Meetkunde

Meetkunde voor de basisvorming en het vmbo.
Uitgave van de Wiskunde Werkgroep
Inhoudsopgave:
1 cirkels
2 hoeken
3 driehoeken
3.1 willekeurige driehoek
3.2 rechthoekige driehoek
3.3 gelijkbenige driehoek en gelijkzijdige driehoek
4 bijzondere lijnen in driehoeken
4.1 zwaartelijnen
4.2 hoogtelijnen
4.3 hoekdeellijn
4.4 middelloodlijn
5 formules in driehoeken
6 stelling van Pythagoras
7 vierhoeken
7.1 willekeurige vierhoek
7.2 rechthoek
7.3 ruit
7.4 vierkant
7.5 parallellogram
7.6 vlieger
7.7 trapezium
7.8 goniometrie
Inleiding voor de leerling
Bij dit bestand hoort een tekeningenband, bestaande uit 1 legenda en 19 bladen met
tekeningen.
Meetkunde voor de basisvorming en het vmbo geeft een overzicht van alle
meetkundige figuren en hun eigenschappen. Het is bruikbaar naast elke
wiskundemethode. In elke methode zou naar meetkunde voor de basisvorming en
het vmbo verwezen kunnen worden.
Het nummer van een tekening en van de tekst die er bij hoort is hetzelfde.
Najaar 2002, R. van Tilburg
Aangepast door A. van Leendert, najaar 2016
1 cirkels
In de eerste cirkel is:
M = middelpunt
r = straal
In de tweede cirkel is
M = middelpunt
d = diameter of middellijn
d=2*r
oppervlakteformule:
O = pi * r^2
omtrekformule:
P = 2 *pi *r = pi *d
In deze formules is pi de bekende 3,14 afgerond. Je kan voor de berekeningen met
pi gebruik maken van een rekenmachine zoals AllerCalc .
2 hoeken
Hoek A is een scherpe hoek.
Hoek B is een stompe hoek.
Hoek C is een rechte hoek.
Een rechte hoek wordt vaak aangegeven met een haakje, zoals in hoek C.
3 driehoeken
3.1 willekeurige driehoek
Van elke van de drie getekende driehoeken zijn de zijden en de hoeken verschillend
van grootte.
Omdat driehoek ABC en driehoek PQR elk drie scherpe hoeken hebben, worden ze
scherphoekige driehoeken genoemd.
Driehoek KLM is een stomphoekige driehoek, omdat één van de hoeken stomp is.
De stompe hoek is hoek K.
Eigenschap:
In elke driehoek is de som van de drie hoeken 180 graden.
3.2 rechthoekige driehoek
Als een driehoek een rechte hoek bezit wordt het een rechthoekige driehoek
genoemd.
Op deze bladzijde zijn drie rechthoekige driehoeken getekend. De rechte hoeken zijn
aangegeven met een haakje.
3.3 gelijkbenige driehoek en gelijkzijdige driehoek
Een driehoek is gelijkbenig als twee van de zijden van gelijke lengte zijn.
In elke gelijkbenige driehoek zijn twee hoeken even groot. Deze twee worden vaak
basishoeken genoemd. In de vier gelijkbenige driehoeken zijn die basishoeken
aangegeven met een enkel boogje. De derde hoek heet dan tophoek; deze zijn in de
driehoeken ABC en DEF aangegeven met een dubbel boogje. In de driehoeken KLM
en PQR is de tophoek aangegeven met een haakje, omdat het rechte hoeken zijn.
Driehoek KLM en DEF zijn gelijkbenige rechthoekige driehoeken.
De onderste driehoek STU heeft drie gelijke zijden en ook drie gelijke hoeken. Het is
een gelijkzijdige driehoek.
4 bijzondere rechten in driehoeken
4.1 zwaartelijn
Een zwaartelijn verbindt een hoekpunt met het midden van de overstaande zijde.
In de eerste driehoek is de zwaartelijn CD getekend vanuit de top van de driehoek
naar het midden van de basis.
In de tweede driehoek zijn alle drie de zwaartelijnen getekend. Deze drie
zwaartelijnen snijden elkaar in één punt. Dat punt heet het zwaartepunt van de
driehoek en wordt meestal aangegeven met de letter Z.
4.2 hoogtelijn
Een hoogtelijn gaat door een hoekpunt en staat loodrecht op de overstaande zijde.
