Voorwaarden voor gelijkvormigheid van veelhoeken

Hoofdstuk 5 : Gelijkvormige figuren
Gelijkvormige veelhoeken
Als we een figuur op een schaal tekenen, worden alle afmetingen vermenigvuldigd met hetzelfde
getal, en blijven alle hoeken hetzelfde. Figuren die een vergroting of een verkleining zijn van elkaar, hebben
dezelfde vorm. Het zijn gelijkvormige figuren. Het getal waarmee alle getalen vermenigvuldigd worden
noemen we het gelijkvormigheidsfactor.
Congruente figuren hebben dezelfde vorm en dezelfde vorm en dezelfde afmetingen.
In gelijkvormige veelhoeken noemen we de elementen die bij een vergroting of een verkleining in
elkaar worden omgezet , gelijkvormige elementen :

[AB] en [PQ], [BC] en [QR], …

IABI en IPQI, IBCI en IQRI, …
Zijn overeenkomstige lengtes (de lengte van de zijde)

 en 𝑃̂ , …
Zijn overeenkomstig hoeken
zijn overeenkomstige zijden (de zijde zelf)
De overeenkomstige hoeken worden in dezelfde volgorde genoteerd !
Voorbeeld : ABCDE ~ PQRST
De oppervlakte van twee gelijkvormige figuren verhouden zich als het kwadraat van de
gelijkvormigheidsfactor.
𝑜𝑝𝑝 𝐴′𝐵′𝐶′𝐷′
𝑜𝑝𝑝 𝐴𝐵𝐶𝐷
= 2² = 4
Voorwaarden voor gelijkvormigheid van veelhoeken
Als in twee velhoeken :

De hoeken van de ene veelhoek, gelijk zijn, twee aan twee, aan de hoeken van de hoeken andere
veelhoek.
En

De zijden van de ene veelhoek evenredig zijn met de zijden van de andere veelhoek, dan pas zijn
deze veelhoeken gelijkvormig.
Voorbeeld
De voorwaarden voor gelijke hoeken en voor evenredige zijden zijn allebei noodzakelijk voor
gelijkvormigheid.
De hoeken van het vierkant ABCD zijn gelijk aan die van de rechthoek PQRS, maar de zijden zijn niet evenredig.
De zijden van het vierkant ABCD zijn evenredig aan die van de ruit EFGH maar de hoeken zijn niet evenredig.
Gelijkvormigheidskenmerken van driehoeken
Op de basis van een minimaal aantal waarden, kunnen we besluiten dat driehoeken gelijkvormig zijn. Deze
voorwaarden noemen we gelijkvormigheidskenmerken.

Gelijkvormigheidskenmerk “
𝑍𝑍𝑍
𝑍𝑍𝑍
”
Twee driehoeken zijn gelijkvormig als de drie zijden van de ene driehoek evenredig zijn met de drie
zijden van de andere driehoek.

𝑍
𝑍
𝑍
𝑍
Gelijkvormigheidskenmerk “ H ”
Twee driehoeken zijn gelijkvormig als twee zijden van de ene driehoek evenredig zijn met twee
zijden van de andere driehoek en de ingesloten hoeken gelijk zijn.

Gelijkvormigheidskenmerk “H H”
Twee driehoeken zijn gelijkvormig als twee hoeken van de ene driehoek gelijk zijn aan twee hoeken
van de andere driehoek.
Gelijkvormige driehoek met gelijkvormigheidsfactor 1 zijn congruente driehoeken → Congruentie is
dus een bijzonder geval van gelijkvormigheid.
Berekeningen in gelijkvormige driehoeken
Eigenschappen van driehoeken
Midden parallel
Een middenparallel van een driehoek verbindt de middens van twee zijden van een driehoek.
Eigenschap
Een middenparallel van een driehoek is evenwijdig met de derde zijde van de driehoek en is half zo lang als
die zijde.
Omgekeerde eigenschap
Een rechte die door het midden van een zijde van een driehoek gaat en die evenwijdig is met de andere zijde,
gaat door het midden van de derde zijde
Zwaartepunt
Een zwaartelijn van een driehoek verbindt een hoekpunt van de driehoek met het midden van de overstaande
zijde
Eigenschap
Twee zwaartelijnen van een driehoek verdelen elkaar in twee stukken, 1/3 en 2/3. Het gedeelte dat de hoek
aanraakt, is dubbel zo lang als het andere.
BZ is dubbel zo lang als ZN.
Metrische betrekkingen in een driehoek
Eigenschap voor de hoogte op een schuine zijde
In een rechthoekige driehoek is het kwadraat van de hoogte op e schuine zijde gelijk aan het product van de
stukken waarin ze de schuine zijde verdeelt.
H² = b’ x c’
Eigenschap voor een rechthoekzijde
In een rechthoekige driehoek is een rechthoekzijde middelevenredig tussen de schuine zijde en haar
loodrechte projectie op de schuine zijde.
b² = a x b’
Homothetieën
We zeggen dat P’Q’R’S’T’ het beeld is van PQRST door een homothetie met factor 2.
We noteren h(C,2)(PQRST) = P’Q’R’S’T’
Een homothetie kan ook een negatieve factor hebben.
We noteren h(C,-2)(PQRST) = P’Q’R’S’T’
Eigenschappen van Homothetieën
Een homothetie :

Bewaart de hoekgrootte

Beeldt een lijnstuk met lengte L af op een lijnstuk met lengte r x L (r = gelijkvormigheidsfactor)

Beeldt een figuur met oppervlakte a af op een figuur met r² x a

Beeldt een rechte af op een evenwijdige rechte.
Toepassing
Evenwijdige projectie in een vlak
Een schaduwvorming door lichtstralen noemen we een projectie. Zijn de stralen evenwijdig, zoals zonnestralen,
dan spreken van een evenwijdige projectie.
Een evenwijdige projectie in een vlak wordt bepaald door twee snijdende rechten:

Een rechte as waarop het geprojecteerd wordt = projectieas

Een rechte die de projectierichting bepaalt.
We noteren de projectie op de rechte a volgens de rechte b als P ba . De rechte PP’ is een rechte parallel met b.
Eigenschap van een evenwijdige projectie
De verhouding van de lengtes van twee evenwijdige lijnstukken is dezelfde als de verhouding van de lengtes
van hun evenwijdige projecties op een rechte.
Stelling van Thales
Een evenwijdige projectie bewaart de lengte van de lijnstukken niet. Bij het projecteren blijft de verhouding van
de lengtes van evenwijdige lijnstukken wél gelijk.
Eigenschap van de stelling van Thales
Evenwijdige rechten snijden van twee snijlijnen evenredige lijnstukken af.
Eigenschap in een driehoek
Een rechte die evenwijdig is met een zijde van de driehoek verdeelt de andere zijden in evenredige
lijnstukken.