het domein valt!
log(x)
= - 3log(x-6) + 3
3
log( x) + 3log(x-6) = + 3
3
log( x) + 3log(x-6) = 3log( 27)
3
log( x)(x-6)
= 3log( 27)
3
2
log( x -6x)
= 3log( 27)
x2-6x
=
27
x2-6x-27
=
0
(x-9)(x+3)
=
0
x=9
of
x=-3
Oplossing is {9}, want x=-3 vervalt, omdat -3 buiten het domein valt!
PAGINA 43
UITWERKING
EXP EN LOG FUNCTIES
417.07
3.5 logaritmische functie: onderzoek & grafiek
Opgave 45.
f(x)= 2log(x) -2
a.
b.
c.
d.
Noteer van deze functie het domein.
Noteer van deze functie de vergelijking van de asymptoot.
Bereken de ligging van het nulpunt ( snijpunt met de x-as).
Maak een tabel en teken de grafiek van f(x).
a.
b.
c.
Het domein is x>0.
De vergelijking van de asymptoot is x=0.
2
Nulpunt:
log(x) -2
=0
2
log(x)
=2
2
log(x)
=2log(4)
x
=
4
Punt (4,0)
d.
x
1/4
1/2
1
2
4
8
log(x)
-2
-1
0
1
2
3
log(x) 2
-4
-3
-2
-1
0
1
2
2
Opgave 46.
a.
b.
c.
d.
e.
a.
b.
c.
f(x)= 2log(x+2) -2
Noteer van deze functie het domein.
Noteer van deze functie de vergelijking van de asymptoot.
Bereken de ligging van het nulpunt ( snijpunt met de x-as).
Bereken de coördinaten van het snijpunt met de y-as.
Maak een tabel en teken de grafiek van f(x).
Het domein is x>-2.
De vergelijking van de asymptoot is x=-2.
2
Nulpunt:
log(x+2) -2 =0
2
log(x+2)
=2
2
log(x+2)
=2log(4)
x
=
2
Punt (2,0)
d.
x
-1,75
-1,5
-1
0
2
6
x+2
1/4
1/2
1
2
4
8
PAGINA 44
UITWERKING
EXP EN LOG FUNCTIES
2
417.07
log(x+2)
-2
-1
0
1
2
3
log(x+2) -2
-4
-3
-2
-1
0
1
2
Opgave 47.
a.
b.
c.
d.
e.
a
b.
c.
d.
e.
f(x)= 2log(-x)
Noteer van deze functie het domein.
Noteer van deze functie de vergelijking van de asymptoot.
Bereken de ligging van het nulpunt ( snijpunt met de x-as).
Bereken de coördinaten van het snijpunt met de y-as.
Maak een tabel en teken de grafiek van f(x).
Het domein is x<0.
De vergelijking van de asymptoot is x=0.
2
Nulpunt:
log(-x)
=0
2
log(-x)
=2log 1
-x
=
1
Punt (-1,0)
f(0)=bestaat niet.
x
-1/4
-1/2
-1
-2
-4
-8
-x
1/4
1/2
1
2
4
8
log(-x)
-2
-1
0
1
2
3
2
Opgave 48.
a.
b.
c.
d.
a.
b.
c.
f(x)= 2log(x-1) +1
Noteer van deze functie het domein.
Noteer van deze functie de vergelijking van de asymptoot.
Bereken de ligging van het nulpunt ( snijpunt met de x-as).
Maak een tabel en teken de grafiek van f(x).
Het domein is x>1.
De vergelijking van de asymptoot is x=1.
2
Nulpunt:
log(x-1)+1 =0
2
log(x-1)
=-1
2
log(x-1)
=2log(1/2)
x-1
= 1/ 2
Punt (3/2,0).
d.
1,25
1,5
2
3
5
9
x-1
1/4
1/2
1
2
4
8
log(x-1)
-2
-1
0
1
2
3
2
x
PAGINA 45
UITWERKING
EXP EN LOG FUNCTIES
2
log(x-1)+1
-1
0
1
417.07
2
3
4
Opgave 49.
f(x)= - 2log(x) -4
a.
b.
c.
d.
e.
Noteer van deze functie het domein.
Noteer van deze functie de vergelijking van de asymptoot.
Bereken de ligging van het nulpunt ( snijpunt met de x-as).
Maak een tabel en teken de grafiek van f(x).
Los op f(x)=3.
a.
b.
c.
Het domein is x>0.
De vergelijking van de asymptoot is x=0.
Nulpunt:
-2log(x)-4
=0
-2log(x)
=4
2
log(x)
=-4
=2log(1/16)
x
= 1/16
Punt (1/16,0).
d.
e
-2
x
1/4
1/2
1
2
4
8
2
log(x)
-2
-1
0
1
2
3
-2log(x)
2
1
0
-1
-2
-3
-2log(x)-4
-2
-3
-4
-5
-6
-7
log(x)-4
- log(x)
2
log(x) =-7
2
log(x)
x
2
=3
=7
=2log1/128
= 1/128
PAGINA 46
UITWERKING
EXP EN LOG FUNCTIES
417.07
Opgave 50.
a.
b.
c.
d.
e.
a.
b.
c.
f(x)= 5log(x-3) -1
Noteer van deze functie het domein.
