Formulekaart VWO

Formulekaart VWO
Kansrekening
Tellen
n ! = n ⋅ (n − 1) ⋅ ... ⋅ 2 ⋅1
0! = 1
⎛ n⎞
n!
⎜⎜ ⎟⎟ =
⎝ k ⎠ k ! (n − k ) !
Binomium van Newton : (a + b) =
n
n
⎛ n⎞
∑ ⎜⎜⎝ k ⎟⎟⎠ a
k
b n−k
k =0
Kansrekening
Voor toevalsvariabelen X en Y geldt: E ( X + Y ) = E ( X ) + E (Y )
Voor onafhankelijke toevalsvariabelen X en Y geldt: σ ( X + Y ) = σ 2 ( X ) + σ 2 (Y )
n - wet : bij een serie van n onafhankelijk van elkaar herhaalde experimenten geldt voor de som S en
het gemiddelde X van de uitkomsten X:
E (S ) = n ⋅ E ( X )
σ (S ) = n ⋅ σ ( X )
E( X ) = E( X )
σ (X ) =
σ (X )
n
Binomiale verdeling
Voor de binomiaal verdeelde toevalsvariabele X, waarbij n het aantal experimenten is en p de kans
op succes per keer, geldt:
n
P( X = k ) = ⎛⎜ ⎞⎟ ⋅ p k ⋅ (1 − p) n − k
met k = 0, 1, 2, .... , n
k
⎝ ⎠
Verwachting:
E( X ) = n ⋅ p
Variantie:
Var( X ) = n ⋅ p ⋅ (1 − p)
Standaardafwijking:
σ ( X ) = Var( X ) = n ⋅ p ⋅ (1 − p )
Normale verdeling
Voor een toevalsvariabele X die normaal verdeeld is met gemiddelde µ en standaardafwijking σ
geldt:
Z=
X −µ
σ
is standaard normaal verdeeld en
( )
g −µ ⎞
g −µ
P( X < g ) = P⎛⎜ Z <
⎟=Φ
σ ⎠
σ
⎝
Hierin is Φ de cumulatieve verdelingsfunctie van de standaardnormale verdeling.
Formulekaart VWO
1
Algebra en verbanden
Vergelijkingen
vergelijking
oplossing
ax 2 + bx + c = 0
x=
−b + D
2a
2
voorwaarde
of x =
−b − D
2a
a ≠ 0, D ≥0
met D = b − 4ac
1
c >0, n >0
xn = c
x = cn = n c
gx =a
log a
x = g log a =
a > 0 , g > 0, g ≠1
g
x = gb
g > 0, g ≠1
x = ln a
a>0
log g
log x = b
ex = a
ln x = b
x=e
b
Machten en logaritmen
regel
voorwaarde
1
a −n = n
a
a>0
1
an =n a
a >0, n>0
a p ⋅ aq = a p+q
a>0
a p : a q = a p −q
a>0
(a p ) q = a pq
a>0
(ab) p = a p ⋅ b p
a >0, b>0
g
log a =
p
log a
p
log g
g
log a + g log b = g log ab
a
g
log a − g log b = g log
b
g
p
g
log a = p ⋅ log a
g>0,g≠0,a>0,p>0,p≠1
g > 0 , g ≠ 1, a > 0 , b > 0
g > 0 , g ≠ 1, a > 0 , b > 0
g > 0 , g ≠ 1, a > 0
Verbanden
Lineair verband
H = b + a⋅t
b is de beginwaarde en a is de helling of richtingscoëfficiënt
Exponentieel verband
H = b ⋅ gt
b is de beginwaarde en g is de groeifactor
Harmonische trilling
H = d + a ⋅ sin b(t − c) of
H = d − a ⋅ sin b(t − c)
d is de evenwichtsstand, (c, d) is een beginpunt,
2π
is de periode, a is de amplitude en a > 0 , b > 0
b
Formulekaart VWO
2
Somformules voor rijen
Voor de som S van de rekenkundige rij a, a + v, a + 2v, ... , a + (n − 1)v geldt:
S =n⋅
eerste term + laatste term
2
Voor de som S van de meetkundige rij a, ar , ar 2 , ar 3 , ... , ar n −1 geldt:
n −1
S=
∑
ar k = a ⋅
k =0
1− rn
1− r
(r ≠ 1)
Voor de som S van de oneindige meetkundige rij a, ar , ar 2 , ar 3 , ...
