Eigenschappen van het optellen en het vermenigvuldigen in q

G38
Eigenschappen van het optellen en het vermenigvuldigen in q
Op verkenning
a
Eigenschappen van het optellen in q
Welke eigenschappen gelden voor het optellen in q? Volg bij je onderzoek telkens de volgende stappen.
n
Reken uit en vergelijk de resultaten.
o Omschrijf de toegepaste eigenschap in je eigen woorden.
t
p
Noteer een tweede getalvoorbeeld waarvoor de eigenschap geldt.
q
Kun je een voorbeeld vinden waarvoor de eigenschap niet geldt?
r
Noteer de eigenschap volledig in woorden (geef de verzameling, de bewerking en de naam van de eigenschap).
s
Noteer de eigenschap met de letters a, b en c die rationale getallen voorstellen.
1 + _
1 _
3
2
1 + _
1 _
2
3
n
3
5
2 + _
_
= _ o
Als je de getallen van plaats verwisselt, verandert de som niet.
p
3
9 8
1
2
_
+ – _ = _ – _ = _ q
Neen
6
4
6
3 _
5
2
_
+ = _ 6
( 3 )
6
6
6
12 12
3
8
9
2 + _
1
–_
= – _ + _ = _ 3 4
12 12
12
12
r in woorden: Het optellen is commutatief in q.
s met letters: a, b zijn rationale getallen.
t
3,4 + (–2,5 + 1,5)
[ 3,4 + (–2,5) ] + 1,5
a+b = b+a
3,4 + (–2,5) + 1,5
n
3,4 + (–1) = 2,4
o
De haakjes mogen bij een optelling van rationale getallen verplaatst, geplaatst of weggelaten worden, zonder dat de som verandert.
p
3 _
–6 _
35 _
29
1 + _
2 + _
–1 = _
4 + _
–1 = _
7 + – _
1 = _
_
+
+
= q
Neen
3
2
( 5 )
0,9 + 1,5 = 2,4
( )
3,4 + (–2,5) + 1,5 = 2,4
( )
5
5 30 30 30
6
6
5 _
2 + _
–2
1 + _
–1 = _
2 + _
2 3 20 9 29
_
+ = _ + _ = _ + _ = _ 5
3
2
3 10 10 3 10 30 30 30
[
6
( ) ]
[
]
r in woorden: Het optellen is associatief in q.
s met letters: a, b zijn rationale getallen.
(a + b) + c = a + (b + c) = a + b + c
b
Eigenschappen van het vermenigvuldigen in q
Welke eigenschappen gelden voor het vermenigvuldigen in q ? Volg bij je onderzoek telkens volgende stappen.
t
n
Noteer ten minste twee getalvoorbeelden en ga na of de eigenschap geldt.
o
Kun je een voorbeeld vinden waarbij de eigenschap niet geldt?
p
Noteer de eigenschap volledig in woorden (geef de verzameling, de bewerking en de naam van de eigenschap).
q
Noteer de eigenschap met de letters a, b en c die rationale getallen voorstellen.
Onderzoek of het vermenigvuldigen commutatief is in q.
( )
n 1 = _2 · _6 = _6 · _2 = 1
3 4
3
15
15
3
2 · _
2
– _ = – _
= _ · – _ = – _ 5 4
4
5
2
2
4 3
o Neen.
p in woorden: Het vermenigvuldigen van rationale getallen is commutatief.
q met letters: a, b zijn rationale getallen
t
a·b = b·a
Onderzoek of het vermenigvuldigen associatief is in q.
n
1 ( _32 · _43 ) · _51 = _21 · _51 = _
10
o Neen.
( )
3 _
2 _
1
1
2 3
_
· = _ · _ = _ 3 4 5
2,5 · 0,1 · 2 = 0,25 · 2 = 0,5
3 20
3 _
2 · _
1 1
_
· = _ 3 4 5
10
10
2,5 · (0,1 · 2) = 2,5 · 0,2 = 0,5
(2,5 · 0,1) · 2 = 0,25 · 2 = 0,5
p in woorden: Het vermenigvuldigen van rationale getallen is associatief.
q met letters: a, b, c zijn rationale getallen
t
(ab)c = a(bc) = abc
Is het vermenigvuldigen distributief ten opzichte van het optellen in q?