Noteer van deze functie de vergelijking van de asymptoot.
Bereken de ligging van het nulpunt ( snijpunt met de x-as).
Maak een tabel en teken de grafiek van f(x).
Los op f(x)=-4.
Het domein is x>3.
De vergelijking van de asymptoot is x=3.
5
Nulpunt:
log(x-3)-1
=0
5
log(x-3)
=1
5
log(x-3)
=1
=5log(5)
x-3
=5
x
=8
Punt (8,0).
d.
x
3+1/25
3+1/5
4
8
28
128
x-3
1/25
1/5
1
5
25
125
log(x-3)
-2
-1
0
1
2
3
log(x-3)-1
-3
-2
-1
0
1
2
5
5
e
5
log(x-3)-1
log(x-3)
5
log(x-3)
5
log(x-3)
x
5
=-4
=-3
=5log(1/125)
=5log1/125
= 3+ 1/125.
PAGINA 47
UITWERKING
EXP EN LOG FUNCTIES
417.07
Opgave 51.
f(x)=
log(2x-4) +4
2
a.
b.
c.
d.
e.
Noteer van deze functie het domein.
Noteer van deze functie de vergelijking van de asymptoot.
Bereken de ligging van het nulpunt ( snijpunt met de x-as).
Maak een tabel en teken de grafiek van f(x).
Los op f(x)=8.
a.
b.
c.
Het domein is x>2.
De vergelijking van de asymptoot is x=2.
2
Nulpunt:
log(2x-4)+4 =0
2
log(2x-4)
=-4
2
log(2x-4)
=-4 =2log(1/16)
2x-4
=1/16
2x =4+1/16
x =2+1/32.
Punt (65/32,0).
d.
e
2
x
2,125
2,25
2,5
3
4
6
2x-4
1/4
1/2
1
2
4
8
2
log(2x-4)
-2
-1
0
1
2
3
2
log(x-4)+4
2
3
4
5
6
7
log(2x-4)+4
log(2x-4)
2
log(2x-4)
2x-4
x
2
=8
=4
=2log(16)
= 16
= 10.
PAGINA 48
UITWERKING
EXP EN LOG FUNCTIES
417.07
Opgave 52.
f(x)= - 2log(2x+5) -1
a.
b.
c.
d.
e.
Noteer van deze functie het domein.
Noteer van deze functie de vergelijking van de asymptoot.
Bereken de ligging van het nulpunt ( snijpunt met de x-as).
Maak een tabel en teken de grafiek van f(x).
Los op f(x)=-4.
a.
b.
c.
Het domein is x>-2,5.
De vergelijking van de asymptoot is x=-2,5.
Nulpunt:
-2log(2x+5)-1 =0
-2
log(2x+5)
=1
2
log(2x+5)
=-1 =2log(1/2)
2x+5
=1/2
2x =-4,5
x =-2,25.
Punt (-9/4,0).
d.
e
x
-2,375
-2,25
-2
-1,5
-0,5
1,5
2x+5
1/4
1/2
1
2
4
8
2
log(2x+5)
-2
-1
0
1
2
3
-2log(2x+5)
2
1
0
-1
-2
-3
-2log(2x+5)-1
1
0
-1
-2
-3
-4
-2log(2x+5)-1 =-4
-2log(2x+5)
2
log(2x+5)
2x+5
x
=-3
=3
=
=
= 2log(8)
8
1,5.
PAGINA 49
UITWERKING
EXP EN LOG FUNCTIES
417.07
Opgave 53.
f(x)= - 2log(4x-6)+1
a.
b.
c.
d.
e.
Noteer van deze functie het domein.
Noteer van deze functie de vergelijking van de asymptoot.
Bereken de ligging van het nulpunt ( snijpunt met de x-as).
Maak een tabel en teken de grafiek van f(x).
Los op f(x)=-4.
a.
b.
c.
Het domein is x>1,5.
De vergelijking van de asymptoot is x=1,5.
Nulpunt:
-2log(4x-6)+1 =0
-2log(4x-6)
=-1
2
log(4x-6)
=1
=2log(2)
4x-6
=2
4x =8
x =2.
Punt (2,0).
d.
e
x
1,5625
1,625
7/4
2
2,5
3,5
4x-6
1/4
1/2
1
2
4
8
2
log(4x-6)
-2
-1
0
1
2
3
-2log(4x-6)
2
1
0
-1
-2
-3
-2log(4x-5)+1
3
2
1
0
-1
-2
-2log(4x-6)+1 =-4
-2log(4x-6)
2
log(4x-6)
4x-6
4x
x
=-5
=5
=
=
=
= 2log(32)
32
38
9,5.
PAGINA 50
UITWERKING
EXP EN LOG FUNCTIES
417.07
Opgave 54.
f(x)= 2log(x-5)+2
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
Noteer van deze functie het domein.
Noteer van deze functie de vergelijking van de asymptoot.
Bereken de ligging van het nulpunt ( snijpunt met de x-as).
