PROEFTOETS 11HB

PROEFTOETS 11HB
WISKUNDE
HAVO NG/NT
Voor elk onderdeel is aangegeven hoeveel punten kunnen worden behaald. Antwoorden moeten altijd zijn
voorzien van een berekening, toelichting of argumentatie.
1.
(15p) Los de volgende vergelijkingen zonder GRM op:
(Check wel je antwoorden steeds)..
2.
a)
10  2 x  x
b)
4( x 3)  4(  x  4)
log(2 x  2)  3
c)
3
d)
10
e)
4
log(2 x)  10 log(3)  10 log( x  1)
log(3x  1)  2
(4,4,4,4p) Parabool
Gegeven de parabool y  0,5x2  3x op het domein [0,6].
Het punt P op de parabool met xp=p zal zich tussen 0 en 6 begeven. Men maakt een driehoek
a)
b)
c)
van de oorsprong, naar P en naar Q (p,0).
Maak de formule die de oppervlakte beschrijft van deze grijze driehoek als functie van x.
Bereken voor welke waarde van p de oppervlakte van OPQ maximaal is.
Zo'n zelfde situatie geldt voor de parabool: y  0,5x2  x  4
d)
e)
De lijn x=p markeert de vertikale lijn lopend van R naar S.
Toon aan dat de oppervlakte hier wordt beschreven door A  0, 25 p3 1,5 p2  8
Toon aan dat de oppervlakte van de driehoek A (RSQ) niet optimaal is als S op T valt.
Gebruik deze laatste parabool op de raaklijn op te stellen in het punt met x= - 1
3.
(4,4,4p) Afgeleide bepalen
Gegeven de functie: f ( x) 
x3  x 2  2 x
.
x
5 x 2  3x  2
2 x
a)
Differentieer de functie en toon aan dat de afgeleide is f '( x) 
b)
c)
Bereken algebraisch het minimum van f.
De lijn l met rico 16,5 raakt de grafiek van f in het punt B. Bereken de cordinaten van B.
RUDOLF STEINERCOLLEGE HAARLEM
WISKUNDE
HAVO NG/NT
T211-HNGNT-H56 HER UITW
Voor elk onderdeel is aangegeven hoeveel punten kunnen worden behaald. Antwoorden moeten altijd zijn
voorzien van een berekening, toelichting of argumentatie.
MAX: 53 punten
1.
(15p) Los de volgende vergelijkingen zonder GRM op:
(Check wel je antwoorden steeds)..
a)
b)
10  2 x  x... dus x 2  2 x  10  0 abc... D=44. x1,2
4( x 3)  4(  x  4) dus x+3=-x+4 en dus 2x=1.. x= 12
log(2 x  2)  3 betekent: 2x+2=27 => x=12.5
c)
3
d)
10
log(2 x)  10 log(3)  10 log( x  1) 
log(2 x)  10 log(3( x  1)) 
dus 2x=3x+3... -x=3, x=-3
10
e)
2.
a)
5  44
2
4
want: logA +logB=log(A B)
log(3x  1)  2 3x-1=16..3x=17 dus x=17/3
(4,4,4,4p) Parabool
Gegeven de parabool y  0,5x2  3x op het domein [0,6].
Het punt P op de parabool met xp=p zal zich tussen 0 en 6 begeven. Men maakt een driehoek
van de oorsprong, naar P en naar Q (p,0).
Maak de formule die de oppervlakte beschrijft van deze grijze driehoek als functie van x.
Opp driehoek: bxh/2 = (p) f(p)/2
dus: A  x (0,5 x 2  3x) 0,5  0, 25 x 3  1,5 x 2
b)
Bereken voor welke waarde van p de oppervlakte van OPQ maximaal is.
A  x (0,5 x 2  3x) 0,5  0, 25 x3  1,5 x 2
A '  0, 75 x 2  3x
A '  0, dus: x(-0,75x+3)=0 als x=0 of x=4
c)
Zo'n zelfde situatie geldt voor de parabool: y  0,5x2  x  4
De lijn x=p markeert de vertikale lijn lopend van R naar S.
Toon aan dat de oppervlakte hier wordt beschreven door A  0, 25 p3 1,5 p2  8
A  0, 25 p 3  1,5 p 2  8
Nulpunten zijn x=-2 en x=4 (ga na!)
Dus OR =x dus RQ= 4-x
Opp A=(4-x)(-0,5x 2  x  4) / 2 
 x 2  2 x  8  0, 25 x3  0,5 x 2  2 x 
0, 25 x3  1,5 x 2  8 of vervang alle x door p.
d)
e)
Toon aan dat de oppervlakte van de driehoek A (RSQ) niet optimaal is als S op T valt.
(1) Top zit symmetrisch tussen nulpunten -2 en 4: dus bij x=1.
(2) A' = 0,75x2-3x = 0 dus: x(0,75x-3)=0 geeft x=0 of x=4 dus afstand vanaf Q is 4.
Dus de maximale oppervlakte zit bij x=0. Basis = 4cm Daar zat punt T niet.
Gebruik deze laatste parabool op de raaklijn op te stellen in het punt met x= - 1
y  0,5 x 2  x  4 dus y'=-x+1. y'(-1)=2.
y (2)  0,5  1  4  2,5
raaklijn: y=2x+b... b=4,5
3.
(4,2,2p) Afgeleide bepalen
x3  x 2  2 x
f ( x) 
x
f '( x) 
a)
b)
c)
x (3x 2  2 x  2)  ( x3  x 2  2 x)
1
2 x

x
3x 2,5  2 x1,5  2 x 0,5  0,5 x 2,5  0,5 x1,5  x


x
Gegeven de functie:
.
2,5 x 2,5  1,5 x1,5  x

deel alles door x
x
2,5 x 2  1,5 x  1

en dan x2
x
5 x 2  3x  2

2 x
5 x 2  3x  2
Differentieer de functie en toon aan dat de afgeleide is f '( x) 
2 x
Bereken algebraisch het minimum van f.
f'(x)=0 dus 5x2-3x-2 = 0.. geeft x=1 of x=-2/5 (niet geldig) plot ff: dus bij x=1 y=-2.
De lijn l met rico 16,5 raakt de grafiek van f in het punt B. Bereken de coordinaten van B.
(1)
Waar is afgeleide dus 16,5:
(2)
5 x 2  3x  2
f '( x) 
 16,5 GRM!!!! bij x=4.
2 x
f(4)=20 B(4,20)