In de bovenste driehoek is de hoogtelijn BE getekend.
In de tweede tekening zijn de drie hoogtelijnen getekend. Deze hoogtelijnen gaan
door één punt, dat het hoogtepunt H wordt genoemd.
Hoogtelijnen spelen een rol in de oppervlakteformule van driehoeken.
4.3 hoekdeellijn of bissectrice
Een hoekdeellijn deelt een hoek in twee gelijke delen.
In de eerste driehoek is de deellijn van hoek A getekend. De gelijke delen van hoek
A zijn aangegeven met een stip.
In de tweede driehoek zijn de drie hoekdeellijnen getekend. Ze gaan alle drie door
één punt, meestal aangegeven met de letter I.
4.4 middelloodlijn
Een middelloodlijn gaat door het midden van een zijde en staat loodrecht op die
zijde.
In de eerste driehoek is de middelloodlijn getekend van de zijde AC.
In de tweede driehoek zijn de drie middelloodlijnen getekend. Ze gaan alle drie door
één punt, meestal aangeven met M.
5 formules in driehoeken
In de beide driehoeken geldt:
b = basis
h = hoogte
oppervlakteformule:
O = 1/2 * basis * hoogte
of O = 1/2 * b * h
of O = (b * h) /2
omtrek: tel de lengten van de zijden bij elkaar op.
6 stelling van Pythagoras
De stelling van Pythagoras geldt alleen in een rechthoekige driehoek.
Het is handig de zijden van de driehoek aan te geven met een kleine letter. Dat is
ook gedaan in de beide driehoeken.
In driehoek ABC geldt:
a^2 =b^2 +c^2
In driehoek PQR geldt:
p^2 =q^2 +r^2
7 vierhoeken
7.1 willekeurige vierhoeken
In een willekeurige vierhoek vind je geen gelijke zijden en geen gelijke hoeken.
Een lijn die twee hoekpunten verbindt, maar geen zijde is, heet diagonaal.
Een vierhoek heeft twee diagonalen.
In vierhoek PQRS zijn de beide diagonalen getekend.
Eigenschap:
De vier hoeken in elke vierhoek zijn samen 360 graden.
7.2 rechthoek
In beide rechthoeken geldt:
l = lengte
b = breedte
Eigenschappen van de rechthoek:
twee paar gelijke zijden (l en b)
twee paar evenwijdige zijden
vier rechte hoeken
diagonalen van gelijke lengte
oppervlakteformule:
O=l*b
Omtrekformule:
P = 2 *l +2 *b
7.3 ruit
Eigenschappen van de ruit:
vier gelijke zijden
twee paar gelijke hoeken
twee paar evenwijdige zijden
diagonalen snijden elkaar met een rechte hoek
diagonalen delen elkaar middendoor
diagonalen delen elke hoek in twee gelijke delen
oppervlakteformule:
O = basis * hoogte
Of O = b * h
omtrekformule:
P =4 * zijde
7.4 vierkant
Eigenschappen van het vierkant:
vier gelijke zijden
vier rechte hoeken
diagonalen van gelijke lengte
diagonalen staan loodrecht op elkaar
diagonalen delen elkaar middendoor
diagonalen delen de hoeken in twee gelijke delen
oppervlakteformule:
O=z*z
Of O = z^2
omtrekformule:
P=4*z
7.5 parallellogram
Eigenschappen van het parallellogram:
twee paar evenwijdige zijden
twee paar gelijke zijden
diagonalen delen elkaar middendoor
oppervlakteformule:
O = basis * hoogte
of O = b *h
omtrek: lengten van de zijden bij elkaar optellen
7.6 vlieger
Eigenschappen van de vlieger:
twee paar gelijke zijden
twee gelijke hoeken
de ene diagonaal wordt door de andere middendoor gedeeld
de diagonalen maken een rechte hoek met elkaar
7.7 trapezium
Een trapezium heeft één paar evenwijdige zijden.
Bij het tweede trapezium zijn twee zijden gelijk. Trapezium KLMN wordt daarom een
gelijkbenig trapezium genoemd.
8 goniometrie
In alle drie de getekende rechthoekige driehoeken geldt:
o = overstaande zijde van hoek A
a = aanliggende zijde van hoek A
s = schuine zijde
Voor hoek A geldt nu in elke getekende driehoek:
sin(hoek A) = o/s
cos(hoek A) = a/s
tan(hoek A) = o/a