Bereken de coördinaten van het snijpunt met de y-as.
Maak een tabel en teken de grafiek van f(x).
Los op f(x)= 4.
Voor welke waarden van x geldt dat: f(x) 4.
h.
Voor welke x-waarden geldt dat:
0< f(x)

4.
i.
Arceer V, als V={(x,y)RXRy 2log(x-5)+2}
a.
b.
c.
Het domein is x>5.
De vergelijking van de asymptoot is x=5.
2
Nulpunt:
log(x-5)+2
=0
2
log(x-5)
=-2
2
log(x-5)
=-2 =2log(1/4)
x-5
=1/4
x
=5+1/4
d.
e.
Punt (21/4,0).
f(0)= 2log(0-5)+2= bestaat niet!
x
5,25
5,5
6
7
9
13
x-5
1/4
1/2
1
2
4
8
2
log(x-5)
-2
-1
0
1
2
3
log(x-5)+2
0
1
2
3
4
5
2
f.
2
log(x-5)+2
log(x-5)
2
log(x-5)
x-5
x
2
g.
h.
i.
=4
=2
=2
=
=
= 2log(4)
4
9.
[9,>.
<21/4,9].
Vlakdeel onder de grafiek! Zie tekening.
PAGINA 51
UITWERKING
EXP EN LOG FUNCTIES
417.07
Opgave 55.
f(x)= 3log(2x-1)-1
a.
b.
c.
d.
e.
f.
Noteer van deze functie het domein.
Noteer van deze functie de vergelijking van de asymptoot.
Bereken de ligging van het nulpunt ( snijpunt met de x-as).
Maak een tabel en teken de grafiek van f(x).
Los op f(x)= 1.
Voor welke waarden van x geldt dat: f(x) 1.
g.
Voor welke x-waarden geldt dat:
0< f(x)

h.
Arceer V, als V={(x,y)RXRy 3log(2x-1)-1 }
a.
b.
c.
Het domein is x>0,5.
De vergelijking van de asymptoot is x=0,5.
3
Nulpunt:
log(2x-1)-1 =0
3
log(2x-1)
=1
3
log(2x-1)
=1
=3log(3)
2x-1
=3
2x
=4
x =2
Punt (2,0).
1.
d.
x
5/9
2/3
1
2
5
14
2x-1
1/9
1/3
1
3
9
27
log(2x-1)
-2
-1
0
1
2
3
log(2x-1)-1
-3
-2
-1
0
1
2
3
3
e
3
log(2x-1)-1
=1
log(2x-1)
=2
3
log(2x-1)
=2
= 3log(9)
2x-1
=
9
2x
=
10
x
=
5.
[5,>.
<2,5].
Vlakdeel boven de grafiek! Zie tekening.
3
g.
h.
i.
PAGINA 52
UITWERKING
EXP EN LOG FUNCTIES
417.07
Opgave 56.
f(x)= 2log(x-1)-1
a.
b.
c.
d.
e.
f.
Noteer van deze functie het domein.
Noteer van deze functie de vergelijking van de asymptoot.
Bereken de ligging van het nulpunt ( snijpunt met de x-as).
Maak een tabel en teken de grafiek van f(x).
Los op f(x)= 2.
Voor welke waarden van x geldt dat: f(x) 2.
g.
Voor welke x-waarden geldt dat:
h.
Arceer V, als V={(x,y)RXRy< 2log(x-1)-1 }
a.
b.
c.
Het domein is x>1.
De vergelijking van de asymptoot is x=1.
2
Nulpunt:
log(x-1)-1
=0
2
log(x-1)
=1
2
log(x-1)
=1
=2log(2)
x-1
=2
x
=3
Punt (3,0).
0< f(x)  2.
d.
x
1,25
1,5
2
3
5
9
x-1
1/4
1/2
1
2
4
8
log(x-1)
-2
-1
0
1
2
3
log(x-1)-1
-3
-2
-1
0
1
2
2
2
e
2
log(x-1)-1
log(x-1)
2
log(x-1)
x-1
x
2
f.
g.
i.
=2
=3
=3
=
=
= 2log(8)
8
9.
<,9].
<3,9].
Vlakdeel onder de grafiek! Zie tekening.
PAGINA 53
UITWERKING
EXP EN LOG FUNCTIES
417.07
Opgave 57.
f(x)= 2log(-x+2)+1
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
Noteer van deze functie het domein.
Noteer van deze functie de vergelijking van de asymptoot.
Bereken de ligging van het nulpunt ( snijpunt met de x-as).
Bereken de coördinaten van het snijpunt met de y-as.
Maak een tabel en teken de grafiek van f(x).
Los op f(x)= 4.
Voor welke waarden van x geldt dat: f(x) 4.
h.
Voor welke x-waarden geldt dat:
0< f(x)

i.
Arceer V, als V={(x,y)RXRy> log(-x+2)+1}
a.
b.
c.
Het domein is x<2.
De vergelijking van de asymptoot is x=2.
