MS2 en MS3 starten vanaf dinsdag 16 Januari 2007

H10. Basiskennis meetkunde.
§10.1
Hoeken, F-hoek en Z-hoek.
Een rechte hoek is 90°.
90ᴼ
└
Een gestrekte hoek is 180°.
180°
Als 2 lijnen elkaar snijden, zijn de overstaande hoeken gelijk.
b
a
a
b
Een lijn die loopt door 2 evenwijdige lijnen maakt een F-hoeken en Zhoeken.
F-hoek:
met overstaande hoeken:
a
ab
ba
a
ab
ba
Z-hoek
a
a
Afstand tussen punt A en een lijn is kortste verbinding tussen punt A en de
lijn en dat is de loodlijn.
V= voetpunt= het punt waar de loodlijn de lijn snijdt.
●A
┘└
§10.2 Driehoeken.
10.2.1 Som van de hoeken van een driehoek is 180°
b
a
c
a+b+c= 180
10.2.2 De driehoeksongelijkheid.
B
A
C
De driehoeksongelijkheid houdt in dat geldt │AB│ + │BC│ > │AC│:
Een rechte lijn is altijd de kortste afstand is tussen 2 punten.
10.2.3 Stelling van Pythagoras.
Stelling van Pythagoras: a2 + b2= c2
Voorwaarde: Rechte hoek in C.
A
c
B
b
a
C
Bekende standaardverhoudingen:
13
5
5
4
3
12
10.2.4 Cosinusregel.
In elke driehoek geldt: c2= a2 + b2 – 2abcos γ
α
c
b
β
γ
a
Er geldt:
c2= a2 + b2 – 2abcos γ
a2= b2 + c2 – 2abcos α
b2= a2 + c2 – 2abcos β
Sinusregel.
a/sin α= b/sin β= c/ sin γ
10.2.5 Congruente driehoeken.
2 driehoeken zijn gelijk als tenminste een van de volgende voorwaarden
geldt.
HZH: Een zijde is gelijk en de hoeken van die zijde is ook gelijk.
a
b
a
b
A
A
ZHH: Een zijde is gelijk, een hoek van de zijde is gelijk en de daar aan
grenzende hoek is ook weer gelijk.
b
b
a
a
A
A
ZHZ: Twee zijden zijn gelijk en de hoek die de zijden verbindt is gelijk.
B
B
a
a
A
A
ZZZ: Drie zijden hebben een gelijke lengte.
b
c
b
c
a
a
ZZR: Twee even lange zijden en een rechte hoek tegenover een van die
zijden.
b
└
a
b
└
a
10.2.6 Gelijkvormige driehoeken.
2 driehoeken zijn gelijkvormig als ze tenminste aan een van de volgende
voorwaarden voldoen.
HH: De driehoeken hebben 2 gelijke hoeken.
a
b
a
b
ZHZ: De driehoeken hebben een gemeenschappelijke hoek en de verhouding van
de aanliggende zijden is gelijk.
B
Bx
a
A
a
Ax
ZZZ: De zijden van de driehoeken hebben gelijke verhoudingen.
c
b
cx
a
bx
ax
ZZR: De driehoeken hebben een rechte hoek en de verhouding van 2 zijden is
gelijk.
a
b
ax
└
bx
└
10.2.7 Gelijkbenige driehoek.
2 driehoeken zijn gelijkbenig als tenminste een van de volgende voorwaarden
geldt.
- Twee hoeken zijn gelijk: α=α
- De overliggende zijden zijn gelijk: A=A
Als α=α -> A=A
Als A=A -> α=α
A
A
α
α
§10.3 Vierhoeken.
In elke vierhoek geldt dat de som van de hoeken gelijk is aan 360°.
a
b
d
c
a+b+c+d= 360°
Parallellogram.
In een parallellogram geldt altijd:
- dat 2 overstaande zijden gelijk en evenwijdig zijn (a=c en b=d).
- dat de diagonalen elkaar doormidden delen.
d
a
y
x
x
b
y
c
Ruit.
In een ruit geldt hetzelfde wat voor een parallellogram geldt, maar ook
nog:
- Alle zijden zijn gelijk.
- 2 tegenover elkaar liggende hoeken zijn gelijk.
- Diagonalen snijden elkaar doormidden met een recht hoek.
a
xx
a
∟
a
a
Rechthoek.
Een rechthoek is een vierkant met 4 rechte hoeken.
De diagonalen van de rechthork delen elkaar doormidden in even lange
lijnstukken.
Trapezium.
a=a
b evenwijdig met c
α=α, β=β en α + β= 180°
b
β
β
a
a
α
α
c
§10.4 Cirkel.
Cirkel heeft middelpunt M met straal r en de cirkel geeft alle punten met
afstand r van het middenpunt M.
r
M
r
Eigenschappen van een cirkel:
Omtrek= 2πr
Oppervlakte= πr2
Bij gelijke bogen horen gelijke koorden.
a
a
b
b
Loodlijn vanuit het middelpunt van de cirkel op de koorde deelt die koorde
middendoor.
M
a
a
Raaklijn aan een punt op een cirkel staat loodrecht op de lijn van het
midden van de cirkel naar dat punt.
M
┘
Omtrekshoek en middelpuntshoek.
Als ABC op een cirkel liggen, is ACB de omtrekshoek en is ACM de
middelpuntshoek.
