Hoofdstuk 3: De cirkel

Wiskunde: meetkunde eerste graad
Herhaling meetkunde eerste graad
Herhaling van enkele belangrijke begrippen, definities, eigenschappen, …
Deze leerstof is parate kennis die je de volgende jaren nodig zult
hebben tijdens de lessen wiskunde. Studeer dit nog eens en herhaal
het geregeld.
1. Notaties in de meetkunde
Punten noteert men met grote letters.
Rechten noteert men met kleine letters.
Lijnstukken noteert men als AB, CD 
Een hoek kan op verschillende manieren
genoteerd worden: ACˆ B of BCˆ A of Ĉ (deze laatste
notatie kan enkel als er geen twijfel mogelijk is.
Soms wordt een hoek aangeduid met een griekse
letter, bijvoorbeeld  (alpha)  (bèta),  (gamma), 
(delta), …
2. Bijzondere rechten
1. De bissectrice van een hoek
De bissectrice (of deellijn) van een hoek is een lijn die de hoek in twee aan elkaar
gelijke hoeken verdeelt.
De bissectrice van een hoek vinden we met behulp van een passer in twee
stappen:
1. Eerst stellen we de passer in op een willekeurige straal; we plaatsen de punt
van de passer op het hoekpunt en markeren de snijpunten
van de cirkel en de beide lijnen;
2. Hierna plaatsen we de punt van de passer achtereenvolgens
op elk van de snijpunten en tekenen we een cirkelsegment
ongeveer midden tussen de lijnen.
1
Wiskunde: meetkunde eerste graad
2. Middelloodlijn van een lijnstuk

De middelloodlijn van lijstuk AB is de lijn die door het
midden van het lijnstuk AB gaat en loodrecht op AB staat.

Anders geformuleerd: De middelloodlijn op het lijnstuk AB
is de verzameling van punten op gelijke afstand van A en B
3. Definitie van een driehoek
Een driehoek is een vlakke figuur die ontstaat door drie punten te verbinden. Deze
drie punten - hoekpunten genaamd - mogen niet samen op één rechte lijn liggen.
-
Voor de hoekpunten gebruiken we opeenvolgende hoofdletters: bv. A, B, C.
De hoeken noteren we als  , B̂ , Ĉ of met griekse letters α, β, γ.
De lengtes van de zijden noteren we als volgt: de lengte van de zijde BC 
tegenover het hoekpunt A noteren we als BC of als a.
4. Soorten driehoeken op basis van de hoeken



scherpe driehoek: alle hoeken zijn kleiner dan 90 graden.
rechthoekige driehoek: één van de hoeken is 90 graden.
stompe driehoek: één van de hoeken is groter dan 90 graden.
2
Wiskunde: meetkunde eerste graad
5. Bijzondere driehoeken
a) Een gelijkzijdige driehoek heeft drie even lange zijden. De
drie hoeken in een gelijkzijdige driehoek zijn even gelijk: 60°.
Eigenschap 1:
Eigenschap 2:
de drie hoeken van een gelijkzijdige driehoek
zijn even groot, namelijk 60°.
in een gelijkzijdige driehoek vallen de
zwaartelijn, de hoogtelijn en de bissectrice
vanuit ieder hoekpunt samen. Deze lijnen zijn
dus de middelloodlijnen van de overstaande zijden.
b) Een gelijikbenige driehoek is een driehoek waarbij minstens twee zijden
even lang zijn. De basishoeken van een gelijkbenige driehoek zijn gelijk.
Opmerking: dit betekent dat elke gelijkzijdige driehoek ook gelijkbenig is.
Eigenschap 1:
Eigenschap 2:
in een gelijkbenige driehoek zijn de beide
hoeken die aan de derde zijde grenzen
(de basishoeken) aan elkaar gelijk.
In een gelijkbenige driehoek vallen de
hoogtelijn en de zwaartelijn uit de top
samen.
6. Lijnen in een driehoek

Een zwaartelijn verbindt een hoekpunt met het midden van
de overstaande zijde. Je kan er drie tekenen in een driehoek.
De drie zwaartelijnen van een driehoek snijden elkaar in 1
punt: het zwaartepunt.

Een hoogtelijn is een rechte door een hoekpunt loodrecht
op de overstaande zijde. Je kan er drie tekenen in een
driehoek. De drie hoogtelijnen van een driehoek snijden
elkaar in 1 punt: het hoogtepunt

Een middelloodlijn is een rechte die loodrecht staat op
een zijde en door het middelpunt van die zijde gaat. Je
kan er drie tekenen in een driehoek. Deze drie
middelloodlijnen snijden elkaar in 1 punt. (op de figuur
hiernaast zijn slechts 2 middelloodlijnen getekend).
3
Wiskunde: meetkunde eerste graad
7. Congruentiekenmerken van driehoeken
ABC  A' B' C '

AB  A' B'
AC  A' C '
en
BC  B' C '
Aˆ  Aˆ '
Bˆ  Bˆ '
Cˆ  Cˆ '
Als twee driehoeken congruent zijn, dan gelden deze zes gelijkheden.
Het omgekeerde is ook waar, als deze 6 gelijkheden gelden, dan zijn de twee
driehoeken congruent.
Je kan deze gelijkheden bundelen in drie congruentiekenmerken:
Kenmerk 1: ZHZ
Twee driehoeken zijn congruent als twee zijden van de eerste
hoek even lang zijn als twee zijden van een andere driehoek en
de ingesloten hoeken even groot zijn.
Kenmerk 2: HZH
Twee driehoeken zijn congruent als één paar zijden van de
twee driehoeken even lang zijn en de twee paar aanliggende
hoeken gelijk zijn.
Kenmerk 3: ZZZ
Twee driehoeken zijn congruent als 3 zijden van de eerste
driehoek even lang zijn als 3 zijden van de andere driehoek.
Kenmerk voor rechthoekige driehoeken (ZZ90°)
Twee rechthoekige driehoeken zijn congruent als de schuine
zijde en een rechthoekszijde van de ene driehoek even lang zijn
als de schuine zijde en een rechthoekszijde van de andere
driehoek.
4
Wiskunde: meetkunde eerste graad
8. Eigenschappen van hoeken
Voor twee evenwijdige rechten en een snijlijn geldt:
1.
twee overeenkomstige hoeken zijn
even groot
2.
twee verwisselende binnenhoeken
zijn even groot
3.
twee verwisselende buitenhoeken
zijn even groot
4.
Twee scherpe hoeken of twee
stompe hoeken waarvan de benen
paarsgewijs loodrecht op elkaar
staan, zijn even groot.
5.
de som van twee binnenhoeken aan
een zelfde kant van de snijlijn is
180°:
6.
de som van twee buitenhoeken aan
een zelfde kant van de snijlijn is
180°:
5
Wiskunde: meetkunde eerste graad
9. Omtrek en oppervlakte van vlakke figuren
10.
Oppervlakte en inhoud van ruimtefiguren
6