2
Nulpunt:
log(-x+2)+1 =0
2
log(-x+2)
=-1
2
log(-x+2)
=-1 =2log(1/2)
-x+2
=1/2
-x
=-1,5
Punt (3/2,0).
f(0)=2, dus punt (0,2).
d.
e.
x
1,75
1,5
1
0
-2
-6
-x+2
1/4
1/2
1
2
4
8
2
log(-x+2)
-2
-1
0
1
2
3
log(-x+2)+1
-1
0
1
2
3
4
2
f.
2
log(-x+2)+1
=4
log(-x+2)
=3
2
log(-x+2)
=3
= 2log(8)
-x+2
=
8
-x
=
6.
x
=
-6
<,-6].
[-6,3/2>.
Vlakdeel boven de grafiek! Zie tekening.
2
g.
h.
i.
4.
2
Opgave 58.
PAGINA 54
UITWERKING
EXP EN LOG FUNCTIES
417.07
f(x)= - 4log(2x-3)+1
a.
b.
c.
d.
e.
f.
Noteer van deze functie het domein.
Noteer van deze functie de vergelijking van de asymptoot.
Bereken de ligging van het nulpunt ( snijpunt met de x-as).
Maak een tabel en teken de grafiek van f(x).
Los op f(x)= -1.
Voor welke waarden van x geldt dat: f(x) -1.
g.
Voor welke x-waarden geldt dat:
h.
Arceer V, als V={(x,y)RXRy>- 4log(2x-3)+1}
a.
b.
c.
Het domein is x>1,5.
De vergelijking van de asymptoot is x=1,5.
Nulpunt:
-4log(2x-3)+1 =0
-4log(2x-3)
=-1
4
log(2x-3)
=1
=4log(4)
2x-3
=4
2x
=7
Punt (7/2,0).
-1< f(x)  0.
d.
e.
f.
g.
h.
x
1,53125
1,625
2
3,5
9,5
33,5
2x-3
1/16
1/4
1
4
16
64
4
log(2x-3)
-2
-1
0
1
2
3
-4log(2x-3)
2
1
0
-1
-2
-3
-4log(2x-3)+1
3
2
1
0
-1
-2
-4log(2x-3)+1
=-1
4
- log(2x-3)
=-2
4
log(2x-3)
=2
= 4log(16)
2x-3
=
16
2x
=
19
x
=
9,5.
<,19/2].
[7/2,19/2>.
Vlakdeel boven de grafiek! Zie tekening.
PAGINA 55
UITWERKING
EXP EN LOG FUNCTIES
417.07
3.6 snijpunten van verschillende functies.
Opgave 59.
a.
b.
c.
d.
a.
f(x)= 2log( x-1)
g(x)= - 2log(x-3) + 3
Teken de grafieken in een rooster.
Bereken de coördinaten van de snijpunten van beide grafieken.
Voor welke x-waarden geldt dat f(x)>g(x).
Los op:
f(x)+g(x)=4.
Domein f(x) is x>1. Asymptoot x=1.
x
1,25
1,5
2
3
5
9
x-1
1/4
1/2
1
2
4
8
log(x-1)
-2
-1
0
1
2
3
2
Domein g(x) is x>3. Asymptoot is x=3
b.
c.
d.
x
3,25
3,5
4
5
7
11
x-3
1/4
1/2
1
2
4
8
2
log(x-3)
-2
-1
0
1
2
3
-2log(x-3)
2
1
0
-1
-2
-3
-2log(x-3)+3
5
4
3
2
1
0
2
log( x-1)
= - 2log(x-3) + 3
2
log( x-1)+ 2log(x-3) = 3
2
2
log( x-1)(x-3)
=3
=
log(8)
2
x -4x+3
=
8
2
x -4x-5
=
0
(x-5)(x+1)
=
0
x=5 of
x=-1
Snijpunt wordt dan (5,2),
x=-1 vervalt, want deze waarde is geen element
van beide domeinen!
[5,>.
2
log( x-1) +- 2log(x-3) + 3
=4
2
log( x-1)
= 2log(x-3) + 1
2
log( x-1)
= 2log(x-3) + 2log(2)
2
log( x-1)
= 2log(x-3)(2)
2
log( x-1)
= 2log(2x-6)
x-1
=
2x-6
-x
=
-5
x
=
5.
PAGINA 56
UITWERKING
EXP EN LOG FUNCTIES
417.07
Opgave 60.
a.
b.
c.
d.
f(x)= 2log (x-2)
g(x)= - 2log(x-4) + 3
Teken de grafieken in een rooster.
Bereken de coördinaten van de snijpunten van beide grafieken.
Voor welke x-waarden geldt dat f(x)g(x).
Los op:
f(x)+g(x)=4.
a.
Domein f(x) is x>2.
Asymptoot x=2.
x
2,25
2,5
3
4
6
10
x-2
1/4
1/2
1
2
4
8
log(x-2)
-2
-1
0
1
2
3
2
Domein g(x) is x>4. Asymptoot is x=4
b.
x
4,25
4,5
5
6
8
12
x-4
1/4
1/2
1
2
4
8
2
log(x-4)
-2
-1
0
1
2
3
-2log(x-4)
2
1
0
-1
-2
-3
-2log(x-4)+3
5
4
3
2
1
0
2
log( x-2)
= - 2log(x-4) + 3
2
log( x-2)+ log(x-4) = 3
2
2
log( x-2)(x-4)
=3
=
log(8)
2
x -6x+8
=
8
x2-6x
=
0
(x)(x-6)
=
0
x=0 of
x=6
Snijpunt wordt dan (6,2),
x=0 vervalt, want deze waarde is geen element
van beide domeinen!