( )
5 _
29
1 4
24
2 1 2 6
2 1 6
+ = _ n _3 _4 + _5 = _3 · _4 + _3 · _5 = _6 + _5 = _
30 30
30
o Neen.
0,3 (2 + 0,7) = 0,81
( ) 3 ( 20
)
6 _
2 _
1 + _
2 5 24 2 29 29
_
= _ + _ = _ · _ = _ 3 4
5
20
3 20
30
0,3 · 2 + 0,3 · 0,7 = 0,6 + 0,21 = 0,81
p in woorden: Het vermenigvuldigen is distributief t.o.v. het optellen in q.
q met letters: a, b, c zijn rationale getallen
t
a(b + c) = ab + ac
Controleer op dezelfde manier of het vermenigvuldigen distributief is ten opzichte van het aftrekken in q.
( )
( )
( )
3
3 _
–9
4 _
4 3 12
4 –9
_
– = _ _ – _ = _ · _ = _ . . . . . . . . . . . . .................................................................... ................................................................................................................ .. .. .. .. . . . . .
5 8 2
5 8 8
5 8
10
3 _
3 6
3 _
9
4 _
4 3
_
. . . . . . . .·. . . . ....................................................................
.. .. .. .. . . . . .
– 12 = – _ – · _ = _ – _ = _ ................................................................................................................
5 8 5 2
10 5
10 10
10
vermenigvuldigen is distributief
t.o.v. het aftrekken in q.
. . .Het
. . . . . . . . . ....................................................................
................................................................................................................
.. .. .. .. . . . . .
. . . . . . . . . . . . .................................................................... ................................................................................................................ .. .. .. .. . . . . .
G38
Eigenschappen van het optellen en het vermenigvuldigen in q (vervolg)
c
Eigenschappen in symbolen noteren
Eigenschappen kun je volledig in wiskundige symbolen noteren. Deze symbolen bevatten heel wat informatie.
t
t
Beantwoord de vragen in de tabel.
Noteer de symbolen/letters die je al kent in de laatste kolom.
Het optellen is commutatief in q
Vraag
Wat betekent deze eigenschap?
Antwoord
Symbolen/letters
Je mag bij het optellen
de termen van plaats
..................................................................
verwisselen.
..................................................................
..................................................................
..................................................................
Noteer een getalvoorbeeld.
Vervang de getallen in je voorbeeld door
letters.
Uit welke verzameling haal je de getallen?
–2 + 3 = 3 + (–2)
..................................................................
a+b = b+a
Uit de verzameling van
..................................................................
de rationale getallen.
..................................................................
..................................................................
a+b = b+a
a, b Є q
a, b Є q:
a+b = b+a
Geldt de eigenschap voor alle getallen uit die
verzameling?
Ja.
..................................................................
Wiskundetaal – symbolen
∀ betekent ‘voor alle’
: betekent ‘geldt’
Voor alle rationale getallen geldt dat je de termen van
plaats mag verwisselen zonder dat de som verandert.
∀ a, b ∈ q : a + b = b + a
Stappenplan – een eigenschap in wiskundige symbolen noteren
p Vervang de getallen in je voorbeeld door letters.
Het vermenigvuldigen is associatief in q
Je mag de haakjes rond de factoren verplaatsen,
weglaten of toevoegen als je rationale getallen
vermenigvuldigt. Het resultaat blijft hetzelfde.
1 · (–3)
1 ) · (–3) = 2,5 · _
1 · (–3) = (2,5 · _
2,5 · _
2
2
2
a · b · c = (a · b) · c = a · (b · c)
q Ga na voor welke getallen deze eigenschap geldt.
Deze eigenschap geldt voor de rationale getallen (q).
n Zeg in woorden wat de eigenschap betekent.
o Geef een getalvoorbeeld.
[
]
Bepaal de verzameling.
r Ga na of deze eigenschap geldt voor alle getallen
uit die verzameling.
∀ a, b, c ∈ q : a · b · c = (a · b) · c = a · (b · c)
Eigenschap – eigenschappen van de bewerkingen in q
Het optellen is commutatief in q.
Het vermenigvuldigen is commutatief in q.
Het optellen is associatief in q.
Het vermenigvuldigen is associatief in q.
Het vermenigvuldigen is distributief t.o.v. het optellen in q.
