Meetkundige figuren

MEETKUNDE
voor de basisvorming en het vmbo.
ten behoeve van slechtzienden
en
van leerkrachten met een
brailleleerling in de klas
Uitgave van de
Wiskunde Werkgroep
Visueel Gehandicapten
INLEIDING
Meetkunde voor de basisvorming en het vmbo geeft
een overzicht van alle meetkundige figuren en hun
eigenschappen. Het is bruikbaar naast elke wiskundemethode.
Zoals uit het titelblad blijkt is deze uitgave bedoelt voor
slechtziende leerlingen.
Voor brailleleerlingen is er een tekeningenband op
zwelpapier, aangevuld met een tekstbestand. De
brailleleerling kan de tekst lezen via de brailleleesregel.
Deze uitgave is ook bedoeld om de leerkracht van de
brailleleerling te voorzien van tekst en tekeningen in
zwartschrift (dus leesbaar voor zienden).
September 2003,
R. van Tilburg
Inhoudsopgave:
1 Cirkels
2 Hoeken
3 Driehoeken
3.1
Willekeurige driehoek
3.2
Rechthoekige driehoek
3.3
Gelijkbenige driehoek
3.4
Gelijkzijdige driehoek
4 Bijzondere lijnen in driehoeken
4.1
Zwaartelijnen
4.2
Hoogtelijnen
4.3
Hoekdeellijn
4.4
Middelloodlijn
5 Formules in driehoeken
6 Stelling van Pythagoras
7 Vierhoeken
7.1
Willekeurige vierhoek
7.2
Rechthoek
7.3
Ruit
7.4
Vierkant
7.5
Parallellogram
7.6
Vlieger
7.7
Trapezium
8 Goniometrie
1 Cirkels
In de eerste cirkel is:
M = middelpunt
r = straal
oppervlakteformule:
O = π.r2
In de tweede cirkel is
M = middelpunt
d = diameter
d = 2.r
omtrekformule:
P =2.π.r = π.d
In deze formules is pi de bekende 3,14 afgerond. Je
kan voor de berekeningen met pi gebruik maken van
een rekenmachine zoals de quickcalculator.
M
d
r
M
Cirkel 1
Cirkel 2
2 Hoeken
Hoek A is een scherpe hoek.
Hoek B is een stompe hoek.
Hoek C is een rechte hoek.
Een rechte hoek wordt vaak aangegeven met een
haakje, zoals in hoek C.
A
B
C
3 Driehoeken
3.1 willekeurige driehoek
Van elke van de drie getekende driehoeken zijn de
zijden en de hoeken verschillend van grootte.
Omdat driehoek ABC en driehoek PQR elk drie
scherpe hoeken hebben, worden ze scherphoekige
driehoeken genoemd.
Driehoek KLM is een stomphoekige driehoek, omdat
één van de hoeken stomp is. De stompe hoek is hoek
K.
Eigenschap:
In elke driehoek is de som van de drie hoeken 180°.
R
C
A
B
Q
P
M
K
L
3.2 Rechthoekige driehoek
Als een driehoek een rechte hoek bezit wordt het een
rechthoekige driehoek genoemd.
Op deze bladzijde zijn drie rechthoekige driehoeken
getekend. De rechte hoeken zijn aangegeven met
een haakje.
C
F
A
B
D
E
M
L
K
3.3 Gelijkbenige driehoek
Een driehoek is gelijkbenig als twee van de zijden van
gelijke lengte zijn.
In elke gelijkbenige driehoek zijn twee hoeken even
groot. Deze twee worden vaak basishoeken
genoemd. In de vier gelijkbenige driehoeken zijn die
basishoeken aangegeven met een enkel boogje. De
derde hoek heet dan tophoek; deze zijn in de
driehoeken ABC en DEF aangegeven met een dubbel
boogje. In de driehoeken KLM en PQR is de tophoek
aangegeven met een haakje, omdat het rechte
hoeken zijn.
Driehoek KLM en DEF zijn gelijkbenige rechthoekige
driehoeken.
E
C
F
B
A
D
R
M
K
L
P
Q
3.4 Gelijkzijdige driehoek
Driehoek STU heeft drie gelijke zijden en ook drie
gelijke hoeken. Het is een gelijkzijdige driehoek.
U
S
T
4 Bijzondere rechten in driehoeken
4.1 Zwaartelijn
Een zwaartelijn verbindt een hoekpunt met het midden
van de overstaande zijde.
In de eerste driehoek is de zwaartelijn CD getekend
vanuit de top van de driehoek naar het midden van de
basis.
In de tweede driehoek zijn alle drie de zwaartelijnen
getekend. Deze drie zwaartelijnen snijden elkaar in
één punt. Dat punt heet het zwaartepunt van de
driehoek en wordt meestal aangegeven met de letter
Z.
C
A
D
B
C
Z
A
B
4.2 Hoogtelijn
Een hoogtelijn gaat door een hoekpunt en staat
loodrecht op de overstaande zijde.
In de bovenste driehoek is de hoogtelijn BE getekend.