<4,6].
2
log( x-2) +- 2log(x-4) + 3
=4
2
log( x-2)
= 2log(x-4) + 1
2
log( x-2)
= 2log(x-4) + 2log(2)
2
log( x-2)
= 2log(x-4)(2)
2
log( x-2)
= 2log(2x-8)
x-2
=
2x-8
-x
=
-6
x
=
6.
2
c.
d.
Opgave 61.
f(x)= 2log (x+2)
g(x) = - 2log(x)
PAGINA 57
+3
UITWERKING
EXP EN LOG FUNCTIES
417.07
a.
b.
c.
d.
Teken de grafieken in een rooster.
Bereken de coördinaten van de snijpunten van beide grafieken.
Voor welke x-waarden geldt dat f(x)g(x).
Los op:
f(x)+g(x)=4.
a.
Domein f(x) is x>-2. Asymptoot x=-2.
x
-1,75
-1,5
-1
0
2
6
x+2
1/4
1/2
1
2
4
8
log(x+2)
-2
-1
0
1
2
3
2
Domein g(x) is x>0. Asymptoot is x=0
b.
x
1/4
1/2
1
2
4
8
2
log(x)
-2
-1
0
1
2
3
-2log(x)
2
1
0
-1
-2
-3
-2log(x)+3
5
4
3
2
1
0
2
log( x+2)
= - 2log(x) + 3
2
log( x+2)+ log(x) = 3
2
2
log( x+2)(x)
=3
=
log(8)
2
x +2x
=
8
x2+2x-8
=
0
(x+4)(x-2)
=
0
x=-4 of
x=2
Snijpunt wordt dan (2,2),
x=-4 vervalt, want deze waarde is geen element
van beide domeinen!
[2,>.
2
log( x+2) +- 2log(x) + 3
=4
2
log( x+2)
= 2log(x) + 1
2
log( x+2)
= 2log(x) + 2log(2)
2
log( x+2)
= 2log(x)(2)
2
log( x+2)
= 2log(2x)
x+2
=
2x
-x
=
-2
x
=
2.
2
c.
d.
Opgave 62.
a.
f(x)= 3log(x+2)
g(x)= - 3log(x-4) + 3
Teken de grafieken in een rooster.
PAGINA 58
UITWERKING
EXP EN LOG FUNCTIES
417.07
b.
c.
d.
Bereken de coördinaten van de snijpunten van beide grafieken.
Voor welke x-waarden geldt dat f(x)<g(x).
Los op:
f(x)+g(x)=4.
a.
Domein f(x) is x>-2. Asymptoot x=-2.
x
-1,89
-1,67
-1
1
7
25
x+2
1/9
1/3
1
3
9
27
log(x+2)
-2
-1
0
1
2
3
3
Domein g(x) is x>4. Asymptoot is x=4.
b.
c.
d.
x
4+1/9
4+1/3
5
7
13
31
x-4
1/9
1/3
1
3
9
27
3
log(x-4)
-2
-1
0
1
2
3
-3log(x-4)
2
1
0
-1
-2
-3
-3log(x-4)+3
5
4
3
2
1
0
3
log( x+2)
= - 3log(x-4) + 3
3
log( x+2)+ 3log(x-4) = 3
3
3
log( x+2)(x-4)
=3
=
log(27)
2
x -2x-8
=
27
x2 -2x-35
=
0
(x+5)(x-7)
=
0
x=-5 of
x=7
Snijpunt wordt dan (7,2),
x=-5 vervalt, want deze waarde is geen element
van beide domeinen!
<4,7>.
3
log( x+2) +- 3log(x-4) + 3
=4
3
log( x+2)
= 3log(x-4) + 1
3
log( x+2)
= 3log(x-4) + 3log(3)
3
log( x+2)
= 3log(x-4)(3)
3
log( x+2)
= 3log(3x-12)
x+2
=
3x-12
-2x
=
-14
x
=
7.
Opgave 63.
a.
b.
c.
f(x)= 3log x
g(x)= - 3log(x-6) + 3
Teken de grafieken in een rooster.
Bereken de coördinaten van de snijpunten van beide grafieken.
Voor welke x-waarden geldt dat f(x)>g(x).
PAGINA 59
UITWERKING
a.
EXP EN LOG FUNCTIES
Domein f(x) is x>0.