C
A
M
B
Omgeschreven cirkel
Ingeschreven cirkel.
C
K
A
B
L
M
M
N
AM= BM= CM
Voetpunten: K, L en N
KM= LM= NM
H11 Bewijzen meetkunde.
§11.1 De stelling van de 3 middelloodlijnen van een driehoek.
De middelloodlijn is de lijn van punten die even ver liggen van A en B.
A●
A●
●B
B●
De stelling van de 3 middelloodlijnen van een driehoek.
De drie middelloodlijnen van de lijnstukken AB, BC en CA gaan door
hetzelfde punt M. M is het midden van de omschreven cirkel, dus AM=BM=CM.
C
C
C
M
A
B
M
A
B
A
B
Gegeven zijn 2 van de 3 middelloodlijnen en je moet bewijzen dat de derde
middelloodlijn ook door M gaat.
C
M
A
B
Als je kan bewijzen dat AM=CM volgt dat de middelloodlijn door M gaat (want
dan A en C even ver van M= definitie van loodlijn).
M
M
A
AM=BM (Pythagoras)
B
B
BM=CM (Pythagoras)
C
-> Dus BM=CM
§11.2 De stelling van de 3 deellijnen van een driehoek.
De deellijn is de lijn die de hoek door midden deelt.
Alle punten op de deellijn liggen even ver af van de aanliggende zijden van
de hoek.
*
*
De stelling van de 3 deellijnen van een driehoek.
De drie deellijnen van hoekpunten A, B, en C gaan door hetzelfde punt M.
M is het midden van de ingeschreven cirkel, dus als K, L en N de voetpunten
geldt: KM=LM=NM.
C
C
C
-N
M
L
M
+
B
+
B
B
K
* *
A
A
A
Gegeven zijn 2 van de 3 deellijnen en de 3 voetpunten en je moet bewijzen
dat de derde deellijn ook door M gaat.
C
N
L
M
B
K
A
Als je kan bewijzen dat MK=MN volgt dat de deellijn uit A door M gaat, want
dan voetpunten K en N even ver van M (=definitie deellijn).
ΔKMB en ΔLMB zijn congruente driehoeken.
2 gelijke hoeken (rechte hoek bij voetpunten L en M + ∟B) en een gelijke
zijde (MB) en dus gelijke driehoek: MK=ML
ΔLMC en ΔNMC zijn congruente driehoeken.
2 gelijke hoeken (rechte hoek bij voetpunten L en N + ∟C) en een gelijke
zijde (MC) en dus gelijke driehoek: ML=MN
->
MK=MN
§11.3 De stelling van de 3 zwaartelijnen van een driehoek.
De zwaartelijn gaat vanuit het hoekpunt naar het midden van de overliggende
zijde.
De stelling van de 3 zwaartelijnen van een driehoek.
De drie deellijnen van hoeken A, B, en C gaan door hetzelfde punt S.
S deelt de zwaartelijnen doormidden in een verhouding 2:1
C
R
CS:SP= 2:1
BS:SR= 2:1
AS:SQ= 2:1
Q
S
A
B
P
Gegeven zijn:
Driehoek ABC met zwaartelijnen AQ en CP door S1.
Driehoek ABC met zwaartelijnen BR en CP door S2.
Bewijs S1=S2
Driehoek 1
Driehoek 2
C
C
Q
R
S1
S2
A
B
P
Q’
A
B
R’
P
Driehoek 1:
Trek Q naar AB evenwijdig aan CP (dus gelijkvormige driehoeken AS1P met
AQQ´ en CPB met QQ´B met gelijke verhoudingen van zijden) ->
AP : PQ´ : Q´B= 2 : 1 : 1
CP : QQ`= 2 : 1
QQ´ : S1P= 3 : 2
Stel QQ´= 3a ->
S1P= 2a en CP= 6a
CS1 : S1P= 2
->
Driehoek 2:
Trek R naar AB evenwijdig aan CP (dus gelijkvormige driehoeken BS2P met
BRR´ en CPA met RR´A met gelijke verhoudingen van zijden) ->
BP : PR´ : R´A= 2 : 1 : 1
CP : RR`= 2 : 1
RR´ : S2P= 3 : 2
Stel RR´= 3a ->
S2P= 2a en CP= 6a
CS2 : S2P= 2
CS1 : S1P= 2
CS2 : S2P= 2
S1= S2
->
->
§11.4 De stelling van de 3 hoogtelijnen van een driehoek.
De hoogtelijn gaat vanuit een hoekpunt van een driehoek loodrecht naar de
tegenoverliggende zijde.
└
De stelling van de 3 hoogtelijnen van een driehoek.
De drie hoogtelijnen gaan door hetzelfde punt.
└
Gegeven zijn de 3 hoogtelijnen en je moet bewijzen dat 3 lijnen door
hetzelfde punt gaan.
Teken een driehoek rond de driehoek met AC//A´C´ etc.
B’
C
A’
D
E
A
F
B
C’
BE loodrecht op AC en dus
AD loodrecht op BC en dus
CF loodrecht op AB en dus
Dus 3 middelloodlijnen en
hetzelfde punt.
ook op A´C´ en dus
ook op B´C´ en dus
ook op A´B´ en dus
3 middelloodlijnen
middelloodlijn op A´C´.
middelloodlijn op B´C´.
middelloodlijn op A´B´.
van een driehoek gaan door