In de tweede tekening zijn de drie hoogtelijnen
getekend. Deze hoogtelijnen gaan door één punt, dat
het hoogtepunt H wordt genoemd.
Hoogtelijnen spelen een rol in de oppervlakteformule
van driehoeken.
C
E
A
B
C
H
A
B
4.3 Hoekdeellijn of bissectrice
Een hoekdeellijn deelt een hoek in twee gelijke delen.
In de eerste driehoek is de deellijn van hoek A
getekend. De gelijke delen van hoek A zijn
aangegeven met een stip.
In de tweede driehoek zijn de drie hoekdeellijnen
getekend. Ze gaan alle drie door één punt, meestal
aangegeven met de letter I.
C
A
B
C
I
A
B
4.4 Middelloodlijn
Een middelloodlijn gaat door het midden van een zijde
en staat loodrecht op die zijde.
In de eerste driehoek is de middelloodlijn getekend
van de zijde AC.
In de tweede driehoek zijn de drie middelloodlijnen
getekend. Ze gaan alle drie door één punt, meestal
aangeven met M.
C
A
B
C
M
A
B
5 Formules in driehoeken
In de beide driehoeken geldt:
b = basis
h = hoogte
oppervlakteformule:
O = 1/2 .basis .hoogte
of
O = 1/2 .b .h
bh
.
O=
2
of
omtrek: tel de lengten van de zijden bij elkaar op.
h
b
b
h
6 Stelling van Pythagoras
De stelling van Pythagoras geldt alleen in een
rechthoekige driehoek.
Het is handig de zijden van de driehoek aan te geven
met een kleine letter. Dat is ook gedaan in de beide
driehoeken.
In driehoek ABC geldt: a2=b2+c2
In driehoek PQR geldt: p2 =q2 +r2
C
a
b
A
B
c
P
r
Q
q
p
R
7 Vierhoeken
7.1 Willekeurige vierhoeken
In een willekeurige vierhoek vind je geen gelijke zijden
en geen gelijke hoeken.
Een lijn die twee hoekpunten verbindt, maar geen
zijde is, heet diagonaal.
Een vierhoek heeft twee diagonalen.
In vierhoek PQRS zijn de beide diagonalen getekend.
Eigenschap:
De vier hoeken in elke vierhoek zijn samen 360
graden.
C
D
R
A
B
S
Q
P
7.2 Rechthoek
In beide rechthoeken geldt:
l = lengte
b = breedte
Eigenschappen van de rechthoek:
- twee paar gelijke zijden (l en b)
- twee paar evenwijdige zijden
- vier rechte hoeken
- diagonalen van gelijke lengte
Oppervlakteformule:
O = l.b
Omtrekformule:
P = 2.l + 2.b
C
D
b
S
A
B
l
R
P
b
l
Q
7.3 Ruit
Eigenschappen van de ruit:
- vier gelijke zijden
- twee paar gelijke hoeken
- twee paar evenwijdige zijden
- diagonalen snijden elkaar met een rechte hoek
- diagonalen delen elkaar middendoor
- diagonalen delen elke hoek in twee gelijke delen
Oppervlakteformule:
O = basis .hoogte
of O = b .h
Omtrekformule:
P =4 .zijde
M
C
D
h
L
N
S
A
b
B
K
7.4 Vierkant
Eigenschappen van het vierkant:
- vier gelijke zijden
- vier rechte hoeken
- diagonalen van gelijke lengte
- diagonalen staan loodrecht op elkaar
- diagonalen delen elkaar middendoor
- diagonalen delen de hoeken in twee gelijke delen
Oppervlakteformule:
O = z .z
of
O = z2
Omtrekformule:
P = 4 .z
M
C
D
L
N
S
K
A
R
B
z
P
Q
7.5 Parallellogram
Eigenschappen van het parallellogram:
- twee paar evenwijdige zijden
- twee paar gelijke zijden
- diagonalen delen elkaar middendoor
oppervlakteformule:
O = basis .hoogte
of
O = b .h
omtrek: lengten van de zijden bij elkaar optellen
N
M
S
D
C
h
A
b
K
B
L
7.6 Vlieger
Eigenschappen van de vlieger:
- twee paar gelijke zijden
- twee gelijke hoeken
- de ene diagonaal wordt door de andere
middendoor gedeeld
- de diagonalen maken een rechte hoek met elkaar
C
D
B
S
N
K
S
L
A
M
7.7 Trapezium
Een trapezium heeft één paar evenwijdige zijden.
Bij het tweede trapezium zijn twee zijden gelijk.
Trapezium KLMN wordt daarom een gelijkbenig
trapezium genoemd.
C
D
B
A
N
K
M
L
8 Goniometrie
In alle drie de getekende rechthoekige driehoeken geldt:
o = overstaande zijde van hoek A
a = aanliggende zijde van hoek A
s = schuine zijde
Voor hoek A geldt nu in elke getekende driehoek:
o
sin (hoek A) = sin = s
a
cos (hoek A) = cos = s
o
tan (hoek A) = tan  = a
s
o

A
a
A
a
o
a

A
s

s
o