417.07
Asymptoot x=0.
x
1/9
1/3
1
3
9
27
log(x)
-2
-1
0
1
2
3
3
Domein g(x) is x>6. Asymptoot is x=6.
b.
c.
x
6+1/9
6+1/3
7
9
15
33
x-6
1/9
1/3
1
3
9
27
3
log(x-6)
-2
-1
0
1
2
3
-3log(x-6)
2
1
0
-1
-2
-3
-3log(x-6)+3
5
4
3
2
1
0
3
log( x)
= - 3log(x-6) + 3
3
log( x)+ 3log(x-6)
= 3
3
3
log( x)(x-6)
=3
=
log(27)
2
x -6x
=
27
x2 -6x-27
=
0
(x+3)(x-9)
=
0
x=-3 of
x=9
Snijpunt wordt dan (9,2),
x=-3 vervalt, want deze waarde is geen element
van beide domeinen!
<9,>.
PAGINA 60
UITWERKING
EXP EN LOG FUNCTIES
417.07
3.7 functievoorschrift van logaritmische functies
Opgave 64.
f(x)= glog(ax+b).
Bepaal de waarden van a en b, als de gegeven functie door (1,2) en
(-1,1) gaat. Het grondtal is 2.
f(1)= 2log(a+b)=2=2log4, dus
a+b=4.
f(-1)=2log(-a+b)=1=2log2, dus
-a+b=2.
b=3 en a=1
Opgave 65.
f(x)= glog(ax+b).
Bepaal de waarden van a en b, als de gegeven functie door (1,0) en
(-1,1) gaat. Het grondtal is 3.
f(1) = 3log(a+b)=0 = 3log1, dus
f(-1)=3log(-a+b)=1 = 3log3, dus
b=2 en a=-1
a+b=1.
-a+b=3.
Opgave 66.
f(x)= glog(ax+b).
Bepaal de waarden van a en b, als de gegeven functie door (5,2) en
(-1,1) gaat. Het grondtal is 4.
f(5) = 4log(5a+b)=2 = 4log16, dus
f(-1) = 4log(-a+b)=1 = 4log4, dus
b=6 en a=2.
5a+b=16.
-a+b=4.
Opgave 67.
f(x)= glog(ax+b).
Bepaal de waarden van a en b, als de gegeven functie door (1,0) en
PAGINA 61
UITWERKING
EXP EN LOG FUNCTIES
417.07
(4,4) gaat. Het grondtal is 2.
f(1)= 2log(a+b)=0=2log1, dus
f(4)=2log(4a+b)=4=2log16, dus
b=-4 en a=5
a+b=1.
4a+b=16.
Opgave 68.
f(x)= glog(ax+b).
Bepaal de waarden van a en b, als de gegeven functie door (4,2) en
(-4,0) gaat. Het grondtal is 7.
f(4)= 7log(4a+b)=2=7log49, dus
4a+b =49.
f(-4)=7log(-4a+b)=0=7log1, dus
-4a+b = 1.
b=25 en a=6.
Opgave 69.
f(x)= glog(ax+b).
Bepaal de waarden van a en b, als de gegeven functie door (2,1) en
(-8,1) gaat. Het grondtal is 2.
f(2)= 2log(2a+b)=1=2log2, dus
f(-8)=2log(-8a+b)=1=2log2, dus
b=2 en a=0
a+b=2.
-a+b=2.
3.8. toepassingen: exponentiële & logaritmische functies
Opgave 70.
Als de bevolking vanaf het begin van het jaar 1900 elk jaar met 4% zou zijn
gestegen,
in welk jaar zou dan de beginwaarde verdubbeld zijn?
De groeifactor id 1,04.
De beginwaarde is 1.
PAGINA 62
UITWERKING
EXP EN LOG FUNCTIES
417.07
De eindwaarde is 1(1,04)x = 2.
x=1,04log2= log2 : log(1,04)=17,673 jaren. Dus in 1917.
Na hoeveel jaren was het bevolkingsaantal verviervoudigd?
De groeifactor is 1,04.
De beginwaarde is 1.
De eindwaarde is 1(1,04)x = 4.
x=1,04log4= log4 : log(1,04)=35,346 jaren.
Opgave 71.
Als de bevolking vanaf het begin van het jaar 2000 elk jaar met 2% zal stijgen,
in welk jaar vindt er dan verdubbeling van de beginwaarde plaats?
De groeifactor is 1,02.
De beginwaarde is 1.
De eindwaarde is 1(1,02)x = 2.
x=1,02log2= log2 : log(1,02)=35,003 jaren. Dus in 1935.
Na hoeveel jaren is het bevolkingsaantal vervijfvoudigd?
De groeifactor is 1,02.
De beginwaarde is 1.
De eindwaarde is 1(1,02)x = 5.
x=1,02log5= log5 : log(1,02)=81,274 jaren.
PAGINA 63
UITWERKING
EXP EN LOG FUNCTIES
417.07
Opgave 72.
De winkelvoorraad neemt elk jaar met 4% af.
Bereken de halveringstijd.
De groeifactor is 0,96.
De eindwaarde is 0,96x.
0,96x=0,5.
x=
0,96
log 0,5= log 0,5 : log 0,96=16,980. Dus na 16,98 jaren.
De halveringstijd is 16,98 jaren.
Opgave 73.
Begin 2000 wonen er in Nederland 16 miljoen mensen.
De bevolking groeit exponentieel.
Begin
a.
b.
c.