S=
∞
met -1 < r < 1 geldt:
1
∑ ar k = a ⋅ 1 − r
k =0
Differentievergelijkingen
recursievergelijking
u (n + 1) = a ⋅ u (n) + b
met beginwaarde u (0)
directe formule
u ( n) =
b
1− a
+ (u (0) −
b
n
)⋅a
1− a
of
u (n) = U + a n ⋅ (u (0) − U ) met U =
b
1− a
Als − 1 < a < 1 , dan geldt: lim u (n) =
n →∞
exponentiële groei
u (n + 1) = a ⋅ u (n)
b
1− a
u (n) = u (0) ⋅ a n
logistische groei
u (n + 1) = u (n) + c ⋅ u (n) ⋅ (G − u (n) )
waarbij G de grenswaarde is
Differentiëren
naam van de regel
functie
afgeleide
constante maal f
g ( x) = c ⋅ f ( x)
g ′( x) = c ⋅ f ′( x)
somregel
s ( x) = f ( x) + g ( x)
s ′( x) = f ′( x) + g ′( x)
productregel
p ( x) = f ( x) ⋅ g ( x)
p ′( x) = f ′( x) ⋅ g ( x) + f ( x) ⋅ g ′( x)
quotiëntregel
q( x) =
kettingregel
f ( g ( x))
Formulekaart VWO
f ( x)
g ( x)
q ′( x) =
f ′( x) ⋅ g ( x) − f ( x) ⋅ g ′( x)
( g ( x)) 2
f ′( g ( x)) ⋅ g ′( x)
3
of
df df dg
=
⋅
dx dg dx
standaardfunctie
afgeleide
f ( x) = c
f ′(x) = 0
f ( x) = x n
f ′( x) = n ⋅ x n−1
f ( x) = e x
f ′( x) = e x
f ( x) = g x met g > 0
f ′( x) = g x ⋅ ln g
f ( x) = ln x
f ′( x) =
1
x
f ( x) = g log x met g > 0 en g ≠ 1
f ′( x) =
1 1
⋅
x ln g
f ( x) = sin x
f ′( x) = cos x
f ( x) = cos x
f ′( x) = −sin x
f ( x) = tan x
f ′( x) =
Lineaire benadering van f in a:
1
2
cos x
= 1 + tan 2 x
L( x) = f (a) + f ′(a) ⋅ ( x − a )
Integreren
functie
primitieve
f ( x) = x n met n ≠ -1
f ( x) =
1
x
F ( x) =
1 n +1
x
+c
n +1
F ( x) = ln | x | + c
1
⋅ ax
ln a
f ( x) = a x met a > 0
F ( x) =
+c
f ( x) = e x
F ( x) = e x + c
f ( x) = ln x
F ( x) = x ln x − x + c
f ( x) = a log x met a > 0 en a ≠ 1
F ( x) =
f ( x) = sin x
F ( x) = − cos x + c
f ( x) = cos x
F ( x) = sin x + c
1
⋅ ( x ln x − x) + c
ln a
Lengte van de grafiek van f op het interval [a, b] : L =
b
∫
1 + ( f ′( x)) 2 dx
a
Inhoud van een omwentelingslichaam dat ontstaat door de grafiek van de functie f
b
op het interval [a, b] om de x-as te wentelen: I = π ⋅ ( f ( x))2dx
∫
a
Formulekaart VWO
4