∀ a, b ∈ q : a + b = b + a
∀ a, b ∈ q : a · b = b · a
∀ a, b, c ∈ q : (a + b) + c = a + (b + c) = a + b + c
∀ a, b, c ∈ q : (a · b) · c = a · (b · c) = a · b · c
∀ a, b, c ∈ q : a · (b + c) = a · b + a · c
Oefeningen
24 Reken handig uit door gebruik te maken van eigenschappen.
a
b
2,5 · (–7) · (–0,4)
2,5 · 0,4 · 7
=
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .........................
=
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .........................
=
_ _ _ 3 _
5 _
9
_
+
–
+ 1 = ..................................................
. . . . . . . . .. . . . . .
d
13
8 + _
2 + _
_
16
12
1·7 = 7
– 0,25
3,7 + 5,49 + 2,3 – 0,25 = . .6
. . . . .+
. . . . .5,49
. . . . . . . . . . . .........................
3
5
3
–
+
+ 1
MEER?
4
4
16
493
16
5
21
_
_
_
+
= . . . . . . . . . . . . . .
= ..................................................
16
16
16
13
8
2 + _
_
= ..................................................
+ _. . . . . . . . . . . . . .
15
15
9
8
8
9
17 _
1 + _ = _ +. . . . . ._. . . . . . . =
= ..................................................
.
9
9
9
9
c
4
15
( 9
15
11,24
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .........................
)
25 Formuleer de eigenschappen die in deze oefeningen worden toegepast.
a
b
5 _
5
–11 = _
–11
–2 · _
+
· _ ( _
( 13–2 + _
11 13 )
11 )
5
5
3 _
5 4
3 5 3 4
_
· + _ = _ · _ + _ · _ 4 (6 3) 4 6 4 3
Het
optellen is commutatief in q.
........................................................................................................................
...............
Het
vermenigvuldigen is distributief t.o.v. het
........................................................................................................................
...............
optellen in q.
26 Noteer deze eigenschappen volledig in symbolen.
a
Het vermenigvuldigen is commutatief in q.
b
Het optellen is associatief in ℤ.
c
Het vermenigvuldigen is distributief ten opzichte
van het optellen in q.
∀ a, b ∈ q: a · b = b · a
∀ a, b,c ∈ ℤ: (a + b) + c = a + (b + c)
.....................................................................................................
...............
= a+b+c
.....................................................................................................
...............
∀ a, b, c ∈ q: a · (b + c) = a · b + a ·. . c. . . . . . . . . . . . .
.....................................................................................................
∀ a, b, c ∈ q: (a · b) · c = a · (b · c) = a · b · c
WEER?
495
496
MEER?
497
WEER?
499
WEER?
498
..................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . .
WEER?
499
..................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . .
27 Noteer deze eigenschappen in woorden.
a
WEER?
492
Het
vermenigvuldigen is associatief .in
....................................................................................................
. . . . . . .q.
.. . . . . . .
WEER?
499
.................................................................................................... . . . . . . . . .. . . . . . .
b
28 t
t
∀ a, b, c ∈ q: a · (b – c) = a · b – a · c
Het
vermenigvuldigen is distributief . t.o.v.
....................................................................................................
. . . . . . . .. . . . . . .
het
optellen in q.
....................................................................................................
. . . . . . . . .. . . . . . .
Zijn deze uitspraken waar of niet waar?
Als de uitspraak niet waar is, geef je een tegenvoorbeeld.
WEER?
500
De som van twee negatieve rationale getallen is
steeds een negatief rationaal getal.
ı waar
ı niet waar
................................................................... . . . . . . . . .. . . . . .
Het product van een even en een oneven natuurlijk
getal is steeds een even natuurlijk getal.
ı waar
ı niet waar
.................................................................... . . . . . . . . . . . . . .
c
De som van twee opeenvolgende gehele getallen
is steeds een even getal.
ı waar
ı niet waar
3....................................................................
+ 4 = 7, 7 is niet even
..............
d
Het kwadraat van een oneven getal is steeds een
oneven getal.
ı waar
ı niet waar
................................................................... . . . . . . . . .. . . . . .
a
b
Wat moet je kunnen?
τ de eigenschappen in woorden formuleren
τ de eigenschappen herkennen in berekeningen
τ de eigenschappen gebruiken om handig te rekenen
τ de eigenschappen volledig in symbolen formuleren
τ de eigenschappen in symbolen kunnen vertalen in
woorden