2010 wonen er in Nederland 17 miljoen mensen.
Bereken de groeifactor.
Bereken het groeipercentage.
Als de groeifactor niet veranderd, hoeveel inwoners telt Nederland dan in 2020.
a.
De groeifactor noemen we q.
Dan geldt dat 16.000.000 q10 = 17.000.000
q10 = 17.000.000:16.000.000
q10 = 1,0625
q = 1,06250,1 = 1,0060809
Het groeipercentage is dan 6,0809 promille.
16.000.000 (1,0060809)20 = 18.062.509 inwoners.
b.
c.
Opgave 74.
In de maand juni groeit elke dag een hoeveelheid waterplanten met 25%.
a.
Noteer de groeifactor.
b.
Bereken de verdubbelingstijd.
c.
Als de groeifactor niet veranderd, hoeveel procenten is de kolonie waterplanten
dan gegroeid na 30 dagen?
a.
groeifactor is 1,25.
De beginwaarde is 1.
b.
De verdubbelingstijd is (1,25)x= 2.
x=1,25log2= log2 : log(1,25)=3,106 dagen.
c.
(1,25)30=807,794. Dan is de populatie gegroeid van 1 naar 807,794.
Dat is dus een groei van 80.679,4 %.
PAGINA 64
UITWERKING
EXP EN LOG FUNCTIES
417.07
Opgave 75.
Karel zet 1.000 euro's op de bank.
Na 40 jaren wil hij 4.000 euro's terug ontvangen (we houden geen rekening met
eventuele belastingen).
a.
Hoe hoog moet dan de jaarlijkse (gelijkblijvende) rente zijn?
b.
Bereken de verdubbelingstijd.
a.
De groeifactor noemen we q.
Dan geldt dat 1.000 q40 = 4.000
q40 = 4
q = 41/40 = 1,0352649
Het rentepercentage is dan 3,52649 %.
b.
(1,0352649)x = 2.
x= 1,0352649 log 2= log2 : log1,0352649 = 20,000 jaren.
Opgave 76.
De ozonlaag neemt elk jaar met 2,1% af.
Bereken de halveringstijd.
De groeifactor is 0,979.
De eindwaarde is 0,979x.
0,979x=0,5.
x= 0,979 log 0,5= log 0,5 : log 0,979= 32,659. Dus na 32,659 jaren.
De halveringstijd is 32,659 jaren.
Opgave 77.
Begin 2000 wonen er in Oslo 600.000 mensen.
De bevolking groeit exponentieel.
Begin 2025 wonen er in Oslo 900.000 mensen.
a.
Noteer de groeifactor.
b.
Bereken het groeipercentage.
c.
Als de groeifactor niet veranderd, hoeveel inwoners telt Oslo dan in 2020.
a.
De groeifactor noemen we q.
Dan geldt dat 600.000 q25 = 900.000
q25 = 1,5
q = (1,5)1/25 = 1,0163508
b.
c.
Het rentepercentage is dan 1,63508 %.
600.000 (1,0163508)20 = 829.896 inwoners.
PAGINA 65
UITWERKING
EXP EN LOG FUNCTIES
417.07
Opgave 78.
In de maanden mei, juni, juli en augustus groeit elke dag een populatie muizen met
8%.
a.
Noteer de groeifactor.
b.
Bereken de verdubbelingstijd.
c.
Als de groeifactor niet veranderd, hoeveel procenten is de populatie muizen dan
gegroeid na 100 dagen?
a.
groeifactor is 1,08.
b.
De verdubbelingstijd is (1,08)x= 2.
x=1,08log2= log2 : log(1,08)=9,006 dagen.
c.
(1,08)100= 2199,7613. Dan is de populatie gegroeid van 1 naar 2199,7613.
Dat is dus een groei van 219.876,13 %.
Opgave 79.
We zetten 20.000 euro's op de bank. We krijgen elk jaar 7% rente.
a.
Bereken de verdubbelingstijd.
b.
Bereken de waarde na 10 jaren.
c.
Bereken de waarde na 20 jaren.
d.
Bereken de waarde na 30 jaren.
a.
groeifactor is 1,07.
De verdubbelingstijd is (1,07)x= 2.
x=1,07log2= log2 : log(1,07)=10,245 jaren.
b.
20.000 (1,07)10= 39.343,028 euro's.
c.
20.000 (1,07)20= 77393,69 euro's.
d.
20.000 (1,07)30= 152.45,1 euro's.
Opgave 80.
We krijgen 6% rente per jaar als we 25 jaren lang geld vastzetten op een bank.
Het eindkapitaal moet 60.000 euro's zijn.
a.
Noteer de groeifactor.
b.
Bereken de verdubbelingstijd.
c.
Bereken beginwaarde.
a.
groeifactor is 1,06.
b.
De verdubbelingstijd is (1,06)x= 2.
x=1,06log2= log2 : log(1,06)=11,896 jaren.
c.
beginwaarde (1,06)25= 60.000.
beginwaarde (4,2918707)= 60.000.
beginwaarde is 60.000:4,2918707=13.979,92 euro's.
PAGINA 66
UITWERKING
EXP EN LOG FUNCTIES
417.07
Opgave 81.
Begin 1999 zet iemand een onbekend bedrag op de bank.
Per jaar ontvangt hij 8% rente.
De waarde aan het begin 2008 is 43.978,10 euro's.
a.
Noteer de groeifactor.
b.
Bereken de verdubbelingstijd.
c.
Bereken de beginwaarde.
d.
Bereken de eindwaarde na 25 jaren.
a.
groeifactor is 1,08.
b.
De verdubbelingstijd is (1,08)x= 2.
x=1,08log2= log2 : log(1,08)= 9,006 jaren.
c.
beginwaarde (1,08)9= 43.978,10.
beginwaarde (1,999)= 43.978,10.
beginwaarde is 43.978,10:1,999=22.000 euro's.
d.
Eindwaarde is 22.000 (1,08)25= 150.666,45 euro's.
Opgave 82.
In 1520 zet Karel de Vijfde 10 gulden op de plaatselijke bank.
Hij sluit een contract af waarin staat dat zijn nakomelingen in 2020 het gespaarde
bedrag mogen verdelen. De afspraak is dat elk jaar 2% rente wordt bijgeschreven.
Bereken hoeveel de nakomelingen mogen verdelen.
Eindwaarde is 10 (1,02)500= 199.565,69
PAGINA 67
UITWERKING
EXP EN LOG FUNCTIES
417.07
proefmoduletoets
Duur: 1 lesuur.
Opgave 1.
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
Teken de grafiek van:
f(x) = 2 4-x - 8
Teken de grafiek van:
g(x) = 4 x-1 - 8
Bereken de coördinaten van het snijpunt van de grafieken van f(x) en g(x).
Los op: f(x)= 8.
Voor welke x-waarden geldt dat g(x)<0.
Noteer het bereik van f(x).
Voor welke waarden van x geldt dat: f(x)<g(x).
a.
Asymptoot
y=-8.
Nulpunt (1,0)
x -1
0
1
2
3
4
5
6
y 24
8
0
-4
-6
-7
-7,5
-7,75
b.
Asymptoot
y=-8.
Nulpunt (5/2,0)
x
0
1
2
3
4
y
-7.75
-7
-4
8
56
c.
24-x
24-x
4-x
d.
4-x
e.
f.
g.
-8
-3x
-8
2
24-x
dus x=0.
<,5/2>.
<-8,>.
<2,>.
= 4x-1
= 4x-1
=2x-2
= -6
=8
= 16
-8
=22x-2
snijpunt (2,-4).
=24
Opgave 2.
f(x)=5ax+b. De grafiek gaat door (1,5) en (2,125).
Bereken de waarden van a en b.
f(1)=5 levert:
f(2)=125 levert:
5a+b
52a+b
=
=
5=
125=
51, dus a+b=1.
53, dus 2a+b=3. -a = -2
a = 2
PAGINA 68
UITWERKING
EXP EN LOG FUNCTIES
417.07
b = -1.
Opgave 3.
f(x)= 2log(x-5)+1
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
Noteer van deze functie het domein.
Noteer van deze functie de vergelijking van de asymptoot.
Bereken de ligging van het nulpunt ( snijpunt met de x-as).
Bereken de coördinaten van het snijpunt met de y-as.
Maak een tabel en teken de grafiek van f(x).
Los op f(x)= 3.
Voor welke waarden van x geldt dat: f(x) 3.
h.
Voor welke x-waarden geldt dat:
0< f(x)

3.
i.
Arceer V, als V={(x,y)RXRy 2log(x-5)+1}
a.
b.
c.
Het domein is x>5.
De vergelijking van de asymptoot is x=5.
2
Nulpunt:
log(x-5)+1
=0
2
log(x-5)
=-1
2
log(x-5)
=-1 =2log(1/2)
x-5
=1/2
x
=5,5
Punt (11/2,0).
Geen snijpunt.
d.
e.
x
5,25
5,5
6
7
9
13
x-5
1/4
1/2
1
2
4
8
log(x-5)
-2
-1
0
1
2
3
log(x-5)+1
-1
0
1
2
3
4
2
2
e.
2
log(x-5)+1
=3
log(x-5)
=2
2
log(x-5)
=2
= 2log(4)
x-5
=
4
x
=
9
x
=
9,5.
[9,>.
<11/2,9].
Vlakdeel onder de grafiek! Zie tekening.
2
f.
g.
h.
PAGINA 69
Opgave 4.
In de maand juli groeit elke dag een hoeveelheid waterplanten met 20%.
a.
Noteer de groeifactor.
b.
Bereken de verdubbelingstijd.
c.
Als de groeifactor niet veranderd, hoeveel procenten is de kolonie waterplanten
dan gegroeid na 25 dagen?
a.
b.
c.
groeifactor is 1,20.
De verdubbelingstijd is (1,20)x= 2.
x=1,20log2= log2 : log(1,20)=3,802 dagen.
(1,20)25= 95,396216. Dan is de populatie gegroeid van 1 naar 95,396216.
Dat is dus een groei van 9439,6216 %.
PAGINA 70